1.2.2常数导数与导数公式表ppt课件

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再见
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题型三 求曲线的切线方程 例3 (本题满分 12 分)已知曲线 y＝ x.求:
(1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程; (2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程.
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【思路点拨】 对于(1),由 y＝ x对 x 求导, 可得到曲线 y＝ x的切线的斜率,进而可得相 应切点的坐标,易求得切线方程;对于(2),设出 切点坐标,利用切点在对应切线上,求得切点 坐 标 和 相 应 切 线 的 斜 率 ,进 而 求 得 切 线 的 方 程.
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又∵切线斜率为u－t 1,∴21 t＝u－t 1＝
t－1 t,
∴2t－2 t＝t,得 t＝4 或 t＝0(舍去),10 分
∴切点为 M(4,2),斜率为14,
∴切线方程为 y－2＝14(x－4), 即 x－4y＋4＝0.12 分
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练习 3.在曲线 y＝x42上求一点 P,使得曲线在该点处 的切线的倾斜角为 135°.
所以 y` lim y lim 0 0. x0 x x0
y yc
O
x
图1.2 1
3
2. 函数 y f x x的导数
因为y f x x f x
x
x
x x x 1, x
所以 y` lim y lim 1 1. x0 x x0
y yx
O x
图1.2 2
4
3. 函数 y f x x2 的导数
1
提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，( x)′＝(x 2 )′
＝12x
1 2
－1
＝ 2
1
x，∴(xα)′＝αxα－1.
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基本初等函数的导数公式表
原函数 f(x)＝c
f(x)＝xα
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝__α_x_α－_1__
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
1.2 常数函数与幂函数的导数 及导数公式表
1
基本初等函数的导数
[提出问题] 已知函数： (1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x， (3)y＝f(x)＝x2，(4)y＝f(x)＝1x， (5)y＝f(x)＝ x.
2
1. 函数 y f x c的导数
因为y f x x f x
x
x
c c 0, x
1, 3 x5
∴f′(1)＝－23.
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【名师点评】 求函数在某一点处的导数需 要先对原函数进行求导,再将变量值代入导函 数求解.
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练习 2.已知 f(x)＝1x,g(x)＝mx,且 g(2)＝f′（1 2）, 则 m＝________.
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解析:f′(x)＝－x12, ∴f′(2)＝－14,g(2)＝2m. 又∵g(2)＝f′（1 2）, ∴2m＝－4, ∴m＝－2. 答案:－2
f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝__co_s__x_
f′(x)＝_－__s_i_n_x_
f′(x)＝__a_x_ln__a_(a_＞__0_)_
f′(x)＝__e_x_
1 f′(x)＝ xln
a(a＞0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
1 x
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例1 求下列函数的导数: (1)y＝x13;x来自x x x xx xx
1 x2 x x ,
所以
y`
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x x
1 x2
.
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5. 函 数 y f x x 的 导 数
因为y f x x f x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
,
x x x
(2)y＝x13;
(3)y＝4 x; (4)y＝log3x;
(5)y＝ 1
5 x2
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【解】 (1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12.
(2)y′＝x13 ′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.
(3)y′＝( 4 x)′＝(x14)′＝14x14－1＝14x－34. (4)y′＝(log3x)′＝xl1n3.
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解:(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7. (2)y′＝(4x)′＝4xln4. (3)y′＝(cosx)′＝－sin x.
π (4)y′＝(sin 3 )′＝0.
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题型二 求某一点处的导数
例2 求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数. 3 x2
【解】
∵
f′(x)＝(x－23)′＝－23x－53＝－23·
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解:设 P 点坐标为(x0,y0), ∵y′＝－8x－3, ∴y′|x＝x0＝－8x－ 0 3＝tan 135°＝－1, 即 8x－ 0 3＝1,∴x0＝2. 将 x0＝2 代入曲线方程得 y0＝1, ∴所求 P 点坐标为(2,1).
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因为y f x x f x
x
x
x x2 x2
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x,
y y x2
O
x
图1.2 3
所以 y` lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
5
4. 函数 y f x 1 的导数
x
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因为 y
f x x
f x
x x x
x
x
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【解】 (1)设切点为(x0,y0), 由 y＝ x,得 y′|x＝x0＝ 1 .2 分
2 x0 ∵切线与 y＝2x－4 平行,
∴ 2
1x0＝2,∴x0＝116,∴y0＝14.4
分
则所求切线方程为 y－14＝2(x－116),
即 16x－8y＋1＝0.…… 6 分
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(2)∵点 P(0,1)不在曲线 y＝ x上, 故 需 设 切 点 坐 标 为 M(t,u), 则 切 线 斜 率 为 1 .……8 分 2t
(5)y′＝
1 5 x2
′
＝(x－25)′＝－25x－25－1＝
－25x－75.
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【注意】 1、求函数的导数,一般不用定义, 而主要应用导数公式.这就要求必须熟记常见 函数的导数公式.
2、应用公式时,一定要遵循“先化简,再求 导”的基本原则.
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练习 1.求下列函数的导数:
π (1)y＝sin(x＋ 2 ); (2)y＝sinπ3 .
所以 y` lim y lim
1
1 .
x0 x x0 x x x 2 x
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问题 2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么，有什么
规律提？示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，(1x)′＝ －x12，( x)′＝21x .
问题 3：函数(2)(3)（4）(5)均可表示为 y＝xα 的形式？