广西南宁市第三十六中学2024届数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

广西南宁市第三十六中学2024届数学高一第二学期期末质量跟
踪监视试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知向量3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，1sin ,6b α⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，若//a b ，则锐角α为( )
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．30°
2．下列命题中正确的是（ ） A ．第一象限角必是锐角； B ．相等的角终边必相同； C ．终边相同的角相等；
D ．不相等的角其终边必不相同.
3．已知,a b 2a b =，且()a b b +⊥，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150
4．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1
B ．a 3＝1
C ．a 4＝1
D ．a 5＝1
5．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．两直角边分别为的表面积是( )
A ．
B ．3π
C
D ．(3π+
7．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b <
B ．22ac bc <
C ．
11a b
< D ．
c c a b
< 8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 是对角线AC 上一点，2
5
AP AC =
，过
点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ，DC 于点M ，E ，N .若,DM mDA DN nDC == (m >0，n >0)，则2m ＋3n 的最小值是( )
A ．65
B ．
125 C ．245
D ．485
9．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A ．1()3
x
y =
B ．3log y x =
C ．1y x
=
D ．cos y x = 10．用数学归纳法证明，从到
，左
边需要增乘的代数式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知圆锥SO 如图所示，底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则此圆锥的外接球的表面积为___2cm ．
12．已知函数()2
1
sin sin cos 2
f x x x x =+-
，下列结论中： ①函数()f x 关于8
x π
=-
对称；
②函数()f x 关于(,0)8π
对称；
③函数()f x 在3(,)88ππ
是增函数，
④将2
2
y x =
的图象向右平移34π可得到()f x 的图象． 其中正确的结论序号为______ ．
13．已知圆O ：22
1x y +=，若对于圆C ：22
(2)()1x m y m --+-=上任意一点P ，
在圆O 上总存在点Q 使得90PQO ∠=，则实数m 的取值范围为__________． 14．已知圆Ω过点A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y +1＝0的距离为_____．
15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，甲获胜的概率是13
，则甲不输的概率为________.
16．已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足112n n n S a a ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
.若1
1
n n n n a b S S ++=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T =_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设等差数列{}n a 中，268,0a a =-=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足121238,b b a a a =-=++，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，
*n ∈N ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）是否存在*
,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的
,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设3
2
n n n b a -=-
，若对于任意的*n N ∈，不等式
12
11
1(1)(1)(1)n b b b ≤+
++
恒成立，求正整数m 的最大值． 19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y =
上. （1）若圆M 分别与
x 轴、y 轴交于点A 、B （不同于原点O ），求证：AOB ∆的面积为定值；
（2）设直线:43
l y x =-
+与圆M 交于不同的两点C 、D ，且OC OD =，求圆M 的方程；
（3
）设直线y =2）中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线5x =上的动点，直
线PE 、PF 与圆M 的另一个交点分别为G 、H ，求证：直线GH 过定点. 20．设2
()(1)1f x m x mx m =+-+-.
（1）当1m =时，解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若关于x 的不等式()0f x m ->的解集为()1,2，求m 的值.
21．若()()
()()
sin sin 2cos tan x x f x x x ππππ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
--- （1）化简()f x ；
（2）求函数()f x 的单调递增区间.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
根据向量的平行的坐标表示，列出等式，即可求出． 【题目详解】 因为//a b ，所以231sin 026α⨯-=，又α为锐角，因此1sin 2
α=， 即30α
=︒，故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查向量平行的坐标表示． 2、B 【解题分析】
根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果. 【题目详解】
390︒是第一象限角，但不是锐角，故A 错误； 390︒与30终边相同，但他们不相等，
故C 错误；390︒与30不相等，但他们的终边相同，故D 错误；因为角的始边在x 轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B 正确. 故选：B 【题目点拨】
本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键. 3、D 【解题分析】
由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，这样可把a b ⋅且b 表示出来． 【题目详解】
∵()a b b +⊥，∴2
2
()0a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=，2
a b b ⋅=-，
∴2
3cos ,2
2b
a b a b a b
b b -⋅<>=
=
=-
⋅，
∴,150a b <>=︒， 故选D ． 【题目点拨】
本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键． 4、B 【解题分析】
分析：由题意知25
511T a q （）=
=，由此可知211a q =，所以一定有31a =． 详解23425
51111111T a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅⋅=
=：（）， 211a q ∴= ，31a ∴= ．
故选B ．
点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 5、C 【解题分析】
由1x >，得10x ->，则441111
x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【题目详解】
由题意，因为1x >，则10x ->，
所以44111511x x x x +
=-++≥=--， 当且仅当411
x x -=-时，即3x =时取等号，
所以4
1
x x +
-的最小值为5，故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6、A 【解题分析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式 可得． 【题目详解】
由题得直角三角形的斜边为2，则斜边上的高为
122
.
由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中R ，
1+S ππ∴= 故选A ． 【题目点拨】
本题考查旋转体的定义，圆锥的表面积的计算，属于基础题. 7、C 【解题分析】
本题首先可根据0a b >>判断出A 项错误，然后令0c 可判断出B 项和D 项错误，
即可得出结果。

【题目详解】
因为0a b >>，所以22a b >，故A 错； 当0c 时，220ac bc ==，故B 错； 当0c
时，0c c a
b
==，故D 错，
故选C 。

【题目点拨】
本题考查不等式的基本性质，主要考查通过不等式性质与比较法来比较实数的大小，可借助取特殊值的方法来进行判断，是简单题。

8、C 【解题分析】
232
555AP
AC DP DA DC
→=
→→=→+→ 设DP DM DN x y →=→+→，则1x y += 又DP DA DC
mx yn →=→+→ 323215555mx ny m n
，∴==+=
()3
21941942423231212255555n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当且仅当23m n =时取等号，故选C
点睛：在利用基本不等式求最值的时候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误． 9、B 【解题分析】
试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A 的底数大于0小于1、C 是图象在一、三象限的单调减函数、D 是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B 的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B 考点：函数的单调性
点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键． 10、B 【解题分析】
要分清起止项，以及相邻两项的关系，由此即可分清增加的代数式。

【题目详解】 当时，左边
，
当
时，左边
，
∴从到
，左边需要增乘的代数式为
.选B.
【题目点拨】
本题主要考查学生如何理解数学归纳法中的递推关系。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
163
π
【解题分析】
根据SO ⊥圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在SO 上，再根据勾股定理可得求的半径． 【题目详解】
由SO ⊥圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在SO 上，设球心为C ，球的半径为R ，则SC CD R ==，CO ⊥圆O ，因为2,1SD OD == , 所以
21213SO =-=，所以3CO R =-，1OD =，则有222
CO OD CD +=.解得
233
R =
，则3
41633S R ππ==
球.
【题目点拨】
本题主要考查了几何体的外接球，关键是会找到球心求出半径，通常结合勾股定理求．属于难题． 12、①②③ 【解题分析】
把()f x 化成()()sin f x A wx ϕ=+的型式即可。

【题目详解】
由题意得()212sin sin cos sin 2224f x x x x x π⎛
⎫=+-
=- ⎪⎝
⎭
所以对称轴为324
2
82
k x k x π
π
πππ-
=
+⇒=
+， ①对，当24
8
2k x k x π
π
ππ-
=⇒=
+
时，对称中心为,082k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，②对。

()f x 的增区间为3222+2
4
2
8
8
k x k k x k π
π
π
π
π
ππππ-
+≤-
≤
+⇒-
+≤≤
，③对
cos22
y x =
向右平移
34π得()332cos 2224222f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-=-=- ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭。

④错 【题目点拨】
本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。

13、(,2)(0,)-∞-+∞
【解题分析】
由90PQO ∠=，知PQ 为圆O 的切线，所以两圆外离，即圆心距大于两半径之和，代入方程即可。

【题目详解】
由90PQO ∠=，知PQ 为圆O 的切线， 即在圆C 上任意一点P 都可以向圆O 作切线， 当两圆外离时，满足条件， 所以，||2OC >，
2>， 化简，得：2240m m +>， 解得：2m <-或0m >.
【题目点拨】
和圆半径所成夹角为90，即是圆的切线，两圆外离表示圆心距大于两半径之和。

14、
55
【解题分析】
求得线段AB 和线段BC 的垂直平分线，求这两条垂直平分线的交点即求得圆的圆心，在求的圆心到直线l 的距离. 【题目详解】
∵A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），
∴AB 的中点坐标为（5，2），则AB 的垂直平分线方程为y ＝2； BC 的中点坐标为（2，2），()311
513
BC k -=
=--，
则BC 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣3（x ﹣2），即3x +y ﹣8＝1．
联立2380y x y =⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩
．
∴圆Ω的圆心为Ω（2，2），
则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y +1＝1的距离为d 241
55
-+=
=
5
【题目点拨】
本小题主要考查根据圆上3点的坐标求圆心坐标，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 15、
56
【解题分析】
甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋； 甲不输，即甲获胜或和棋，
∴甲不输的概率为115326
P =
+= 16、
910
【解题分析】
利用1n n n a S S -=-将112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
变为11112)2n n n n n S S S n S S ----⎛⎫=+
≥ ⎪⎝⎭（，整理发现数列{2
n S }为等差数列，求出2
n S ，进一步可以求出n a ，再将n a ，n S 代入n b ，发现可以裂项求n b 的前99项和。

【题目详解】
112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
11112)2n n n n n S S S n S S --⎛⎫∴=+≥ ⎪⎝--⎭
（
11
1
2n n n n n
S S S S S --+
-∴-=
2222111
11
(1)1)21(1n n n n n n n n S S S S S S S S S n n n n ---+=
--==+∴∴∴-=+-==
≥∴）
当1n =时，11
S =符合n S
，n S ∴=1-=-n n n a S S (
2)n ≥
当
1n =时，11a =
符合
=n a n a ∴
11n n n n a b S S ++=
==
9912399111111
1119
11101022334
99100
T b b b b =+++
=-+-+-+
+
-=-=
【题目点拨】
一般公式1n n n a S S -=-的使用是将1n n S S --变为n a ，而本题是将n a 变为1n n S S --，给后面的整理带来方便。

先求n S ，再求n a ，再求n b ，一切都顺其自然。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）*212,n a n n N =-∈（2）()
*413,n n S n N =-∈
【解题分析】
（1）求出公差d ，由公式()n m a a n m d =+-得通项公式；
（2）由（1）求出2b ，计算公比q ，再由等比数列前n 项和公式得和． 【题目详解】
（1）在等差数列{}n a 中，268,
0a a =-=，故设{}n a 的公差为d ，
则624a a d =+，即084d =-+，所以2d =， 所以*2(2)212,
n a a n d n n N =+-=-∈.
（2）设数列{}n b 的公比为q ，则2
21231
108624,3b b a a a q b =++=---=-=
=， 所以()()*813413,13
n n n
S n N --==-∈-.
【题目点拨】
本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项1a 和公差d （或公比q ），则数列的通项公式与前n 项和随之而定． 18、（1）
1
(51)2
n -（2）不存在（3）1 【解题分析】
（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2
112520a a -+=，解得12a =，或112
a =
． 由于11a >，所以12a =．
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以2
10252n n n S a a =++. 故22
1111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，
整理，得22
112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．
因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152
n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，5
2
为公差的等差数列. 所以51
2(1)(51)22
n a n n =+
-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数,,m n k 不存在，证明如下：
假设存在*
,,m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，
则1
5151(51)2
m n k -+-=
-． 整理，得3
225
m n k +-=， ①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数,,m n k 不存在． ……………………1分 （Ⅲ）313
(51)21222
n n n n b a n n --=-=--=+，
不等式
12
111(1)(1)(1)
31n b b b ≤+++
31≤
3121231
111n n b b b b b
b b b ++++⋅⋅⋅468
22357
21n
n +=
⋅⋅⋅⋅
⋅+． 设46822()357
21n f n n +=
⋅⋅⋅⋅
⋅+
则
22(1)21
22
()35721n f n n n f n n +⋅⋅⋅
++=+⋅⋅⋅
⋅⋅+
2423n n +=
=+ 24
124
n n +=
>
=
=
=+.
所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．
12
11
1(1)(1)(1)n b
b b ≤+++
对于任意的*n N ∈恒成立，只
min
()f n ≤即可． 因为min
4()
(1)3f n f ===≤
. 即4311244
8151515
m ⨯≤
==.
所以，正整数m 的最大值为1． ………………………………………14分
19、（1）证明见解析；（2）()(2
2
1
4x y -+-=；
（3）证明见解析. 【解题分析】
（1
）由题意设圆心坐标为t ⎛ ⎝⎭
，可得半径为r =0x =、0y =，可得出点B 、A 的坐标，利用三角形的面积公式即可证明出结论成立； （2）由OC OD =，知OM l ⊥，利用两直线垂直的等价条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程； （3）设()05,P y ，()11,G x y 、()22,H x y ，求得E 、F 的坐标，以及直线PE 、PF 的方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合3PE PF k k =，得出
()121227200x x x x -++=，设直线
GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，利用韦
达定理，可得b 、k 之间的关系，即可得出所求的定点. 【题目详解】
（1
）由题意可设圆心为,M t t ⎛ ⎝⎭
，则圆的半径为r = 则圆M 的方程为()
2
2
223x
t y t t t ⎛-+-=+ ⎝
⎭，即22
20x y tx y t +--=
. 令0x =，得y =B ⎛ ⎝
⎭；令0y =，得2x t =
，得()2,0A
t . 11222AOB S OA OB t ∆∴=
⋅==
； （2
）由OC OD =，知OM l ⊥，所以OM k =
=，解得1t =±.
当1t =时，
圆心(M
到直线:43
l y x =-+
的距离)
21d =小于半径，符
合题意；
当1t =-
时，圆心(1,M -
到直线:4l y x =+
的距离)
21d =大于半
径，不符合题意.
所以，所求圆M 的方程为(
)(2
2
14x y -+-=；
（3）设()05,P y ，()11,G x y ，()22,H x y
，又知(E -
，(F ，
所以016PE GE y k k =
==
，022PF FH y k k ===. 因为3PE PF k k =
，所以(
(
)
(
()
2
2
122
2
12913y y x x ⨯
=+-.
将(()2
2
1141y x -=--
，(()2
2
2241y x -=--代入上式，
整理得()121227200x x x x -++=.①
设直线GH 的方程为y kx b =+，代入(
)(2
2
14x y -+-=，
整理得(
)(
)
2
2
21220k
x kb x b ++--+-=.
所以12x x +=
12x x ⋅=
代入①式，并整理得(
2
2
71030b k b k +-+-+=，
即(
250b k b k ++=
，解得2b k =
或5b k =.
当2b k =
时，直线GH 的方程为(
)2y k x =-
(；
当5b k =时，直线GH 的方程为(
)5y k x =-
，过定点(
检验定点(和E 、F 共线，不合题意，舍去. 故GH
过定点(. 【题目点拨】
本题考查圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查运算能力，属于难题．
20、（1）1|02x x x ⎧
⎫<>
⎨⎬⎩
⎭或（2）32
m =- 【解题分析】
(1)代入参数值，解二次不等式即可；（2）不等式()0f x m ->，即
2(1)10m x mx +-->，故得到1，2是方程2(1)10m x mx +--=的两实根，根据韦
达定理得到数值. 【题目详解】
（1）当1m =时，不等式()0f x >即为220x x ->， ∴0x <或1
2
x >
， 因此原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫<>
⎨⎬⎩
⎭
或. （2）不等式()0f x m ->，即2
(1)10m x mx +-->，
由题意知10+<m ，且1，2是方程2
(1)10m x mx +--=的两实根，
因此1231
1
2121m m m m ⎧
+=⎪⎪+⇒=-⎨
⎪⨯=-⎪+⎩
. 【题目点拨】
这个题目考查了二次不等式的解法，以及二次函数和二次不等式的关系，考查了二次不等式的韦达定理的应用，属于基础题.
21、（1）()cos f x x =（2）[]()2,2k k k Z πππ-∈ 【解题分析】
（1）利用利用诱导公式化简()f x 得解析式，可的结果． （2）利用余弦函数的单调性求得函数()f x 的单调递增区间． 【题目详解】 （1）()()cos sin cos tan x x f x x x ⋅=
-⋅-sin cos tan x
x x
==.
（2）
()cos f x x =
令22k x k πππ-，k Z ∈，
()f x ∴的单调递增区间为[]()2,2k k k Z πππ-∈.
【题目点拨】
本题考查利用诱导公式化简求值、求余弦函数的单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题．。