XXX版八年级数学上册知识点总结

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第一章勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a²+b²=c²。

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足 a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数。

第二章实数
一、实数的概念及分类
1.实数的分类：
正有理数
有理数（包括零、有限小数和无限循环小数）
负有理数
正无理数
无理数（无限不循环小数）
负无理数
2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。

无理数分为四类：
开方开不尽的数，如 7、32 等；
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如√8 等；
有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01… 等；
某些三角函数值，如 sin60°等。

二、实数的倒数、相反数和绝对值
1.相反数：实数与它的相反数是一对数，只有符号不同的
两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。

互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。

如果 a 与 b 互为相反数，则有
a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，
叫做该数的绝对值（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数。

若 |a|=a，则a≥0；若 |a|=-a，则a≤0.
3.倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是 1 和 -1.零没有倒数。

4.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要
真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5.估算：在实际问题中，为了方便计算，常常采用估算的
方法，即用一个比较接近的数代替实际数，以减少计算量和误差。

三、平方根、算术平方根和立方根
1.算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，
即 x²=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。

特别地，
√0 的算术平方根是 0.表示方法：记作“√a”，读作“根号a”。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2.平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于a，即 x²=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数 a 的平方根记做“±√a”，读作“正、负根号a”。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方是求一个数a的平方根的运算。

需要注意a的双重非负性：a≥0时，a的平方根是非负数；a<0时，a没有实数平方根。

立方根是指一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数
x就叫做a的立方根（或三次方根），记作³√a。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

需要注意³-√a=-³√a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

实数大小的比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

实数大小比较的几种常用方法有数轴比较、求差比较、求商比较、绝对值比较和平方法。

算术平方根有关计算（二次根式）需要注意：含有二次根号“√”；被开方数a必须是非负数。

其性质包括：(a)²=a
（a≥0）；a²=a或-a（a0）；a/b=√(a)/√(b)（a≥0，b>0）；
a/√(b)=√(a•b)/b（a≥0，b>0）。

实数的运算包括加、减、乘、除、乘方和开方。

运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。

如果有括号，就先算括号里面的。

其运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律。

图形的平移是将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

其性质包括平移不改变图形的大小和形状，只改变了图形的位置。

2）矩形的四个角都是直角。

3）矩形的对角线相等。

4）矩形是中心对称图形，对称中心是矩形的中心。

5）矩形的面积为长乘以宽，即S=ab。

3、矩形的判定
若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形。

4、正方形
1）正方形的定义
所有边相等的矩形叫做正方形。

2）正方形的性质
1）正方形的四个角都是直角。

2）正方形的四条边相等。

3）正方形的对角线相等且平分。

4）正方形是中心对称图形，对称中心是正方形的中心。

5）正方形的面积为边长的平方，即S=a²。

3）正方形的判定
若一个矩形的四条边相等，则这个矩形是正方形。

小结：
本章主要讲了四边形的相关概念、平行四边形、矩形和正方形的性质及判定，以及平移和旋转的相关概念和性质。

需要注意的是，在判定平行四边形、矩形和正方形时，要注意条件的限制，不能遗漏。

同时，对于平移和旋转的概念和性质也要有清晰的认识。

3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不是梯形。

3、梯形的性质
1）梯形的底平行，腰不平行
2）梯形的对角线不相等
3）梯形的高是底边长度不同的那条边所在直线的垂线
4）梯形的面积
S
梯形
上底+下底）×高
2
4、特殊的梯形
1）等腰梯形：两腰相等的梯形
2）直角梯形：一组底是直角的梯形
3）等角梯形：两组对角线所夹角度相等的梯形
4）等面积梯形：高相等的梯形
七、圆
1、圆的定义
平面内所有到圆心距离等于半径的点的集合叫做圆。

2、圆的性质
1）圆心到圆上任一点的距离相等，这个距离叫做圆的半径。

2）圆的直径等于半径的两倍。

3）圆的任意两点之间的线段叫做弦，直径是圆的一条特殊的弦，它同时也是圆上最长的弦。

4）圆的周长
C
圆
2πr
5）圆的面积
S
圆
πr²
3、圆的判定
1）定义：平面内所有到圆心距离等于半径的点的集合叫做圆。

2）定理：一个圆唯一地由它的圆心和半径确定。

八、圆的切线
1、圆的切线的定义
过圆上一点且与圆垂直的直线叫做圆的切线。

2、圆的切线的性质
1）圆的切线与半径的夹角是直角。

2）过圆外一点可以作唯一的一条切线。

3、切线定理
1）定理1：切线与半径的垂线相互垂直。

2）定理2：切线与半径的夹角是直角。

3）定理3：相交弧的两条切线相等。

4）定理4：切线上的点到圆心的距离等于切线与圆心连线所在直线的长度。

九、圆的切线与切点
1、圆的切点的定义
圆与直线相交于两点，则这两点分别叫做圆在这条直线上的交点，如果这条直线与圆的某一点相切，则这个点叫做圆在这条直线上的切点。

2、切线与切点的关系
切线与圆的切点之间有一条唯一的直线，这条直线过圆心。

及其表示方法
平面直角坐标系是由两条相互垂直的数轴和它们的交点O 组成的。

数轴上的点表示实数，而平面上的点则用有序数对(x,y)表示。

2、平面直角坐标系中的距离公式
两点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离公式为d=sqrt((x2-
x1)^2+(y2-y1)^2)。

3、平面直角坐标系中的中点公式
两点(x1,y1)和(x2,y2)的中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。

4、平面直角坐标系中的斜率公式
两点(x1,y1)和(x2,y2)之间的斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)，其中x1不等于x2.
5、平面直角坐标系中的方程
直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数，且A和B不同时为0.直线的斜截式方程为y=kx+b，其中
k为斜率，b为截距。

三、平面图形的位置关系
1、平行
两条直线在平面上没有交点，且方向相同或相反，那么这两条直线互相平行。

2、垂直
两条直线在平面上相交，且交角为90°，那么这两条直线互相垂直。

3、相交
两条直线在平面上有交点，那么这两条直线互相相交。

4、包含
一个平面图形完全包含另一个平面图形，那么这个图形包含另一个图形。

5、相离
两个平面图形没有交点，且它们的边界也没有交点，那么这两个图形相离。

四、平面图形的平移、旋转和对称
1、平移
平移是指将一个平面图形沿着一个方向移动一定的距离，而不改变它的形状和大小。

2、旋转
旋转是指将一个平面图形绕着一个点旋转一定的角度，而不改变它的形状和大小。

3、对称
对称是指将一个平面图形沿着一个轴线对称，使得对称前后的图形完全重合。

常见的对称有中心对称和轴对称。

五、平面图形的坐标表示
平面图形可以用坐标表示，其中点、直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等图形都有对应的坐标方程。

在平面内，有两条互相垂直且共同起点的数轴，它们组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴是x轴或横轴，向右为正方向；竖直的数轴是y轴或纵轴，向上为正方向；x轴和y 轴一起称为坐标轴。

它们的共同起点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，称为坐标平面。

为了方便描述坐标平面内点的位置，将坐标平面被x轴和y轴分割成四个部分，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

需要注意的是，x轴和y轴上的点（坐标轴上的点）不属于任何一个象限。

对于平面内的任意一点P，通过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴和y轴上对应的数为a和b，分别称为点P 的横坐标和纵坐标，有序数对（a，b）称为点P的坐标。

点的坐标用（a，b）表示，其中横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当a不等于b时，（a，b）和（b，a）是两
个不同点的坐标。

平面内点的坐标与有序实数对是一一对应的。

不同位置的点的坐标具有不同的特征。

在各象限内，点P （x，y）在第一象限当且仅当x大于0，y大于0；在第二象
限当且仅当x小于0，y大于0；在第三象限当且仅当x小于0，y小于0；在第四象限当且仅当x大于0，y小于0.坐标轴上的
点具有特殊的特征，点P（x，y）在x轴上当且仅当y等于0，x为任意实数；在y轴上当且仅当x等于0，y为任意实数；
在x轴和y轴上的点同时满足x和y都等于0，即点P的坐标
为（0，0），即原点。

点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上
当且仅当x等于y；在第二、四象限夹角平分线上当且仅当x
等于-y。

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于
平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

点P（x，y）关于
x轴对称的点为P'（x，-y）；关于y轴对称的点为P'（-x，y）；关于原点对称的点为P'（-x，-y）。

最后，点到坐标轴及原点的距离也是重要的概念。

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离可以用以下公式表示：1）点P(x,y)到x轴的距离为|y|
2）点P(x,y)到y轴的距离为|x|
3）点P(x,y)到原点的距离为√(x^2+y^2)
关于坐标变化和图形变化的规律，我们可以总结如下：坐标（x，y）的变化可以通过以下方式实现：
将x乘以a或将y乘以a
将x乘以-1或将y乘以-1
将x加上a或将y加上a
图形的变化可以通过以下方式实现：
将图形横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍
将图形放大（缩小）为原来的a倍
将图形关于y轴或x轴对称
将图形关于原点成中心对称
将图形沿x轴或y轴平移a个单位
函数是指在某一变化过程中，有两个变量x和y，当给定一个x值时，相应地就确定了一个y值。

其中，x是自变量，y是因变量。

自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体。

一般从整式（取全体实数）、分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

函数的三种表示法包括关系式（解析）法、列表法和图象法。

其中，关系式（解析）法是用一个含有两个变量及数字运算符号的等式表示函数关系，列表法是将自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，图象法是用图象表示函数关系的方法。

由函数关系式画其图像的一般步骤包括：先列出自变量与函数的对应值，然后在坐标平面内描出相应的点，最后按照自变量由小到大的顺序，将所描各点用平滑的曲线连接起来。

正比例函数是指当两个变量x和y间的关系可以表示成
y=kx（k为常数，k≠0）的形式时，称y是x的正比例函数。

一次函数是指当两个变量x和y间的关系可以表示成y=kx+b （k、b为常数，k≠0）的形式时，称y是x的一次函数。

所有
一次函数的图像都是一条直线，而一次函数和正比例函数的图像主要特征是：一次函数的图像经过点(0,b)，正比例函数的图像经过原点(0,0)。

本文总结了八年级数学上册的知识点，包括一次函数和正比例函数的性质、解析式的确定方法，以及二元一次方程和方程组的定义和解法。

一次函数的图像经过不同象限的情况和随x的增大而增大或减小的关系有详细的解释。

正比例函数的性质也被列举出来，包括k的正负和图像经过的象限。

同时，还指出了正比例函数是一次函数的特例。

解析式的确定方法被归纳为待定系数法，同时也给出了一元一次方程和一次函数之间的关系。

二元一次方程和方程组的定义和解法也被介绍，包括代入法和加减法。

文章的格式问题已经被剔除，明显有问题的段落也已被删除。

同时，每段话也进行了小幅度的改写，使其更加通顺和易懂。

任意一点在直线y=kx+b上，其坐标满足二元一次方程
kx-y+b=0的解。

一次函数和二元一次方程组之间有着密切的关系。

一个二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数ax+by=c1和
cx+dy=c2的图像的交点。

如果函数图像有交点，则相应的二元一次方程组有解；如果函数图像（直线）平行，即无交点，则相应的二元一次方程组无解。

在数据分析中，常用平均数、众数和中位数来描述数据的集中趋势。

平均数是指一组数据的算术平均值，即所有数据之和除以数据个数。

加权平均数则是在计算平均数时，给不同的数据赋予不同的权重。

众数是指一组数据中出现次数最多的数据。

中位数是指一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数据，或者是中间两个数据的平均值。