托里县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

托里县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知命题p 和命题，若p q ∧为真命题，则下面结论正确的是（ ）
A ．p ⌝是真命题
B ．q ⌝是真命题
C ．p q ∨是真命题
D ．()()p q ⌝∨⌝是真命题
2． 若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数31
()2y f x x =-+的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3． 已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．（x ≠0）
B ．（x ≠0）
C ．
（x ≠0）
D ．
（x ≠0）
4． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，3）
C ．（1，0）
D ．（3，0）
5． 函数f （x ）=2x ﹣的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．2
7． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
8． 已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 9． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．1
10．“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且
1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，3
4
125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.
A. ]210,1(
B. ]537,1(
C. ]2
10,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
12．给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为
负的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
二、填空题
13．已知x 是400和1600的等差中项，则x= ． 14．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹
为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；
③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；
④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;
⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
15．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程
为 ．
16．已知1
a b
>>，若
10
log log
3
a b
b a
+=，b a
a b
=，则a b
+= ▲．
17．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．
18．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．
三、解答题
19．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．
（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．
20．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=，cos∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求AC边的长．
21．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？
（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．
22．已知函数f（x）=lnx+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调；
（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a＜0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．
23．已知双曲线C：与点P（1，2）．
（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程；
（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．
24．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．
托里县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】]
试题分析：由p q ∧为真命题得,p q 都是真命题．所以p ⌝是假命题；q ⌝是假命题；p q ∨是真命题；
()()p q ⌝∨⌝是假命题．故选C.
考点：命题真假判断． 2． 【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
3． 【答案】B 【解析】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4
∴b2=20，
∴椭圆的方程是
故选B．
【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
4．【答案】B
【解析】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），
故选B．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：易知函数的定义域为{x|x≠1}，
∵＞0，
∴函数在（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数，
又＜0，f（0）=1﹣（﹣2）=3＞0，
故函数在区间（﹣4，0）上有一零点；
又f（2）=4﹣4=0，
∴函数在（1，+∞）上有一零点0，
综上可得函数有两个零点．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判断．解题关键是掌握函数零点的判断方法．利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性．属于中档题．
6．【答案】A
【解析】
试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．
考点：几何体的结构特征．
7．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
8．【答案】B
【解析】解：∵△ABC是锐角三角形，
∴A+B＞，
∴A＞﹣B，
∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，
∴sinA﹣cosB＞0，
同理可得sinA﹣cosC＞0，
∴点P在第二象限．
故选：B
9．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C ． 【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x ﹣1=0，2x ﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；
当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y ﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；
当m ≠0，2时，两条直线相互垂直，则
×
=﹣1，解得m=1．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．
∴“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．
故选：B ．
【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，a PF PF
2||||21=-，a QF QF 2||||21=-，两式相加得 a PQ QF PF 4||||||11=-+，又||||1PF PQ λ=，1PF PQ ⊥，
||1||12
1PF QF λ+=∴， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||1211=-++=-+∴λλ，
λλ-++=2
1114||a
PF ①，
λ
λλλ-+++-+=
∴22211)11(2||a PF ②，在12PF F ∆中，2
212221||||||F F PF PF =+，将①②代入得
+-++2
2
)114(λλa
2
2224)11)
11(2(
c
a =-+++-+λλλλ，化简得：+
-++2
2
)
11(4
λλ
2
2
22
2)11()11(e =-+++-+λλλλ，令t =-++λλ2
11，易知λλ-++=211y 在
]34
,125[
上单调递减，故 ]35,34[∈t ，2
22222
84)2(4t t t t t t e +-=-+=∴]25,2537[21)411(82∈+-=t ，]210,537[∈e ，故答案 选
C.
12．【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
二、填空题
13．【答案】1000．
【解析】解：∵x是400和1600的等差中项，
∴x==1000．
故答案为：1000．
14．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），
∴•=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；
③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；
④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为
2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．
故答案为：①④⑤．
15．【答案】（±，0）y=±2x．
【解析】解：双曲线的a=2，b=4，
c==2，
可得焦点的坐标为（±，0），
渐近线方程为y=
±x ，即为y=±2x ． 故答案为：（
±
，0），y=±2x ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
16．
【答案】 【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33
a b b b b b a a a a +=
⇒+=⇒=或（舍），因此3a b =，因为b a a b =
，所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒=
a b +=考点：指对数式运算 17．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3， ∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1， 即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），
由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋1
x
（x ＞0），
∴⎩⎪⎨⎪
⎧a ＋1x 0
＝1
y 0＝x 0
－1y 0
＝ax 0
＋ln x
，解之得x 0
＝1，y 0
＝0，a ＝0. ∴a ＝0. 答案：0 18．【答案】
．
【解析】解：由题意可得，2a ，2b ，2c 成等差数列 ∴2b=a+c
∴4b 2=a 2+2ac+c 2
①
∵b 2=a 2﹣c 2
②
①②联立可得，5c 2+2ac ﹣3a 2=0
∵
∴5e 2
+2e ﹣3=0
∵0＜e ＜1
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，
∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，
∴sinC=cosC，∴tanC==，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4a2
=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC的面积S=absinC==
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=…
故BC=15，
从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，
解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，
即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…
此时，（x＞0）．
f'x=0x=1f x f'x
（Ⅱ）（x＞0）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…
（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
）
所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．…
要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．
所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不
单调．…
（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．…
证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，
易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1．（*）…
由，得．…
令，，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递增．
且，
，
结合（*）式可得，，
．
令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，…所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，
即成立，从而命题成立．…
（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）
【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
23．【答案】
【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，
并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）
（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点
所以l的方程为…
（ⅱ）当2﹣k2
≠0，即k≠±时
△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k），
①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．
所以l的方程为3x﹣2y+1=0…
综上知：l的方程为x=1或或3x﹣2y+1=0…
（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），
则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，
两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）…
又∵x1+x2=2，y1+y2=4，
∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）
即k AB==，…
∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…
代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，
由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在．…
【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．24．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f（x）=4x﹣22x+2，
f（x）﹣1=（2x）2﹣2•（2x）+1=（2x﹣1）2=0，
∴2x=1，解得：x=0；
（2）4x﹣a•（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a•（2•2x﹣1）＜4x+1，
∵2x+1＞1，
∴a＞，
令2x=t∈（1，2），g（t）=，
则g′（t）===0，
t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增，
而g（1）=2，g（2）=，
∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点，
则a=有交点，
由（2）令g（t）=0，解得：t=，
故a≥．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．。