江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试数学(精品Word版,含答案解析)

2019届高三年级第二次学情测试数学（含理科加试）
（考试时间：120分钟试卷满分：160分）
一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.
1.已知集合则.
【答案】
【解析】
试题分析：．故答案应填：
【考点】集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.
2.“”是“”的________条件.
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
x>2,或x<0.得“x＞2”是“” 充分不必要.
【详解】x>2,或x<0.
根据充分不必要的定义，判断出“x＞2”是“” 充分不必要.
故答案为：充分不必要
【点睛】本题考查的是不等式的解法和充分不必要的判断，属于基础题.
3.命题“若，则”的否命题为____________．
【答案】若，则
【解析】
试题分析：根据否命题的概念，有否命题为：若，则．
考点：四种命题及其相互关系．
4.函数的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根式的被开方式非负和对数的真数大于0，列出不等式求出即可；
【详解】
,
故答案为：
【点睛】本题考查了求函数的定义域，就是使各个式子有意义即可，属于基础题.
5.函数在上为奇函数，且时，，则当时，________.
【答案】
【解析】
试题分析：∵为奇函数，时，，∴当时，，
，即时，，故答案为：. 考点：函数解析式的求解及常用方法.
6.曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】
【解析】
分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。

详解：
则
所以
故答案为-3.
点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。

7.已知倾斜角为的直线l的斜率等于双曲线的离心率，则＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知;tan=,＝sin,利用三角函数关系得出结果即可.
【详解】双曲线的离心率，
，因为为直线的倾斜角，所以
∴＝sin=2sin=
故答案为： .
【点睛】本题考查的是利用双曲线的离心率得出tan，再利用三角函数的倍角公式得出结果即可，属于基础题.
8.在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．
【详解】∵在正四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA=2，高SO=2，
∴底面中心到顶点的距离AO==2
因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB2=16
该棱锥的体积为V=S ABCD•SO=×16×2=．
故答案为：．
【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题．
9.对于任意实数，定义设函数，，则函数的最大值是________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，
在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．
【详解】∵x＞0，∴f（x）=﹣x+3＜3，g（x）=log2x∈R，分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x 的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，
h（x）=min{f（x），g（x）}的图象，
在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．
解方程组得，
∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了函数的最值及其数形结合的方法，利用对数函数的单调性与特殊点求出结果，属于基础题．
10.已知点，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
试题分析：设，则，由，得，所以
，令，则，所以．考点：平面向量的数量积的运算；三角函数的最值.
11.若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式得的值，再利用余弦的二倍角公式即可得到答案.
【详解】，根据诱导公式得，
则=
故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用.
12.椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝，，
，则椭圆的离心率的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分别表示出|AF|和|BF|代入
|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴=
即e==
∵a∈[，]，∴≤α+≤
∴≤sin（α+）≤1 ∴≤e≤
故答案为：[，]
【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，要特别利用好椭圆的定义，是中档题．
13.在平面直角坐标系中，圆与圆相交于两点，若在直线上存在一点，使成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知O，M在直线AB两侧，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围．
【详解】圆O的圆心为O（0，0），半径为r，圆M的圆心为M（2，2），半径为2．
∴|OM|==4，
∵圆O与圆M相交，
∴2＜r＜6．
∵对于直线AB上任意一点P，均有成立，
∴O，M在直线AB两侧．
又OM⊥AB，∴当直线AB过点M时，OA==2．
∴2＜r＜6．
故答案为:．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，圆与圆的位置关系，属于中档题．
14.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别
为，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
求解直线恒过定点（，0），k＞0恰有三个公共点，其直线必过f（x）的对称点（，
0），其它两点是直线与f（x）的切点，那么x1+x3=，由导函数几何意义：f′（2x）=-sin2=k，再由切线方程即可求出.
【详解】由题意，直线可得y=k(x-)恒过定点（，0），即x2=
∵k＞0恰有三个公共点，
其直线必与（x）的相切，因为f（x）关于（，0）对称，所以x1+x3=．
∴，导函数几何意义：f′（2x）=-sin2=k
所以切线方程：y-过（，0）
所以，==
故答案为：
【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.
二、解答题：共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
15.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的两个三等分点.
（1）求证平面；
（2）若平面平面，求证：.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连结BD，AC相交于O，证明BE∥OF，即可证明BE∥平面ACF；（2）过A作AH⊥PC于H，利用面面垂直的性质证明AH⊥平面PCD，从而证明AH⊥CD，然后利用线面垂直的性质证明PC⊥CD．
【详解】（Ⅰ）连接BD、AC，两线交于O，
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分），
∵F是DE的中点（由三等分点得到），
∴OF是△DEB的中位线，∴BE∥OF，
∵OF⊂面ACF，BE⊄面ACF，
∴BE平行平面ACF．
（Ⅱ）过A作AH⊥PC于H，∵平面PAC⊥平面PCD，
∴AH⊥平面PCD，∵CD⊂平面PCD，∴AH⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．又∵PA∩AH=A，∴CD⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，
∴PC⊥CD．
【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及面面垂直的性
质应用，注意把判定定理和性质定理条件写全，综合性较强．
16.已知向量，向量与向量的夹角为，且.
（1）求向量；
（2）设向量，向量，其中，若，试求的取值范围.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】
（I）设向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=﹣1．根据向量数量积的运算法则，可得到关于x，y的方程组，解方程可得向量的坐标；（Ⅱ）由向量=（1，0）向量，其中(，
)，其中，，若＝0，我们可以求出2的表达式，利用三角函数的性质可得的取值范围．
【详解】（Ⅰ）设向量=（x，y），∵向量=（1，1），
则•=x+y=﹣1…①•=||•||•cos=﹣1，
即x2+y2=1
解得x=0，y=﹣1或x=﹣1，y=0
故=（﹣1，0），或=（0，﹣1），
（II）∵向量=（1，0），⊥，则=（0，﹣1），
又∵向量=（cosx，cos2（﹣）），
∴+=（cosx，cos2（﹣）﹣1）=（cosx，），
则|+|2=cos2x+=cos2x-sinx+=-，
∵，，，|+|2
故|+|≤
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，最后转化成二次函数在上求最值是解答本题的关键，属于中档题.
17.梯形顶点在以为直径的圆上，米.
图1 图2
（1）如图1，若电热丝由这三部分组成，在上每米可辐射1单位热量，在上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；
（2）如图2，若电热丝由弧和弦这三部分组成，在弧上每米可辐射1单位热量，在弦上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝辐射的总热量最大.
【答案】（1）9单位；（2）米.
【解析】
【分析】
（1）取角为自变量,设∠AOB＝θ，分别表示AB，BC,根据题意得函数8cosθ+8 sin,利用二倍角余弦公
式得关于sin二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量,设∠AOB＝θ，利用弧长公式表示 ,得函数2θ＋4cosθ,利用导数求函数单调性,并确定最值
【详解】设，则，，
总热量单位
当时，取最大值，
此时米，总热量最大9（单位）.
答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.
（2）总热量单位，，
令，即，，
当时，，为增函数，当时，，为减函数，
当时，，此时米.
答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，同时考查利用二次函数和导数求函数的最值问题.
18.设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x，a R.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单
调递减区间为；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.
（Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.
试题解析：（Ⅰ）由
可得，
则，
当时，
时，，函数单调递增；
当时，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减.
所以当时，单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
①当时，，单调递减.
所以当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，
可得当当时，，时，，
所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意.
④当时，即，当时，，单调递增,
当时，，单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a的取值范围为.
【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.
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19.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且椭圆的短轴长为2.
（1）球椭圆的标准方程；
（2）已知直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和.
①求的值；
②设的中点，的中点为，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆短轴长为2，得b=1，再由离心率结合计算即可得到椭圆的方程;（2）由直线过右焦点，设出直线AB方程，将AB方程与椭圆方程联立，写出韦达定理计算弦长AB, 由两直线斜率乘积
为，将弦长AB中的斜率变为可得弦长CD,相加即得结果;（3）由中点坐标公式可得点M,N坐标，观
察坐标知MN中点T在x轴上，所以，整理后利用基本不等式即可得面积的最值.
【详解】（1）由题设知：
解得
故椭圆的标准方程为.
（2）①设的直线方程为，
联立消元并整理得，
所以，，
于是，
同理，
于是.
②由①知，，，，
所以，，
所以的中点为，
于是，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【点睛】圆锥曲线中求最值或范围时，一般先根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．解题时可从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
20.已知函数，，.
（1）当，时，求函数的最小值；
（2）当，时，求证方程在区间上有唯一实数根；
（3）当时，设是函数两个不同的极值点，证明：.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）构造新函数y=，求导判断单调性，得出最小值e.（2）变量分离a=-=h（x），根据函数的单调性求出函数h（x）的最小值，利用a的范围证明在区间(0，2)上有唯一实数根；（3）求出，问题转化为证，令x1﹣x2=t，得到t＜0，根据函数的单调性证明即可．
【详解】(1)当＝0，时，=，求导y’==0的根x=1
所以y在（-），（0,1）递减，在（1，+）递增，
所以y=e
(2)+=0,所以a=-=h（x）
H’(x)=-=0的根x=2
则h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
所以h（2）是y=h（x）的极大值即最大值，即
所以函数f（x）在区间（0，2）上有唯一实数根；
(3)= -
F’(x)-2ax-a=0的两根是，
∵x1，x2是函数F（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），
∴a＞0（若a≤0时，f'（x）＞0，即F（x）是R上的增函数，与已知矛盾），
且F'（x1）=0，F'（x2）=0．∴，…
两式相减得：，…
于是要证明，即证明，两边同除以，
即证，即证，即证
，
令x1﹣x2=t，t＜0．即证不等式，当t＜0时恒成立．
设，∴=
设，∴，
当t＜0，h'（t）＜0，h（t）单调递减，
所以h（t）＞h（0）=0，即，
∴φ'（t）＜0，∴φ（t）在t＜0时是减函数．
∴φ（t）在t=0处取得极小值φ（0）=0．
∴φ（t）＞0，得证．
∴．
【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查换元思想，是一道综合题．
2019届高三年级第二次学情测试数学加试试卷（物理方向考生作答）一、解答题：共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
21.求下列函数的导函数.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据复合函数的求导法则求导.
【详解】（1）.
（2）.
【点睛】本题主要考查复合函数的求导法则，重点是掌握函数的导数公式.
22.已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设点,重心G（x，y），由三角形的重心坐标公式可得点P和G坐标之间的关系，然后将点P坐标代入双曲线方程化简即可得所求.
【详解】设重心，点，因为，
则有，
故，
代入得.
又与不共线，所以，
故所求轨迹方程为.
【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程，利用三角形的重心坐标公式找出点P与重心G的坐标间的关系是解题的关键.
23.在四棱锥中，底面是一直角梯形，底面，，，，
，是上的点，且.
（1）若，求异面直线与所成角的大小；
（2）当为何值时，二面角的余弦值为.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系,求和所成角，即可得异面直线AE与CD所成角；（2）求平面ACE和平面AED 的法向量，利用法向量夹角的余弦值计算即可得到的取值.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，
，，
（1）由，知，，，
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的大小为.
（2）由，
，
设平面的法向量，
则即，取，得，
由已知面，所以平面的一个法向量，
所以，解得或.
因为，所以.
【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列
出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 24.如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且
.
（1）求动点的轨迹；
（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点，，直线
的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到，即可计算k AB；（3）若，由两直线斜率积为-1，可得到关于与的等量关系，写出直线AB 的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB经过的定点．
【详解】（1）设，，.
由，得，即.
因为，所以，所以.
所以动点的轨迹为抛物线，其方程为.
（2）证明：设点，，
若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，
又，，所以，
，整理得，
所以.
（3）因为，
所以，
即，①
直线的方程为：，
整理得：，②
将①代入②得，即，
当时，
即直线经过定点.
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线斜率为定值的求法和直线恒过定点问题.。