2025届江苏省无锡市锡山高级中学高考冲刺模拟数学试题含解析

2025届江苏省无锡市锡山高级中学高考冲刺模拟数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
2．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且44422222
2a b c a b c a b
+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）
A ．1⎛ ⎝⎭
B ．(
C ．1⎛ ⎝
⎦ D ．
3．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，
(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）
A ．
5
4
B ．2
C ．3
D ．
72
4．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数
D ．()()f x g x ⋅是奇函数
5．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体
B ．球体
C ．圆锥
D ．长宽高互不相等的长方体
6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A ．3?i ≤
B ．4?i ≤
C ．5?i ≤
D ．6?i ≤
7． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
8．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线
的离心率为2e ，若112PF F F =，则2
133
e e +的最小值为（ ） A ．623+
B ．622+
C ．8
D ．6
9．已知函数()2
22
ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩
，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．
1
e
B e
C 2e
D ．
21e
10．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *
()n N ∈中最小的是（ ）
A ．7S 或8S
B ．12S
C ．13S
D ．14S
11．已知双曲线C ：22
22x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为3y x =，则C 为（ ）
A ．22
1412x y -=
B ．22
1124
x y -=
C ．22
11648
x y -=
D ．22
14816
x y -=
12． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为
A ．32f
B ．322f
C ．1252f
D ．1272f
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是_______． 14．等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________．
15．已知α，3,4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭______.
16．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆T ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12，直线l ：60x y +-=与以原点为圆心，以椭圆C
的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.
（1）求椭圆T 的方程；
（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，
160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .
（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ； （2）求二面角111A B C A --的余弦值. 19．（12分）已知函数，
．
（Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）若
，对
，
，都有不等式
恒成立，求的取值范围．
20．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表： 爱情婚姻 咏史怀古 边塞战争 山水田园 交游送别 羁旅思乡 其他 总计 篇数 100
64
55
99
91
73
18
500
含“山”字的
篇数 51
48
21
69
48
30
4
271
含“帘”字的
篇数 21
2
7
3
5
38
含“花”字的
篇数
60
6
14
17
32
28
3
160
（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率； （2）已知检索关键字的选取规则为：
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；
②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的2K 的观测值越大，排名就越靠前；
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的2K 观测值分别为1k ，2k ，3k .已知10.516k ≈，231.962k ≈，请完成下面列联
表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数
不含“花”的篇数
总计
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
()
2
P K k
≥0.05 0.025 0.010 k 3.841 5.024 6.635 21．（12分）已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若
xyz
x y z
++
＝
1
3
，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且4
PD CD
==，2
AD=．
（1）求AP与平面CMB所成角的正弦．
（2）求二面角M CB P
--的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】
解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题. 2、C 【解析】
由44422222
2a b c a b c a b
+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】
由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222
(2)a b c a b c a b ++-=+， 可得222222
2
2
2
22
()c a b c a b a b c a b
+-++-=+， 通分得22222222
22
()()0a b c c a b a b a b +---+=+，
整理得2
2
22
22
()a b c a b +-=，所以22221
()24
a b c ab +-=，
因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2
C =-
， 又由余弦定理2
2
2
2
2
2
2cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-
2223
()(
)()24
a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，
所以)c a b >
+，即
a b c +≤，
又由a b c +>，所以
a b c +的取值范围是.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力. 3、B 【解析】
由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，利用均值不等式，即得解. 【详解】
因为点P 为BC 中点，所以11
22
AP AB AC =
+， 又因为AM AB λ=，AN AC μ=， 所以11
22AP AM AN λμ
=
+． 因为M ，P ，N 三点共线，
所以
11122λμ
+=，
所以111111()1222222
2λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当,11122λμ
μλλμ
⎧=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，
所以λμ+的最小值为1． 故选：B 【点睛】
本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 4、C 【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【详解】
解：
()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，
()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，
()()()()f x g x f x g x --=-，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=为偶函数，故D 错误，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 5、C 【解析】
根据基本几何体的三视图确定． 【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 6、C 【解析】
根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C.
【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 7、D 【解析】
解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由
解得C （2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．
8、C 【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2
133
e e +，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a =
，2c
e a ='
，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
1222m PF PF a a c +=⇒=
+，2122
m
PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3262832m c c m c c ⎛⎫- ⎪
⎝⎭≥+⋅=⎛⎫
- ⎪⎝⎭
当且仅当7
3
a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 9、A 【解析】
画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()1222
2
2ln f x f x x x x x =
=
，构造函数()ln x
g x x
=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【详解】
由于22
123012x x e x e <<<<<<+，
1212ln ln 1x x x x -=⇒=,
由于
()()122
2
2
2
ln f x f x x x x x =
=
， 令()ln x
g x x =
，()
21
x e ∈，， ()()2
1ln x g x g x x
=⇒'-在()1e ，↗，()
2
e e ，↘ 故()1
()max g x g e e
==.
故选：A 【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难
题. 10、C 【解析】
设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-
，可得1(554)51n n a a -=.令 554051
n
-<，可得 当
14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*
n S n N ∈中最小的.
【详解】
解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1
451
a d =-
， 1
1(554)(1)51
n n a a a n d -∴=+-=
.
令
554051n -<，可得5
4
5n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和(
)*
n S n N ∈中最小的是13S
.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 11、A 【解析】 由题意求得c 与b
a
的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】
由题意，2c ＝8，则c ＝4，
又
b
a
=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.
∴双曲线C 的方程为22
1412
x y -=.
故选：A . 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 12、D 【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =
，则7781a a q f === 故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若
1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1
n n a
q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*
3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、 (1，2
e e ) 【解析】
()x f x a =在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2]，等价转化为()x f x a =与2y
x 的图像在(1，+∞)上恰有两个交点，
考虑相切状态可求a 的取值范围. 【详解】
由题意知：()x
f x a =与2y x 的图像在(1，+∞)上恰有两个交点 考查临界情形：0x y a =与2y
x 切于0x ，
00
22200
000
(1,)ln 2x e e x a x a e a e a a x ⎧=⎪⇒=⇒∈⎨=⎪⎩． 故答案为：2
(1,)e e . 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 14、1- 【解析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()
1,3C ， 则：()2,0AB =，()
1,3BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC =，
据此可知AB 在BC 方向上的投影为
2
12
AB BC AB
⋅-=
=-.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15、3365
-
【解析】
由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得()sin αβ+，sin 4πβ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值，由两角差的正弦公式即可计算得sin 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【详解】
α，3,
4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛⎫-=- ⎪
⎝
⎭，
3,22παβπ⎛⎫
∴+∈ ⎪⎝⎭
，3,
424πππβ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
， ()()23
sin 1cos 5
αβαβ∴+=--+=-，
212sin 1cos 4413ππββ⎛⎫⎛
⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()sin sin 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫∴+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣
⎦()()3541233sin cos cos sin 4451351365ππαββαββ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭.
故答案为：3365
- 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 16、
323
π 【解析】
根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接
AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球
心为O ，即可求得其外接球的体积. 【详解】
由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，
设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.
因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ，
易得2OA OB OC OD OE =====，
则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233
V R ππ=
=. 故答案为：32
3
π. 【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22
143
x y +=；
（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【解析】
（1
）根据相切得到b =
2a =，得到椭圆方程.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到122634
t
y y t +=-
+，
122
9
34y y t =-
+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，圆的方程可化为()()244690x x y ty --++-=，得到答案.
【详解】
（1
）根据题意：b =
=
2
b a ==
，所以2a =， 所以椭圆T 的方程为22
143
x y +=.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到(
)
2
2
34690t y ty ++-=， 所以122634t y y t +=-
+，12
29
34
y y t =-+， 所以()2
2
1212122412134
t x x t y y t y y t -=+++=+，1212
281134x x ty ty t +=+++=+，
因为直线AB 的斜率1
12AB y k x =
+，所以直线AB 的方程
()1122
y y x x =++， 所以点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
， 故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫
--+-
-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
，
又因为
()()()
12121212123636369
9222436y y y y x x x x x x ⨯==-=-+++++，()()12121212212121212121866666223339
ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==-+++++++， 所以圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，令0y =，则有()2
49x -=，
所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】
本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、（1）见解析；（2
【解析】
（1）过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD
CE O =，连接BO ，由角平分线的性质，正方形的性
质，三角形的全等，证得CE BO ⊥，CE AD ⊥，由线面垂直的判断定理证得CE ⊥平面BAD ，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得BO ⊥平面11AAC C ，建立空间直角坐标系O xyz -，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值. 【详解】
（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD
CE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，
又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥， 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥
又,AD BO ⊂平面BAD ，AD
BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，
又
CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，
（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，1
222
CO CE ==，22BO ∴=，
又4AB =，1
222
AO AD ==，222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，
又BO CE ⊥，AD
CE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，
故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -， 1(0,6,22)B ，11(2,2,22)C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)
C A =， 设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460
22220
x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，
令1=6x ，得(6,4,52)m =-,
设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则11
11n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，
222240
22220
x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y ，得(0,21)n =-, 92317
cos ,171023
m n m n m n
⋅∴<>=
=
=⨯⋅，由图示可知二面角111A B C A --是锐角，
故二面角111A B C A --的余弦值为
31717
.
【点睛】
本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题. 19、（Ⅰ）；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）由题意不等式化为，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转化为
，分别求出
和
，列出不等式
求解即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，，
若，则不等式化为，解得；
若，则不等式化为，解得，即不等式无解；
若，则不等式化为，解得，
综上所述，的取值范围是；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，
只需，
当时，，，
因为，所以当时，
，
即，解得，
结合，所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.
20、（1）该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为
69 271；属于“其他”类别的概率约为
4
271
（2）填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，
“帘”
【解析】
（1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；
（2）根据统计图表完成列联表，算出2
K观测值，查表判断.
【详解】
（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小
属于“山水田园”类别的概率约为69
271
；属于“其他”类别的概率约为
4
271
；
（2）列联表如下：
计算得：2
35001400045.037100400340160
k ⨯=≈⨯⨯⨯；
因为23, 3.841k k >，1 3.841k <，所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为23k k >，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”. 【点睛】
本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养. 21、（1）证明见解析；（2）最小值为1 【解析】
（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=, 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz .
（2）由xyz x y z ++＝1
3, 得
1113yz xz xy
++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值. 【详解】
（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，
∴|x +z |⋅|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥4 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．
又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >， ∴|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）∵
xyz x y z ++＝1
3，即
1113yz xz xy
++=．
∵11
22yz yz yz yz
+
⋅=， 11
22xz xz xz xz
+
⋅=， 11
22xy xy xy xy
+
⋅=， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴111
6xy yz xz xy yz xz
+++
++， ∴xy +yz +xz ≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy +yz +xz ≥1， ∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为1． 【点睛】
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题． 22、 (1) 45
. (2)
310
10
. 【解析】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可. 详解：
（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，
又∵PD ⊥平面ABCD ，
∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，
∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，
由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ， 则()2,0,4AP =-，()2,0,0BC =-，()1,4,2MB =-，
设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，
则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =， ∴()10,1,2n =， ∴1114cos ,5
25AP n AP n AP n ⋅===⋅， 故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为
45
． （2）由（1）可得()0,4,4PC =-， 设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，
则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =， ∴()20,1
,1n =， ∴12
cos ,5n n ==， 故二面角M CB P --． 点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.。