高中数学(苏教版)选修1-1 阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 Word版含解析

阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 2
9＝1的两条渐近线的方程为____________________．
2．(四川高考改编)抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离是________．
3．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长
等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．
4．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________________________．
5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝⎛⎭⎫52，－3
2的椭圆的标准方程为_____________________． 6．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，
连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝4
5
，则C 的离心率为________．
8．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．
9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲
线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．
10．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到
双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．
11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直
线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为_____________________．
12．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2
b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是
两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．
13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为
22，则n
m
的值为________． 14．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点
F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 2
49＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与
双曲线的离心率之比为3
7
，求双曲线的方程．
16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为
32
，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．
17.(本小题满分14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)
的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．
18．(本小题满分16分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x
轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中
点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．
答 案
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
1．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±3
4x .
答案：y ＝±3
4
x
2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3
＝32
.
答案：
32
3．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.
答案：44
4．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即
(x ＋2)2＋y 2＝2－x . ∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x
5．解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2. 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
∴
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫522a 2
＋⎝⎛⎭
⎫－322b 2
＝1a 2
－b 2
＝4，
，解得a 2＝10，b 2＝6.
∴椭圆的标准方程为x 210＋y 2
6＝1.
答案：x 210＋y 2
6
＝1
6．解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.
答案：2
7．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×4
5＝36，
则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB
2＝
5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57
.
答案：57
8．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝
|2x －x 2－4|
5＝|(x －1)2＋3|
5
，
∴当x ＝1时，d 取最小值3
5
，此时P 的坐标为(1,1)． 答案：(1,1)
9．解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
PF 1－PF 2＝2a ，
PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，
设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，
PF 21＝OF 21＋OP 2
－2OF 1·
OP ·cos α①， 在△OPF 2中，
PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·
OP ·cos(180°－α) ②， 由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝3a a
＝ 3.
10．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴c
a
＝
a 2＋
b 2
a
＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭
⎫0，p
2到双曲线的渐近线的距离为⎪
⎪⎪⎪3×0±
p 22
＝2.
∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y
11．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝1
2(x －3)，代
入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94
a 2－a 2
b 2＝0，
所以AB 的中点的横坐标为32
a 2
2⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，
即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y 2
9＝1.
答案：x 218＋y 2
9
＝1
12．解析：取P 在双曲线的右支上，
则⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .
∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a
13．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，
得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0 ∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝m m ＋n .
又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴n
m
＝ 2.
14．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b
2
a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－
b a ＝－b 2a
c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是2
2
.
答案：
22
15．解：在椭圆x 236＋y 2
49＝1中，焦点坐标为(0，±13)，
离心率e ′＝
137
， 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
∴⎩
⎨⎧
a 2＋
b 2＝13，137
∶a 2＋b 2a ＝3
7
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝9，b 2
＝4.
∴双曲线的方程为y 29－x 2
4
＝1.
16．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
∵e ＝
3
2
，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2
b
2＝1.
把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝1
5(4－4b 2)．
∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)
＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1
5(1－4b 2)．
由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝5
2.
∴椭圆方程为25x 2＋8
5
y 2＝1.
17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝1
2.
(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．
代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫
85c ，－335c .
所以|AB |＝
1＋3·|85c －0|＝16
5
c .
由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2
＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.
法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝8
5
a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2
＝403知，
a ＝10，
b ＝5 3.
18．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4
k 2.
由抛物线定义知，
|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4
k 2＋2＝8.
解得k ＝±1.
所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.
19．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.
由此得|4－x |＝2
(x －1)2＋y 2，
化简得x 24＋y 2
3
＝1，
所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 2
3＝1中，
有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，
其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0， 故k 2>32
.
由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－24k
3＋4k 2，①
x 1x 2＝
24
3＋4k 2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 2
1
＝123＋4k 2
， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2
，且k 2＞32， 解得k ＝－32或k ＝32，
所以直线m 的斜率为－32或3
2
.
法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 2
2
，①
y 1＝3＋y 22
.②
又x 214＋y 21
3＝1，③ x 22
4＋y 2
23
＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－2，
y 2＝0.
即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或3
2
.
20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．
因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c
2.
结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，
故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25
5.
在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故 S △AB 1B 2＝1
2·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |
＝c 2
·b ＝b 2， 由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 2
4
＝1.
(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根， 因此y 1＋y 2＝4m
m 2＋5，y 1·y 2＝－16
m 2＋5
.
又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以 2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2
＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2
＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16
＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2
m 2＋5
＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5
， 由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q ＝0，
即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.
当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0.
故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109
， △PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109
. 当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109
. 综上所述，△PB 2Q 的面积为16109
.。