专题2.1 整式

1．用字母表示数
（1）用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便．从具体的数字抽象到用字母表示数，在认识上是一个重大飞跃．
（2）同一问题中不同的数量要用不同的字母表示；不同的问题中不同的数量可以用相同的字母表示；
一个字母表示的数往往不止一个，具有任意性，但要受实际问题的限制．
2．单项式
（1）单项式：由__________组成的式子叫做单项式．如1
2
ab，m2，–x2y．特别地，单独的__________
或__________也是单项式．
单项式的系数：单项式中的__________．
单项式的次数：一个单项式中，__________．
（2）注意：
①圆周率π是常数，单项式中出现π时，要将其看成系数．
②当一个单项式的系数是“1”或“–1”时，“1”通常省略不写，如a2，–m2；次数为“1”时，通常也省略不写，如x.
③单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关．
④单项式中的数与字母是乘积关系，如
2
3a
不是单项式．
⑤单项式的次数与数字因数无关，只与字母有关，是单项式中所有字母的指数的和，如单项式b的次数
是1，而不是0，常数–5的次数是0，9×103a2b3c的次数是6，与103无关．
3．多项式
（1）多项式：几个__________的和叫做多项式．如x2+2xy+2，a2–2．
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做__________．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的__________．
（2）注意：
①多项式的每一项都包括它前面的符号，且每一项都是单项式．
②多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，而不是所有项的次数之和．
③一个多项式有几项，就叫它几项式．
4．整式：
单项式与多项式统称__________．
如果一个式子既不是单项式，也不是多项式，那么它一定不是整式．
K知识参考答案：
2．（1）数或字母的积，一个数，一个字母，数字因数，所有字母的指数的和3．（1）单项式，常数项，次数4．整式
一、用含字母的式子表示数或数量关系
列式时要注意：
1．数与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“·”或省略不写．2．数与字母相乘，数写在字母前面．
3．数字因数为“1”或“–1”时，常省略“1”．
4．当数字因数为带分数时，要写成假分数．
5．除法运算要用分数线．
6．式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来．【例1】用含字母的式子表示下列数量关系．
（1）小雪买单价为a元的笔记本4本，共花_________元；
（2）三角形的底为a，高为h，则三角形的面积是_________；
【名师点睛】列式子表示数量关系，一定要弄清“和”“差”“积”“倍”等关系．
二、单项式
（1）一个式子是单项式需具备两个条件：
①式子中不含运算符号“+”号或“–”号；②分母中不含有字母.
（2）确定单项式系数的方法是把式子中的所有字母及其指数去掉，剩余的为其系数．
（3）计算单项式的次数时要注意：①没有写指数的字母，实际上其指数为1，计算时不能将其遗漏；②不能将系数的指数计算在内．
【答案】见解析
【名师点睛】注意π是圆周率，是一个常数．
三、多项式
一个式子是多项式需具备两个条件：
（1）式子中含有运算符号“+”或“–”；
（2）分母中不含有字母．
【例3】多项式–5x2–xy4+26xy+3共有__________项，该多项式的次数为__________，最高次项的系数是__________．
【答案】4，5，–1
【解析】多项式–5x2–xy4+26xy+3共有4项，该多项式的次数为5，最高次项的系数是–1．故答案为：4，5，–1．
【名师点睛】多项式的每一项都包括它前面的符号，多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
1．单项式2a3b的次数是
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在下列各式中，二次单项式是
A．x2+1 B．1
3
xy2C．2xy D．（–
1
2
）2
3．单项式–2xy3的系数和次数分别是
A．–2，4 B．4，–2 C．–2，3 D．3，–2 4．下列说法正确的是
A．
3
5
xy
-的系数是–3 B．2m2n的次数是2次
C．
2
3
x y
-
是多项式D．x2–x–1的常数项是1
5．下列关于多项式5ab2–2a2bc–1的说法中，正确的是
A．它是三次三项式B．它是四次两项式C．它的最高次项是–2a2bc D．它的常数项是1
6．245π6x y 的系数、次数分别为
A ．56，7
B ．5π6，6
C ．5π6
，8
D ．5π，6 7．对于式子：22x y +，2a b ，12，3x 2+5x –2，abc ，0，2x y
x
+，m ，下列说法正确的是
A ．有5个单项式，1个多项式
B ．有3个单项式，2个多项式
C ．有4个单项式，2个多项式
D ．有7个整式
8．下列单项式中，次数为3的是
A ．223
x y
-
B ．mn
C ．3a 2
D ．2
72
ab c -
9．下列关于单项式223
x y
-的说法中，正确的是
A ．系数是2，次数是2
B ．系数是–2，次数是3
C ．系数是23-
，次数是2
D ．系数是2
3
-，次数是3 10．下列关于单项式–23π5
x y
的说法中，正确的是
A ．系数是1，次数是2
B ．系数是–3
5
，次数是2
C ．系数是15，次数是3
D ．系数是–3π
5
，次数是3
11．多项式x 2–2xy 3–1
2
y –1是
A ．三次四项式
B ．三次三项式
C ．四次四项式
D ．四次三项式
12．下列说法正确的是
A ．23vt
-
的系数是–2 B ．32ab 3的次数是6次 C ．5
x y +是多项式
D ．x 2+x –2的常数项为2
13．下列结论正确的是
A ．0不是单项式
B ．52abc 是五次单项式
C ．–x 是单项式
D ．
1
x
是单项式 14．单项式2ab 2的系数是__________．
15．多项式2a 2b –ab 2–ab 的次数是__________．
16．若单项式–2x 3y n 与4x m y 5合并后的结果还是单项式，则m –n =__________．
17．观察下面的一列单项式：2x ；–4x 2；8x 3；–16x 4，…根据你发现的规律，第n 个单项式为__________． 18．已知多项式（m –1）x 4–x n +2x –5是三次三项式，则（m +1）n =__________． 19．将多项式a 3+b 2–3a 2b –3ab 2按a 的降幂排列为：__________． 20．指出下列多项式是几次几项式：（1）x 3–x +1；（2）x 3–2x 2y 2+3y 2．
21．单项式–
258m a b 与–3411
7
x y 是次数相同的单项式，求m 的值． 22．已知：关于x 的多项式（a –6）x 4+2x –1
2
b x –a 是一个二次三项式，求：当x =–2时，这个二次三项式的
值．
23．单项式32π3x y z
-的系数是
A ．π3
B ．–π3
C ．
1
3
D ．–
13
24．单项式–ab 2的系数是
A ．1
B ．–1
C ．2
D ．3
25．多项式xy 2+xy +1是
A ．二次二项式
B ．二次三项式
C ．三次二项式
D ．三次三项式
26．下列说法中，正确的是
A ．单项式223
x y
-的系数是–2，次数是3
B ．单项式a 的系数是0，次数是0
C ．–3x 2y +4x –1是三次三项式，常数项是1
D ．单项式232
ab
-的次数是2，系数为92-
27．如果整式x n–3–5x2+2是关于x的三次三项式，那么n等于
A．3 B．4 C．5 D．6
28．一组按规律排列的式子：a2，
4
3
a
，
6
5
a
，
8
7
a
，…，则第2017个式子是
A．
2017
2016
a
B．
2017
4033
a
C．
4034
4033
a
D．
4032
4031
a
29．–
2
5
xy
的系数是__________，次数是__________．
30．单项式2x2y的次数是：__________．
31．已知多项式kx2+4x–x2–5是关于x的一次多项式，则k=__________．
32．单项式–
2
2
x y
的系数是__________．
33．多项式3x m+（n–5）x–2是关于x的二次三项式，则m，n应满足的条件是__________．
34．多项式a3–3ab2+3a2b–b3按字母b降幂排序得__________．
35．观察下列单项式：–x，3x2，–5x3，7x4，…–37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式．
36．已知多项式x3–3xy2–4的常数是a，次数是b．
（1）则a=__________，b=__________；并将这两数在数轴上所对应的点A、B表示出来；
（2）数轴上在B点右边有一点C到A、B两点的距离之和为11，求点C在数轴上所对应的数．
37．（2017•铜仁市）单项式2xy3的次数是
A．1 B．2 C．3 D．4
A．
2
B．πC．2 D．
2 3
【解析】A、
3
5
xy
-的系数是–
3
5
，故此选项错误；B、2m2n的次数是3次，故此选项错误；
C、
2
3
x y
-
是多项式，正确；D、x2–x–1的常数项是–1，故此选项错误；故选C．
5．【答案】C
【解析】多项式5ab2–2a2bc–1的次数是4，有3项，是四次三项式，故A、B错误；
它的最高次项是–2a2bc，故C正确；它的常数项是–1，故D错误．故选C．6．【答案】B
【解析】
24
5π
6
x y
的系数为
5π
6
，次数为6，故选B．
7．【答案】C
【解析】22x y +，2a b ，12，3x 2+5x –2，abc ，0，2x y x +，m 中，有4个单项式：1
2
，abc ，0，m ； 有2个多项式：22
x y
+，3x 2+5x –2．故选C ．
8．【答案】A
【解析】A 、223
x y
-次数为3，故此选项正确；B 、mn 次数为2，故此选项错误；
C 、3a 2次数为2，故此选项错误；
D 、2
72
ab c -次数为4，故此选项错误；故选A ．
9．【答案】D
【解析】单项式223
x y
-的系数是23-，次数是3．故选D ．
10．【答案】D
【解析】该单项式的系数为：–3π
5
，次数为3，注意π是一个常数，故选D ． 11．【答案】C
【解析】多项式x 2–2xy 3–1
2
y –1有四项，最高次项–2xy 3的次数为四，是四次四项式．故选C ． 12．【答案】C
13．【答案】C
【解析】A 、0是单项式，错误；B 、52abc 是三次单项式，错误； C 、正确；D 、1
x
是分式，不是单项式，错误．故选C ． 14．【答案】2
【解析】单项式2ab 2的系数为2．故答案为：2． 15．【答案】3
【解析】多项式2a 2b –ab 2–ab 的次数最高项的次数为：3．故答案为：3．
16．【答案】
【解析】由题意得：m =3，n =5，则m –n =3–5=–2，故答案为：–2． 17．【答案】（–1）n +1•2n •x n
【解析】∵2x =（–1）1+1•21•x 1； –4x 2=（–1）2+1•22•x 2； 8x 3=（–1）3+1•23•x 3； –16x 4=（–1）4+1•24•x 4；
第n 个单项式为（–1）n +1•2n •x n ， 故答案为：（–1）n +1•2n •x n ．
解得：62a b ==，， 则原式=2x –
12
x 2
–6， 当x =–2时，原式=–4–2–6=–12． 23．【答案】B
【解析】单项式32π3
x y z
-的系数是–π3，故选B ．
24．【答案】B
【解析】单项式–ab 2的系数是–1，故选B ． 25．【答案】D
【解析】多项式xy 2+xy +1的次数是3，项数是3，所以是三次三项式．故选D ．
26．【答案】D
27．【答案】D
【解析】∵整式x n–3–5x2+2是关于x的三次三项式，∴n–3=3，解得：n=6．故选D．28．【答案】C
【解析】由题意，得分子是a的2n次方，分母是2n–1，第2017个式子是
4034
4033
a
，故选C．
29．【答案】–1
5
，3
【解析】–
2
5
xy
的系数是：–
1
5
，次数是：3．故答案为：–
1
5
，3．
30．【答案】3
【解析】根据单项式次数的定义，字母x、y的次数分别是2、1，和为3，即单项式的次数为3．故答案为：3．
31．【答案】1
【解析】∵多项式kx2+4x–x2–5是关于x的一次多项式，∴k–1=0，则k=1．故答案为：1．
32．【答案】–1 2
【解析】单项式–
2
2
x y
的系数是–
1
2
．故答案为：–
1
2
．
33．【答案】m=2，n≠5
【解析】∵多项式3x m+（n–5）x–2是关于x的二次三项式，∴m=2，n–5≠0，即m=2，n≠5．故答案为：m=2，n≠5．
34．【答案】
【解析】多项式a3–3ab2+3a2b–b3的各项分别是：a3、–3ab2、3a2b、–b3．
故答案为：–b3–3ab2+3a2b+a3．
35．【解析】（1）这组单项式的系数依次为：–1，3，–5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式的
36．【解析】（1）∵多项式x3–3xy2–4的常数项是a，次数是b，
∴a=–4，b=3，
点A、B在数轴上如图所示：
，
故答案为：–4、3；
（2）设点C在数轴上所对应的数为x，
∵C在B点右边，∴x>3．
根据题意得x–3+x–（–4）=11，解得x=5，
即点C在数轴上所对应的数为5．
37．【答案】D
【解析】单项式2xy3的次数是1+3=4，故选D．
39．【答案】3
【解析】单项式5mn2的次数是：1+2=3．故答案是：3．。