上海交通大学硕士学位论文第四章应...

上海交通大学
硕士学位论文
基于分子动力学模拟的界面强度准则
姓名：***
申请学位级别：硕士
专业：固体力学
指导教师：***
20070101
基于分子动力学模拟的界面强度准则
摘要
随着各类功能材料、复合材料等先进材料的工业应用范围的不断扩大，由不同材料组成的界面的力学行为，越来越受到了人们的重视。

结合材料的破坏通常都是从界面或其附近发生的，其中，界面的剥离，即结合部的破坏，又是非常常见的破坏形式。

但是，关于结合材料的破坏准则，由于界面端应力奇异性和界面裂纹裂尖的震荡应力奇异性，以及界面本身与母材的强度不同等因素，是不能采用材料力学或断裂力学的破坏准则的，而必须根据界面问题的特征，重新建立相关的破坏准则。

目前科研的重点多集中在宏观材料界面的微观结构上探讨其力学行为，也就是由微观的观点来研究宏观的物理现象。

分子动力学是分子模拟中正迅速崛起的一种方法，被广泛应用于计算系统的热力学、动力及结构等性质，具有广阔的发展空间和良好的应用前景。

分子动力学方法采用经验势函数，从原子入手进行研究。

通过求解牛顿运动方程研究纳米颗粒在不同时刻的运动状态，建立纳米颗粒运动速度和待求量之间的函数关系，模拟求解材料的力学参数。

目前关于界面破坏尚没有一个被广为认可的评价准则。

本文采用分子动力学模拟方法，对结合材料的界面强度破坏问题进行分析，通过对（1）界面上应力集中引起的界面起裂；（2）界面端应力奇异引起的界面
I
端起裂；（3）界面上裂纹扩展三种计算模型的模拟，获得了结合材料界面破坏时的临界状态。

从模拟结果出发，提出结合材料界面破坏的准则。

虽然在分子动力学模拟中采用了简化的界面模型，但结果表明，分子动力学模拟仍可给宏观的界面破坏准则提供诸如破坏准则形式等方面的参考。

关键词：分子动力学模拟，界面强度准则，界面起裂，裂纹扩展
II
THE INTERFACE STRENGTH CRITERION BASED ON MOLECULAR DYNAMICS SIMULATION
ABSTRACT
With the widespread application of various kinds of composite materials and functional materials, people pay more attention to the mechanical behavior of bi-material. Fracture of bi-material often occurs at or near the interface. And the debonding of interface is a very familiar fracture mode. Because of the stress singularity of interface edge, the oscillatory stress singularity of interface crack tip and the different strength between interface and material itself and so on, the general fracture criterion used in material mechanics or fracture mechanics, is not suit for bi-material. The new fracture criterion has to rebuilt according to the character of interface. Now, the research emphasis is investigating the mechanical behavior in the nano-structure of macroscopic bi-material interface, viz. analyzing macroscopic physical phenomena from microscopic viewpoint.
As a rapidly developing method of molecular simulation, molecular dynamics (MD) has been widely used to calculate thermodynamic, dynamic
III
and structural properties of many systems, and has wider developing space and higher application foreground. Molecular dynamics method employs the empirical potential functions and analyzes in a view of atoms. It investigates the motion state of nano particles in different time by solving Newton motion equation, and establishes the functional relationship between the velocity of nano particles and the other unknown variables, and solves the mechanical parameters of materials.
So far no criterion of interface fracture has been generally recognized. The molecular dynamics simulation method is introduced in this paper to analyze the fracture of bi-material interface. We obtain the critical state of bi-material interface fracture by simulation three cases: (1) interface crack initiation caused by stress concentration; (2) interface edge crack initiation caused by singularity of interface edge; (3) interface crack propagation. In molecular dynamics simulation, the analysis model is simplified due to the complexity of problem, however, the simulation results reveals some intrinsic features, such as the form of interface fracture criterion, which can be referred for macroscopic interface fracture criterion.
KEY WORDS: Molecular Dynamics Simulation, Interface Strength Criterion, Interface Crack Initiation, Crack Propagation
IV
上海交通大学
学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名：卓杨
日期： 2007年 1 月 29日
1 绪论
1.1 概述
随着各类功能材料、复合材料等先进材料的工业应用范围的不断扩大，由不同材料组成的界面的力学行为，越来越受到了人们的重视。

现在界面问题已变得无处不在，在现代科技高速发展的今天，界面问题已是科研人员和工程技术人员必须逾越的技术难关之一。

一方面在宏观范围内，各类结构及材料的结合部，如薄膜涂层材料的涂层界面、金属/陶瓷结合界面、复合材料层合板的层间等，对材料或结构整体的力学行为乃至其功能性能有着十分重要甚至是支配性的影响；另一方面在微观范围内，纤维与基体材料等的界面、晶粒界面等力学行为，对先进材料的性能设计与开发及其结构寿命的精确评价等方面具有举足轻重的意义。

目前科研的重点多集中在宏观材料界面的微观结构上探讨其力学行为，也就是由微观的观点来研究宏观的物理现象。

1.1.1 材料微观力学行为
纳米材料（Nanostructured Materials）的概念最初是在八十年代初期由西德学者Gleiter教授首先提出来的。

纳米材料是指晶粒尺寸为纳米级（10-9米）的超微细材料，其典型的晶粒尺寸为1-100nm，所以纳米材料又称超微细材料。

目前关于纳米材料的力学性能研究，已经涉及到弹性模量，硬度，断裂韧性，压缩和拉伸的应力、应变行为，应变率敏感性，疲劳，蠕变和超塑性等方面。

纳米金属与普通的粗晶金属相比，具有许多不同的性质和优良的性能。

比如：纳米金属的弹性模量比粗晶体大幅降低，但随着孔隙率的降低，纳米金属的弹性模量又将大幅提高；纳米金属的显微硬度要比多晶金属高2-7倍，且随着孔缝隙的降低，纳米金属的显微硬度将大幅提高；纳米金属呈现高强度和延性低的特点，其强度与纳米金属界面清洁度有关，一旦纳米金属的界面清洁度降低，纳米金属将丧失高强度的特性；纳米金属的压缩屈服强度比多晶粗晶材料提高数倍，并随着纳米材料的孔隙率降低而增加，随着变速率增大或者压缩温度的降低而增大。

在纳米材料中，界面原子占极大比例，而且原子排列互不相同，界面周围的晶格结构互不相关，从而构成与晶态、非晶态均不同的一种新的结构状态。

纳米材料
1
的特殊结构使它具有宏观物体所不具有的四大效应：表面（界面）效应、小尺寸效应、量子尺寸效应、宏观量子隧道效应，从而具有传统材料所不具备的物理化学特性[1]。

1. 表面效应：由于球形颗粒的表面积与直径的平方成正比，其体积与直径的立方成正比，其比表面积与直径成反比。

随着颗粒尺寸的变小，比表面积将会显著地增加，使处于表面（界面）的原子数越来越多，原子配位不足，同时表面能及界面结合能迅速增加，从而使这些表面（界面）原子具有高的活性极不稳定。

并且，界面上的原子排列相当混乱，原子在外力变形的条件下很容易迁移，因此表现出很好的韧性与一定的延展性，使材料具有新奇的界面效应。

2. 小尺寸效应：随着颗粒尺寸的量变，在一定条件下会引起颗粒性质的质变。

由于颗粒尺寸变小所引起的宏观物理性质的变化称为小尺寸效应。

对纳米颗粒而言，尺寸变小，导致周期性边界条件破坏，同时其比表面积亦显著增加，从而产生一系列新奇的性质。

3. 量子尺寸效应：大块材料的能带可以看成是连续的，而介于原子和大块材料之间的纳米材料的能带将分裂为分立的能级。

能级间距随颗粒尺寸减小而增大。

当热能、电场能、或者磁场能比平均的能级间距还小时就会呈现出一系列与宏观物体截然不同的反常特征，称之为量子效应。

例如导电的金属在纳米颗粒时可以变成绝缘体，比热亦会反常变化等。

4. 宏观量子隧道效应：微观粒子具有贯穿势垒的能力称为隧道效应。

宏观量子隧道效应是表明宏观参量通过宏观系统的两个能量最小状态之间的势垒发生的变化，使系统处于更低的能量状态，宏观量子隧道效应的研究对基础研究和应用都有着重要的意义。

它限定了磁带、磁盘进行信息储存的时间极限。

它与量子尺寸效应将是未来微电子器件的基础。

1.1.2 计算机模拟
计算机模拟是根据实际物理系统在计算机上进行的模型实验，先根据系统的物理特征构建一个具有代表性的数学模型，然后用一定的算法对模型进行模拟计算。

通过模拟结果和实验数据的对比，可以知道物理模型及算法的合理性和准确程度。

另外，对于某些大自由度、低对称性、非线性问题及复杂相互作用的物理系统，计算机模拟可以获得常规的物理实验无法获得的重要的数据结果。

此外，计算机模拟还可以将模型系统置于极端或不合理的条件下，可以看到目前实验技术无法达到的极端条件下所呈现出的许多奇异的物理现象，大大丰富和发展了理论的内涵，如材
2
料在极端高压和极端温度下经历相变的四维体系。

计算机模拟还可进行许多真实情况下难以进行的操作，如飞行训练，因而具有很强的预测性和前瞻性。

如今在诸多领域中，计算机模拟已成为除实验和理论之外解决实际问题的第三大研究技术。

利用计算机对真实系统进行模拟实验、提供实验结果、指导新材料研究，是材料设计的有效方法之一[2]。

材料设计中的计算机模拟对象遍及从材料研制到使用的全过程，包括合成、结构、性能、制备和使用等。

计算机模拟的确定性和可控制性要比真正的实验工作优越得多，可以计算一些通过实验手段无法直接观测的量。

计算机模拟工作的优越性在原子层次体现得最为明显，因为通常与单个原子相关的量用现有的实验设备还几乎不能观察与测量。

当然，也不是说计算机模拟工作可以完全取代真正的实验工作。

计算机模拟工作是基于一些物理模型，而实验工作是一个实际的体系。

二者的工作可以成为很好的互补。

实验工作不仅可以用来证明模拟工作的有效性，还可以指明计算模拟与实际体系发生的事件不相符之处，为理论模型的改进以及计算模拟的发展指明方向。

利用计算机对材料进行计算与设计具有三个优越的特点：一是前瞻性；二是能在更广泛的范围内进行创新探索，即具有创新性；三是可减少或替代实验工作。

随着计算机技术的进步和人类对物质不同层次的结构及动态过程理解的深入，可以用计算机精确模拟的对象日益增多。

在许多情况下，用计算机模拟比进行真实的实验要快要省，因此可根据计算机模拟结果预测有希望的实验方案，以提高实验效率。

计算机模拟通常是研究平衡态问题，即模拟系统达到了热平衡、力平衡和化学平衡及相平衡，物理性质经过充分的弛豫过程后已经达到稳态。

平衡态模拟可用于研究物质结构、热力学性质等。

有些非平衡态过程，如气体通过膜的扩散过程，则需要采用某些非平衡态模拟方法。

计算机模拟所模拟的尺度可以是宏观、介观和微观。

在宏观尺度，通常应用实验数据库对工艺流程和操作条件及系统性质进行预测，也可以应用经典力学对材料的力学和加工性能进行计算，主要应用于化工过程模拟、机械制造和加工等领域。

在介观尺度，分子团簇间的非键作用起主导地位，计算机模拟一般采用唯象的连续体模型，主要应用于液晶、相平衡、材料性能等方面的研究。

在微观尺度，原子、电子和分子的结构和性质起到显著的作用，量子效应也非常明显，多应用于反应机理研究、（药物）分子设计、宏观性质模拟、凝聚态物理等。

目前微观尺度下的数值模拟主要有量子力学、分子动力学、蒙特卡罗（Monte Carlo）法等[3]：
1. 量子力学研究以Hamilton方程组为基础，研究原子之间的相互作用力，并且考虑了电子的作用，建立一个密度泛函来描述原子周围电子的运动情况，其中采取
3
了一些局部近似，采用这种既将原子的作用进行考虑又把电子的作用带入体系的方法，更进一步精确地模拟了原子的真实情况。

2. 分子动力学方法采用经验势函数，从原子入手进行研究，这种模拟假定所研究的材料是由单个原子构成的聚集体，并且每一个原子被认为是一个独立的研究对象。

通过求解牛顿运动方程研究纳米颗粒在不同时刻的运动状态，建立纳米颗粒运动速度和待求量之间的函数关系，模拟求解材料的力学参数。

3. Monte Carlo方法又称随机模拟方法或者统计实验方法。

它是以概率统计为理论基础的计算数学的分支。

Monte Carlo方法的基本思想是：为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样来计算所求参数的统计特征，最后给出所求的参数。

1.2 本文研究内容
结合材料的破坏通常都是从界面或其附近发生的，其中，界面的剥离，即结合部的破坏，又是非常常见的破坏形式。

但是，关于结合材料的破坏准则，由于震荡
应力奇异性和界面端的非的奇异性，是不能采用材料力学或断裂力学的破坏准则的，而必须根据界面问题的特征，重新建立相关的破坏准则。

目前关于界面破坏，尤其是界面起裂，尚没有一个被广为认可的评价准则。

本文采用分子动力学模拟方法，对结合材料的界面破坏问题进行分析，通过对（1）界面上应力集中引起的界面起裂；（2）界面端应力奇异引起的界面端起裂；（3）界面裂纹扩展三种计算模型的模拟，获得了结合材料界面强度破坏时的临界状态。

从模拟结果出发，提出结合材料界面强度破坏的准则。

虽然在分子动力学模拟中采用了简化的界面模型，但结果表明，分子动力学模拟仍可给宏观的界面强度准则提供诸如破坏准则形式等方面的参考。

1.3 文献回顾
Alder和Wainwright于1957年发表了最早的关于分子动力学模拟的文章——Phase Transition for a Hard Sphere System，主要探究了硬球系统固相、液相之间的转
4
变，从而开创了利用分子动力学模拟方法研究物质宏观性质的先例[4]。

在其硬球系统中，粒子的相互作用是瞬时的碰撞，而碰撞间的运动则是作为自由粒子。

Girifalco和Weizer于1959年提出了晶体材料的Morse势能函数[5]，使得固态晶体材料的研究有更进一步的认识。

但是对于立方晶体原子间的作用力探究仍尚未健全。

Loup Verlet于1967年采用Lennard-Jones势函数计算了氩（Ar）的相图并计算了相关的函数来验证一些流体理论[4]。

文中首次提出了Verlet邻近表列的方法，大大简化了分子动力学的计算。

Milstein于1973年更进一步探讨一般势能函数的fcc（面心立方）与bcc（体心立方）晶格原子之间的吸引力与排斥力以及弹性模量，并提出广义指数型式吸引力与排斥力的交互作用势能，使得Morse势能函数更可以进一步精确描述立方晶体间的原子间作用力[6]。

Rahman和Hsu于1979年利用分子动力学研究晶体的成核作用与结构问题，并且以四种势能方式计算晶体的结构与晶格常数[7]。

晶格本身实际上也是由于分子间甚至原子间的键所构成，在这方面Lennard-Jones势能模型对于分子尺寸大小的系统还可以计算，如果更进一步的进入原子尺寸领域的力学问题，则因没有考虑各种不同的键结构而显得太过简化。

90年代开始，分子动力学的应用趋向于多元化，材料结构转变到单晶、多晶、非晶态或高分子等材料[8]，并希望同时模拟多种不同型态的缺陷及裂纹的扩展等。

而势能函数的选择上，则由简单的二体势能转变为复杂的多体势能。

Robin L.于1993年以分子动力学计算无缺陷固体中应力所诱发的破坏，并模拟固体熔融的过程[9]。

Hideyuki Inoue于1995年探讨纳米多晶纯铁其破坏型态受温度的影响，结果发现当温度升高时破坏模式将由劈裂过渡到延性断裂[10]。

J. Schiotz于1996年第一次研究含多晶界之缺陷对纳米线材机械性质的影响，为纳米结构力学的研究开展新路[11]。

P. Heino于1998年提出另一套多体势能函数EMT（effective-medium theory），可准确模拟含各种晶体缺陷的铜材料的力学性质，并提出了微系统强度和尺寸效应的相依性[12]。

如今分子动力学已被广泛应用于微观力学、纳米技术等多个领域中，相对于传统探究科学现象的理论与实验方法，分子动力学模拟无疑是一条研究新路。

5
6
2 界面力学基本理论
界面力学是一门以分析和评价各类结合界面的力学行为、进而达到结合材料或结构的强度寿命评价及其优化设计的目的为基本任务的学科，是由于工程技术的发展所催生的学科。

界面力学一方面必须为结合材料的强度和可靠性评价提供必要的理论依据；另一方面，也必须为新材料、新结构的设计与开发，提供理论指针。

界面力学研究的方面很多，下面仅介绍一些本文所用到的相关基本理论[13]。

2.1 Dundurs 参数
结合材料的弹性常数，平面问题时只有两个，称为Dundurs 参数[14]；三维问题时有三个，具体采用什么样的弹性常数，目前尚未统一。

从直观上来讲，两种不同的材料结合在一起，共有4个弹性常数，即：两个杨氏模量或剪切模量和两个泊松比。

但是，对于平面问题，这四个材料常数对结合材料应力或变形的影响，并不是相互独立的，而可以用两个新的组合材料常数来描述，其表达式为：
1221122112
211221(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)µκµκαµκµκµκµκβµκµκ+−+ = +++
−−− = +++
（2.1） 式中：µ为剪切弹性模量，与杨氏模量、泊松比之间的关系为/[2(1)]E µν=+；平面应变时，34κν=−，平面应力时，(3)/(1)κνν=−+；下标1、2分别对应于材料1、2。

式（2.1）就是现在常用的Dundurs 参数，也称异材参数的定义，它描述了结合材料的弹性力学特性。

这里要提醒的是，有些文献采用的定义与式（2.1）相差一个负号。

在本文中则统一采用式（2.1）的定义。

考虑到任意弹性材料的ν介于0和0.5之间，因此无论是平面应变还是平面应力状态，从式（2.1）中都可以得到：
1α≤，0.5β≤
但上述值域是α、β分别取值时的值域。

实际上二者在取极限值时有一定的关系。

由式（2.1）可得：
211111
αα
βακκ+−=−
+++
7
2.2 界面端应力奇异性
2.2.1平面界面端附近的奇异应力场
对于如图2.1所示的具有任意几何结合部形状的界面端，根据极坐标系下的应力函数的Goursat 公式：
22[]
[]
2()[]i r i r r i r i i e z i e z u iv e z z re
θθθθ
θθ
θθστϕϕϕψστϕϕϕψµκϕϕψ− ′′′′′+=+++ ′′′′′−=+−+ ′+=−− = （2.2） 式中：, ,
1, 2j j j j j j A z B z C z D z j λλ
λλϕψ=+=+=为Goursat 的应力函数，下标1、2表示对应于材料1、2的应力函数或对应的待定系数。

待解决的指数λ表示了应力或位移分布的主要特征，并且只与界面端附近的几何形状和结合材料的组合有关，称为特征值。

在式（2.2）中代入界面连续条件和自由边界条件，可得联立的线性方程组，令其系数行列式的秩为零可得其特征方程[15]为：
222220A B C D E F βαβαβα+++++= （2.3）
图 2.1 界面端模型 Fig. 2.1 Interface edge model
Material 1
Material 2
8
式中： 122222
122122221212
22222122112
12222
4()()2sin ()2sin ()4(1)sin sin ()
2[sin sin ()sin sin ()]()()()()sin ()sin A K K B K K C K D E K K D
F K K θθλθθλθθλλθθθθλθλθθλθθθθθθλθλθ= =+ =−+−
=−− =−+
=+ =−
方程（2.3）是个非线性方程，通常必须采用数值方法求解。

需要注意的是，当几何形状关于界面非对称时，及12θθ≠时，如材料1与2交换，即αα→−，ββ→−时，其奇异性是要发生变化的，因此，在应用中必须高度注意材料1、2的取法与Dundurs 参数的定义。

另外，通常只考虑在0Re 1λ<<范围内的特征值（因为对应于这类特征值的应力，在奇异点附近占支配地位，且能保证奇异点的位移有界）。

1λ−称为应力奇异性指数，其值越大，奇异性越强，即在奇异点附近以更快的方式趋于无穷大。

对应于特征值λ或奇异性指数1λ−的应力强度系数（stress intensity coefficient ），也有人直接称其为应力强度因子（stress intensity factor ），为了与裂纹问题（应力奇异性指数为0.5）区别，本文采用应力强度系数的叫法。

2.2.2 界面端应力强度系数
对于只有一个实数应力奇异性的界面端，界面端附近的奇异应力可表示为：
1()ij ij Kf r
λ
θσ−= （2.4） 式中：()ij f θ为角函数，K 为应力强度系数，r 为应力取值点距界面端的距离，λ为特征方程（2.3）的解，1λ−即为应力奇异性指数。

由（2.4）式可得：
1()
ij ij r K f λ
σθ−= （2.5）
当求I K 、II K 时，对应于y σ、xy τ，(0)1ij f θ==，此时式（2.5）又可写成：
1ij K r λσ−= （2.6）
2.2.3 直角界面端附近的应力场
考虑直角结合材料的界面端（如图2.2所示），其特征方程为： 222222222222(sin ())2[sin ()](1)sin ()cos ()02
2
2
2
ππππ
λλβλλλαβλλαλλ−+−+−+=（2.7）
9
上式在0Re 1λ<<范围内只可能有实数解[16]。

将上式改写为：
22222222222(sin ())[sin ()](2)cos ()[sin ()]02
2
2
2
ππππ
λλβλλλααβλλλα−−−−+−=
由于在01λ<<范围内，22sin (/2)0λπλ−>，22222sin (/2)sin (/2)λπλαλπλ−>−，所以只有当(2)0ααβ−>时，上式才有解，即具有应力奇异性。

如果(2)0ααβ−<，则要求22sin (/2)0λπλ−<，意味着必须1λ>，对应的应力在界面端附近趋于零，是一高阶微量，而当(2)0ααβ−=时，1λ=，此时可以存在非零常数应力场。

因此，可以总结关于界面端附近的应力场特性：
(2)0 0< 1 (2)0 1 (2)0 1 ααβλααβλααβλ−><
−== −<>
有应力奇异性非零常应力场高阶微量 如果以界面上的应力来定义应力强度系数，即：
0θ=时，1I II
r K iK i r θθλ
στ−++=
（2.8） 则根据式（2.2）可得：
(1)I II I K iK K iF +=+ （2.9）
式中： 22222
sin(/2)cos(/2)sin (/2)sin (/2)sin(/2)cos(/2)2[cos()]2[(21)sin (/2)]sin()[12()]D D F D D λλπλπλπλλπλπλπαλλλπβλλλπλπλαβ +−= ++
−−++ = −−
由式（2.9）可以看出，I K 、II K 并不是相互独立的，即直角结合界面端附近的奇异应力场强度，可仅用一个应力强度系数I K 来描述（这一结论对于任意的只具有一个应力奇异性的界面端都成立）。

由此可得界面端附近的应力场：
Material
Material
图 2.2 直角界面端模型
Fig. 2.2 Orthogonal interface edge model
10
11((21)cos cos sin sin cos[(1)(1)])((21)sin cos cos sin sin[(1)(1)])((32)cos cos 3sin sin cos[(1)(1)])((32)sin cos 3co j
j I j j
j j j I rj j a K r b a K r b θλλλλθθλθθλθλπσλλθθλθθλθλπλλθθλθθλθλπσλλθθ−− ++−++−= −+−+++− −++++−=−−−122s sin sin[(1)(1)])((21)sin cos cos sin sin[(1)(1)])((21)cos cos sin sin cos[(1)(1)])21cos (1)sin , 4[sin (/2)]j
j
j I r j j
j j j j a K r b F a b θλλθθλθλπλλθθλθθλθλπτλλθθλθθλθλπλλπλπλλπ−
−++− −+−++−= +−−+++− −++−==−22(21)cos (1)sin 4[sin (/2)]j F F λλπλπλλπ
+−+−
−
（2.10） 式中：1,2j =对应于材料1、2。

2.3 裂尖应力强度因子的数值计算方法
绝大多数的界面裂纹问题的应力强度因子，一般只能依靠数值方法求解。

类似于均质材裂纹问题的外插法，通过利用数值计算得到的裂尖附近的应力或开口位移来求取界面裂纹的应力强度因子。

界面裂纹的应力强度因子有多种定义[13]，本文中统一使用如下定义：
i y xy i ε
θστ=+= （2.11）
式中：1K 、2K 为I 、II 型应力强度因子，r 为距裂纹尖端的距离，ε为双材料常数，亦即界面裂纹的震荡因子，a 为裂纹半长，系数h 可根据需要取为0.28或2。

1. 应力法
利用裂尖前沿应力的数值解，有： 分离法：
1020
cos sin ]
cos sin ]
ln(/())
11ln 21y xy r xy y
r K Q Q K Q Q Q r ha σττσεβεπβ→→ =+
=− = −=
+
（2.12） 复合法：
0201
/lim 1/i r xy y r xy y K tgQ
K K tgQ τστσ→→ ==
−= + （2.13）
11
2. 位移法
利用裂尖附近开口位移的数值解，有： 分离法：
102
01122
(cos 2sin )(sin 2cos )](cos 2sin )(sin 2cos )]2cosh()(1)/(1)/y x r x y r K C Q Q Q Q K C Q Q Q Q C δεδεδεδεεπκµκµ→→ =++−
=+−−
=
+++
（2.14） 复合法：
220201)1/lim
/(2)/(12)i y x r y x r y x K K K tgQ tgQ δδδδδδεε→→ ==+
− = +−+
（2.15） 以上的外插法，不要求用震荡区或相互嵌入区的数据，而是采用这些区域以外的数据，来求取表征奇异应力场的应力强度因子。

其中，分离法的直线外插性是有理论上的保证的，而复合法中则只有i K 具有直线外插性，而关于模态比的外插是没有直线外插性的。

2.4 界面裂纹及界面端的强度破坏准则
要对结合材料进行定量的强度评价，在求得了界面裂纹的应力强度因子，或界面端的奇异应力场后，还必须通过强度准则，才能进行分析、判断。

2.4.1 均质材料裂纹的曲折破坏准则
均质材料裂纹在混合模态I 、II 作用下的曲折破坏准则，常用的主要有G .C.Shi 提出的最大切线应力（max θσ）理论[17]和最小应变能（min S ）理论[18]两种。

最大切线应力理论认为，裂纹向固定在裂尖的极坐标系下的max θσ最大的方向曲折，当这个方向上的等效应力强度因子达到材料的断裂韧性时发生破坏（如图2.3所示）。