高一数学人教A版必修2课件：3.2.1 直线的点斜式方程
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第二十八页，编辑于星期日：二十二点 分。
8.分别求出经过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程,并画出图形. (1)斜率k=2;(2)与x轴平行;(3)与x轴垂直. 分析:经过一个点求直线的方程,若所求直线与x轴或y轴垂直,则 可直接写出所求直线的方程,其他情形可直接用公式求出.
第二十九页，编辑于星期日：二十二点 分。
解:直线l的斜率 k 1 (3) 2, 23
又过点(2,-1),由直线的点斜式方程得 y+1=-2(x-2). 整理得所求直线的方程为2x+y-3=0.
第十一页，编辑于星期日：二十二点 分。
题型二 直线的斜截式方程
例2:求倾斜角为直线 y 3x的倾1 斜角的一半,且分别满足下
列条件的直线方程. (1)经过点(0,1);(2)在y轴上的截距为-10. 分析:通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率,再分别由直线 的点斜式方程和斜截式方程求解.
第四页，编辑于星期日：二十二点 分。
1.直线的点斜式方程
一般地,如果一条直线上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该
方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个
方程称为直线l的方程.
如下图所示,设Q(x,y)是直线l上不同于P的任一点,由于P,Q都在l上,
所以可用P,Q的坐标来表示直线l的斜率
4.直线l的斜率为k,在x轴上的截距为b,则直线l的方程为( )
A.y=kx+b
B.y=k(x-b)
C.y=k(x+b)
D.y=kx-b
解析:依题意知,直线与x轴的交点为(b,0).又斜率为k,故直线l的方 程为y=k(x-b).
答案:B
第二十五页，编辑于星期日：二十二点 分。
5.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )
§3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
第一页，编辑于星期日：二十二点 分。
1.了解由斜率公式推导出直线方程的点斜式并掌握由点斜式推导 出直线的斜截式方程. 2.初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题.
第二页，编辑于星期日：二十二点 分。
1.若直线l经过点P0(x0,y0)及y点Py(0x,y),且斜率为k,则k与P0､P的坐 标之间的关系是k=_________x___x0__,即为________________,这个 方y程-y0是=k由(x直-x线0)上一点和直线的斜率确定的,所以叫直线的________ 方程.当直线l的倾斜角为点90斜°式时,直线的斜率不存在,这时的直线l与 y轴平行或重合,它的方程为__________;当直线l的倾斜角为0°时,
第十五页，编辑于星期日：二十二点 分。
题型三 求直线的方程
例3:已知A(1,3)､B(-1,-1),C(2,1),求△ABC的BC边上的高线所在
的直线方程.
解:
k BC
1 (1) 2 (1)
2. 3
BC边上的高线的斜率为k 3 . 2
由直线的点斜式可得BC边上高线的方程为 :
y 3 3 (x 1),即3x 2y 9 0. 2
第六页，编辑于星期日：二十二点 分。
说明:在使用直线的点斜式方程时,必须以直线的斜率存在为前提,即方 程y-y0=k(x-x0)不能表示经过点(x0,y0),垂直x轴的直线.当斜率不确 定时,要分情况讨论.
第七页，编辑于星期日：二十二点 分。
2.直线的斜截式方程 直线的斜截式方程是由点斜式方程导出的,此时直线的斜率为k,经 过的点为(0,b),其形式为y=kx+b.当k≠0时,这种形式就是我们所熟悉的 一次函数解析式. 说明:(1)在使用直线的斜截式方程时,必须以直线的斜率存在为 前提.(2)b为直线在y轴上的截距,它可正,可负,也可以为零,即 b∈R.
解:(1)这条直线经过点P(3,4),斜率k=2,点斜式方程为y-4=2(x-3),可 化为2x-y-2=0.如下图(1)所示. (2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行,所以直线方程为y=4.如下图 (2)所示. (3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直,所以直线方程为x=3.如下 图(3)所示.
2=k(-1+6),∴k=1.
第二十七页，编辑于星期日：二十二点 分。
7.已知直线x+y+3=0,则直线的斜率为______-_1_,在x轴上的截距为 ________-3,在y轴上的截距为________. -3 解析:由x+y+3=0化为y=-x-3, ∴直线的斜率k=-1,令x=0,得 直线在y轴上截距为-3, 又令y=0,得x=-3. ∴直线在x轴上截距是-3.
(2)由题意知,所求直线方程为y=1.
第十八页，编辑于星期日：二十二点 分。
易错探究
例4:求过点(3,1)和(a,3)的直线方程.
错解 : k 3 1 2 ,又过点3,1,
a3 a3 故所求的直线方程为y 1 2 (x 3).
a3
错因分析:实际上,上述解答是a≠3时的情形;当a=3时,过点(3,1)和 (3,3)的直线斜率不存在,其直线方程为x=3.
44
第九页，编辑于星期日：二十二点 分。
解 :由x 4y 3 0,得y 1 x 3 ,其斜率为 1 ,
44
4
故所求直线l的斜率为 1 ,又直线l过点P 2,1,
2
所以直线l的方程为y 1 1 (x 2),即x 2y 0. 2
第十页，编辑于星期日：二十二点 分。
变式训练1:已知直线l经过点A(2,-1),B(3,-3),求直线l的方程.
A.2x+y-1=0
B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0
D.x-2y+7=0
解析:由题意得所求直线的斜率k=-2,又过点(-1,3),∴直线方程为 y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.
答案:A
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
6.已知直线y-2=k(x+6)经过点(-1,7),则k=______1__. 解析:由直线经过点(-1,7),可知该点的坐标满足直线的方程,即7-
第八页，编辑于星期日：二十二点 分。
题型一 直线的点斜式方程
例1:已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率
的2倍,求直线l的方程.
分析:已知直线l过点P(2,1),求斜率.由x-4y+3=0,知
以斜率k=2×
1,代 入1 点斜式方程便得直线l的方程. 42
y 1 x所 3 ,
它的方程为__x_=_x_0______________.
y=y0
第三页，编辑于星期日：二十二点 分。
2.如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为P(0,b),代入直线的点斜式 方程,可得y-b=k(x-0),也就是__________,则y称=kbx为+b直线l在y轴上的 _________.这个方程截是距由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的, 所以叫做直线的__________方程. 斜截式
第十二页，编辑于星期日：二十二点 分。
解 : 直线y 3x 1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120,由题意知所求直线的倾斜角为60,
所求直线的斜率k 3.(1)由于直线过点0,1,由
直线的点斜式方程得y 1 3(x 0),即为 3x y 1 0.
第十三页，编辑于星期日：二十二点 分。
第十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
规律技巧:确定直线的几何元素是点和斜率.所求直线过点A(1,3), 只要求出斜率k,由点斜式可求得直线方程.
第十七页，编辑于星期日：二十二点 分。
变式训练3:(1)经过点(0,2),与直线y=-3x-5平行的直线方程为 _3_x_+_y_-2_=_0_. (2)经过点(0,1)且平行于x轴的直线方程为_____y_=_1_. 解析:(1)依题意知所求直线的斜率为-3,又过点(0,2),故所求直线方 程为y-2=-3(x-0), 即3x+y-2=0.
A.k 3 ,b 3 B.k 2 ,b 2
2
3
C.k 3 ,b 3 D.k 2 ,b 3
2
3
解析:把3x+2y+6=0变形为y=-
∴k=- 3,b=-3.
3 x2-3.
2
答案:C
第二十二页，编辑于星期日：二十二点 分。
3.如下图所示,方程
y
ax
1 a表示的直线可能是(
)
第二十三页，编辑于星期日：二十二点 分。
解析:对于A,要求直线中的k>0,b<0,即a>0, <10,矛盾;对于B,要 求直线中的k<0,b<0,即a<0, <0,这1是正确的;a对于C,要求直线中
的k=0,此时a=0, a<0, >0,矛盾.
没有意义;对1 于aD,要求直线中k<0,b>0,即
1
a
a
答案:B
第二十四页，编辑于星期日：二十二点 分。
10.直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求 直线l的方程. 解:显然l的斜率存在且k≠0,可设l的方程为
y-3=k(x+2)
令x=0,得y=2k+3 令y=0,得x=- 3 -2 即直线l在两轴上k的截距分别为 -2,23k+3
k
由题意得: 1 | ( 3 2) 2k 3 | 4.
2k
第三十四页，编辑于星期日：二十二点 分。
∴(2k+3)( 3 +2)=±8.
若(2k+3)( k3+2)=8时,k不存在.
若(2k+3)( 3k +2)=-8
解得k1=-
1 2
k
,或k2=-
∴直线l的方程为
9.
2
x+2y-4=0或9x+2y+12=0
第三十五页，编辑于星期日：二十二点 分。
11.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( )
, y y0 k, x x0
即y-y0=k(x-x0).
第五页，编辑于星期日：二十二点 分。
这就是所求的过点P(x0,y0),斜率为k的直线l的方程. 当直线l与x轴垂直时,斜率k不存在.如果l1经过点P(x0,y0),且与x轴 垂直,则它的特点是l1上任意一点的横坐标都是x0,所以直线l1的方 程为x=x0,如右图所示.若直线l2经过点P(x0,y0)且与y轴垂直,则此时直 线的特点是:直线l2上任一点的纵坐标都是y0,所以直线l2的方程为 y=y0,如上图所示.
第三十页，编辑于星期日：二十二点 分。
能力提升 9.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
第三十一页，编辑于星期日：二十二点 分。
解:(1)当直线过原点时,l在x轴和y轴上的截距为零,当然相等.∴a=2, 这时方程为3x+y=0; 当a≠2时,截距存在且不为0, ∴ a 2=a-2,即a+1=1,∴a=0,
a 1
此时方程为x+y+2=0.
第三十二页，编辑于星期日：二十二点 分。
(2)将l的方程变形为
y=-(a+1)x+a-2.
依题意有: -(a+1)>0 a-2≤0或
∴a<-1或a=-1. ∴a≤-1. 故a的取值范围是(-∞,-1].
-(a+1)=0 a-2≤0
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 分。
第十九页，编辑于星期日：二十二点 分。
当a 3时, k 3 1 2 ,又直线过点3,1,
a3 a3 所以直线方程为y 1 2 (x 3),
a3
正解 :当a 3时,直线方程为x 3;故所求的直线方程 为x 3(a 3)或y 1 2 (x 3).
a3
第二十页，编辑于星期日：二十二点 分。
基础强化 1.直线方程为y+2=2(x-1),则( ) A.直线过点(2,-2),斜率为2 B.直线过点(-2,2),斜率为2 C.直线过点(1,-2),斜率为 D.直线过点(1,-2),斜率为2
答案:D
第二十一页，编辑于星期日：二十二点 分。
2.直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有( )
(2)由于直线在y轴上的截距为-10,
由直线的斜截式方程得
y 3x 10,即为 3x y 10 0.
规律技巧:将直线的方程求出后,为了统一答案的形式,如果没有特 别要求,都将直线的方程化为Ax+By+C=0的形式.
第十四页，编辑于星期日：二十二点 分。
变式训练2:直线l的倾斜角为45°,在x轴上的截距为-2的直线方程 为________x_-y_+_2_=_0_______. 解析:直线l在x轴上截距为-2,即直线l与x轴的交点为(-2,0),又l 的倾斜角为45°,∴其斜率k=1.方程为y=x+2,即x-y+2=0.
8.分别求出经过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程,并画出图形. (1)斜率k=2;(2)与x轴平行;(3)与x轴垂直. 分析:经过一个点求直线的方程,若所求直线与x轴或y轴垂直,则 可直接写出所求直线的方程,其他情形可直接用公式求出.
第二十九页，编辑于星期日：二十二点 分。
解:直线l的斜率 k 1 (3) 2, 23
又过点(2,-1),由直线的点斜式方程得 y+1=-2(x-2). 整理得所求直线的方程为2x+y-3=0.
第十一页，编辑于星期日：二十二点 分。
题型二 直线的斜截式方程
例2:求倾斜角为直线 y 3x的倾1 斜角的一半,且分别满足下
列条件的直线方程. (1)经过点(0,1);(2)在y轴上的截距为-10. 分析:通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率,再分别由直线 的点斜式方程和斜截式方程求解.
第四页，编辑于星期日：二十二点 分。
1.直线的点斜式方程
一般地,如果一条直线上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该
方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个
方程称为直线l的方程.
如下图所示,设Q(x,y)是直线l上不同于P的任一点,由于P,Q都在l上,
所以可用P,Q的坐标来表示直线l的斜率
4.直线l的斜率为k,在x轴上的截距为b,则直线l的方程为( )
A.y=kx+b
B.y=k(x-b)
C.y=k(x+b)
D.y=kx-b
解析:依题意知,直线与x轴的交点为(b,0).又斜率为k,故直线l的方 程为y=k(x-b).
答案:B
第二十五页，编辑于星期日：二十二点 分。
5.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )
§3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
第一页，编辑于星期日：二十二点 分。
1.了解由斜率公式推导出直线方程的点斜式并掌握由点斜式推导 出直线的斜截式方程. 2.初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题.
第二页，编辑于星期日：二十二点 分。
1.若直线l经过点P0(x0,y0)及y点Py(0x,y),且斜率为k,则k与P0､P的坐 标之间的关系是k=_________x___x0__,即为________________,这个 方y程-y0是=k由(x直-x线0)上一点和直线的斜率确定的,所以叫直线的________ 方程.当直线l的倾斜角为点90斜°式时,直线的斜率不存在,这时的直线l与 y轴平行或重合,它的方程为__________;当直线l的倾斜角为0°时,
第十五页，编辑于星期日：二十二点 分。
题型三 求直线的方程
例3:已知A(1,3)､B(-1,-1),C(2,1),求△ABC的BC边上的高线所在
的直线方程.
解:
k BC
1 (1) 2 (1)
2. 3
BC边上的高线的斜率为k 3 . 2
由直线的点斜式可得BC边上高线的方程为 :
y 3 3 (x 1),即3x 2y 9 0. 2
第六页，编辑于星期日：二十二点 分。
说明:在使用直线的点斜式方程时,必须以直线的斜率存在为前提,即方 程y-y0=k(x-x0)不能表示经过点(x0,y0),垂直x轴的直线.当斜率不确 定时,要分情况讨论.
第七页，编辑于星期日：二十二点 分。
2.直线的斜截式方程 直线的斜截式方程是由点斜式方程导出的,此时直线的斜率为k,经 过的点为(0,b),其形式为y=kx+b.当k≠0时,这种形式就是我们所熟悉的 一次函数解析式. 说明:(1)在使用直线的斜截式方程时,必须以直线的斜率存在为 前提.(2)b为直线在y轴上的截距,它可正,可负,也可以为零,即 b∈R.
解:(1)这条直线经过点P(3,4),斜率k=2,点斜式方程为y-4=2(x-3),可 化为2x-y-2=0.如下图(1)所示. (2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行,所以直线方程为y=4.如下图 (2)所示. (3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直,所以直线方程为x=3.如下 图(3)所示.
2=k(-1+6),∴k=1.
第二十七页，编辑于星期日：二十二点 分。
7.已知直线x+y+3=0,则直线的斜率为______-_1_,在x轴上的截距为 ________-3,在y轴上的截距为________. -3 解析:由x+y+3=0化为y=-x-3, ∴直线的斜率k=-1,令x=0,得 直线在y轴上截距为-3, 又令y=0,得x=-3. ∴直线在x轴上截距是-3.
(2)由题意知,所求直线方程为y=1.
第十八页，编辑于星期日：二十二点 分。
易错探究
例4:求过点(3,1)和(a,3)的直线方程.
错解 : k 3 1 2 ,又过点3,1,
a3 a3 故所求的直线方程为y 1 2 (x 3).
a3
错因分析:实际上,上述解答是a≠3时的情形;当a=3时,过点(3,1)和 (3,3)的直线斜率不存在,其直线方程为x=3.
44
第九页，编辑于星期日：二十二点 分。
解 :由x 4y 3 0,得y 1 x 3 ,其斜率为 1 ,
44
4
故所求直线l的斜率为 1 ,又直线l过点P 2,1,
2
所以直线l的方程为y 1 1 (x 2),即x 2y 0. 2
第十页，编辑于星期日：二十二点 分。
变式训练1:已知直线l经过点A(2,-1),B(3,-3),求直线l的方程.
A.2x+y-1=0
B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0
D.x-2y+7=0
解析:由题意得所求直线的斜率k=-2,又过点(-1,3),∴直线方程为 y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.
答案:A
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
6.已知直线y-2=k(x+6)经过点(-1,7),则k=______1__. 解析:由直线经过点(-1,7),可知该点的坐标满足直线的方程,即7-
第八页，编辑于星期日：二十二点 分。
题型一 直线的点斜式方程
例1:已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率
的2倍,求直线l的方程.
分析:已知直线l过点P(2,1),求斜率.由x-4y+3=0,知
以斜率k=2×
1,代 入1 点斜式方程便得直线l的方程. 42
y 1 x所 3 ,
它的方程为__x_=_x_0______________.
y=y0
第三页，编辑于星期日：二十二点 分。
2.如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为P(0,b),代入直线的点斜式 方程,可得y-b=k(x-0),也就是__________,则y称=kbx为+b直线l在y轴上的 _________.这个方程截是距由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的, 所以叫做直线的__________方程. 斜截式
第十二页，编辑于星期日：二十二点 分。
解 : 直线y 3x 1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120,由题意知所求直线的倾斜角为60,
所求直线的斜率k 3.(1)由于直线过点0,1,由
直线的点斜式方程得y 1 3(x 0),即为 3x y 1 0.
第十三页，编辑于星期日：二十二点 分。
第十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
规律技巧:确定直线的几何元素是点和斜率.所求直线过点A(1,3), 只要求出斜率k,由点斜式可求得直线方程.
第十七页，编辑于星期日：二十二点 分。
变式训练3:(1)经过点(0,2),与直线y=-3x-5平行的直线方程为 _3_x_+_y_-2_=_0_. (2)经过点(0,1)且平行于x轴的直线方程为_____y_=_1_. 解析:(1)依题意知所求直线的斜率为-3,又过点(0,2),故所求直线方 程为y-2=-3(x-0), 即3x+y-2=0.
A.k 3 ,b 3 B.k 2 ,b 2
2
3
C.k 3 ,b 3 D.k 2 ,b 3
2
3
解析:把3x+2y+6=0变形为y=-
∴k=- 3,b=-3.
3 x2-3.
2
答案:C
第二十二页，编辑于星期日：二十二点 分。
3.如下图所示,方程
y
ax
1 a表示的直线可能是(
)
第二十三页，编辑于星期日：二十二点 分。
解析:对于A,要求直线中的k>0,b<0,即a>0, <10,矛盾;对于B,要 求直线中的k<0,b<0,即a<0, <0,这1是正确的;a对于C,要求直线中
的k=0,此时a=0, a<0, >0,矛盾.
没有意义;对1 于aD,要求直线中k<0,b>0,即
1
a
a
答案:B
第二十四页，编辑于星期日：二十二点 分。
10.直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求 直线l的方程. 解:显然l的斜率存在且k≠0,可设l的方程为
y-3=k(x+2)
令x=0,得y=2k+3 令y=0,得x=- 3 -2 即直线l在两轴上k的截距分别为 -2,23k+3
k
由题意得: 1 | ( 3 2) 2k 3 | 4.
2k
第三十四页，编辑于星期日：二十二点 分。
∴(2k+3)( 3 +2)=±8.
若(2k+3)( k3+2)=8时,k不存在.
若(2k+3)( 3k +2)=-8
解得k1=-
1 2
k
,或k2=-
∴直线l的方程为
9.
2
x+2y-4=0或9x+2y+12=0
第三十五页，编辑于星期日：二十二点 分。
11.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( )
, y y0 k, x x0
即y-y0=k(x-x0).
第五页，编辑于星期日：二十二点 分。
这就是所求的过点P(x0,y0),斜率为k的直线l的方程. 当直线l与x轴垂直时,斜率k不存在.如果l1经过点P(x0,y0),且与x轴 垂直,则它的特点是l1上任意一点的横坐标都是x0,所以直线l1的方 程为x=x0,如右图所示.若直线l2经过点P(x0,y0)且与y轴垂直,则此时直 线的特点是:直线l2上任一点的纵坐标都是y0,所以直线l2的方程为 y=y0,如上图所示.
第三十页，编辑于星期日：二十二点 分。
能力提升 9.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
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解:(1)当直线过原点时,l在x轴和y轴上的截距为零,当然相等.∴a=2, 这时方程为3x+y=0; 当a≠2时,截距存在且不为0, ∴ a 2=a-2,即a+1=1,∴a=0,
a 1
此时方程为x+y+2=0.
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(2)将l的方程变形为
y=-(a+1)x+a-2.
依题意有: -(a+1)>0 a-2≤0或
∴a<-1或a=-1. ∴a≤-1. 故a的取值范围是(-∞,-1].
-(a+1)=0 a-2≤0
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第十九页，编辑于星期日：二十二点 分。
当a 3时, k 3 1 2 ,又直线过点3,1,
a3 a3 所以直线方程为y 1 2 (x 3),
a3
正解 :当a 3时,直线方程为x 3;故所求的直线方程 为x 3(a 3)或y 1 2 (x 3).
a3
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基础强化 1.直线方程为y+2=2(x-1),则( ) A.直线过点(2,-2),斜率为2 B.直线过点(-2,2),斜率为2 C.直线过点(1,-2),斜率为 D.直线过点(1,-2),斜率为2
答案:D
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2.直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有( )
(2)由于直线在y轴上的截距为-10,
由直线的斜截式方程得
y 3x 10,即为 3x y 10 0.
规律技巧:将直线的方程求出后,为了统一答案的形式,如果没有特 别要求,都将直线的方程化为Ax+By+C=0的形式.
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变式训练2:直线l的倾斜角为45°,在x轴上的截距为-2的直线方程 为________x_-y_+_2_=_0_______. 解析:直线l在x轴上截距为-2,即直线l与x轴的交点为(-2,0),又l 的倾斜角为45°,∴其斜率k=1.方程为y=x+2,即x-y+2=0.