2020南京邮电大学应用数学研究生真题,尤其是12,13,14年的数分高代真

南京邮电大学应用数学研究生真题，尤其是12,13,14
年的数分高代真..
一、选择题
（1 ）设函数在（-∞,+∞）连续，其2 阶导函数′′的图形如下图所示，则
f (x ) f (x ) 曲线y f (x ) 的拐点个数为（）
（A ）0 （B ）1 (C) 2 ( D) 3
1 2x 1
x ″x （2）设=+ − 是二阶常系数非齐次线性微分方程+ ′+ 的一个特解，
y e x e y ay by ce
2 3
则：
(A)a =−3,b =−1,c =−1.
(B)a 3,b 2,c −1.
(C)a =−3,b 2,c 1.
(D)a 3,b 2,c 1.
∞
∞
(3)若级数a 条件收敛，则x 3与x 3依次为幂级数na x −1 n的：
∑n ∑n ( )
n 1 n 1
(A)收敛点，收敛点.
(B)收敛点，发散点.
(C)发散点，收敛点.
(D)发散点，发散点.
（4 ）设D 是第一象限中曲线2xy 1,4xy 1与直线y x ,y 3x 围成的平面区域，
函数f (x ,y ) 在D 上连续，则∫∫f (x ,y )dxdy
D
----------------------- Page 2-----------------------
π 1 π 1
（A ）3 dθsin 2θf (r cosθ,r sinθ)rdr （B ）3 dθsin 2θf (r cosθ,r sinθ)rdr
π 1 π 1
∫∫∫∫
4 2sin 2θ 4 2sin 2θ
π 1 π 1
(C) 3 dθ sin 2θ f (r cosθ,r sinθ)dr ( D) 3 dθ sin 2θ f (r cosθ,r sinθ)dr
π 1 π 1
∫∫∫∫
4 2sin 2θ 4 2sin 2θ
1 1 1 1
Ω {1,2}
（5 ）设矩阵，，若集合，则线性方程组
A 1 2 a b d
Ax b
2 2
1 4 a d
有无穷多个解的充分必要条件为
（A ）a ∉Ω,d ∉Ω （B ）a ∉Ω,d ∈Ω（C ）a ∈Ω,d ∉Ω（D ）a ∈Ω,d ∈Ω
（6 ）设二次型在正交变换x Py 下的标准形为2y 2 +y 2 −y 2 ，其中
f (x ,x ,x )
1 2 3
1 2 3
，若，则在正交变换x Qy 下的标准形为
P (e ,e ,e ) Q (e ,=−e ,e ) f (x ,x ,x )
1 2 3 1 3 2 1 2
3
2y 2 −y 2 +y 2 2y 2 +y 2 −y 2 2y 2 −y 2 −y 2 2y 2 +y 2 +y 2
（A ）1 2 3 （B ）1 2 3 （C ）1 2 3 （D ）1 2 3
A,B
（7 ）若为任意两个随机事件，则
P(AB) ≤P(A)P(B) P(AB) ≥P(A)P(B)
（ A ）（B ）
( ) ( ) P(A) +P(B)
P A +P B
( ) P(AB) ≥
（ C ）P AB ≤（D ）
2
2
(8)设随机变量X,Y 不相关，且EX 2,EY 1,DX 3,则E X (X +Y −2)
(A) −3 (B)3 (C) −5 (D)5
二、填空题
ln cosx
（9 ）
lim
2
x→0 x
π sinx
2 ( +x )dx
（10 ）∫-π1+cosx
2
（11 ）若函数z z(x, y ) 由方程ex +xyz+x
+cos x 2 确定，则dz (0,1) .
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（12 ）设是由平面x +y +z 1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
Ω
(x 2y 3z )dxdydz
∫∫∫+ +
Ω
2 0 0 2
-1 2 0 2
0 0 2 2
（13 ）阶行列式0 0 -1 2
n
（14 ）设二维随机变量(X ,Y ) 服从正态分布N (1,0;1,1;0) ，则
P(XY −Y <0) .
三、解答题
（15 ）设函数，
3 ，若与在x →0
f (x ) x =+a ln(1+x ) +bx ⋅sinx
g (x) kx f (x ) g (x)
a b k
是等价无穷小，求，，值。

（16 ）设函数f (x ) 在定义域上的导数大于零，若对任意的x ∈I ，曲线
I
y f (x ) (x , f (x )) x x x
在点0 0 处的切线与直线0 及轴所围成的区域的面积为4 ，
且f (0) 2,求f (x ) 的表达式。

（17 ）已知函数，曲线 2
2 ，求在曲线
f (x,y ) x + + C :x +y +xy 3
y xy f (x,y )
C 上的最大方向导数.
（18 ）（本题满分10 分）
（Ⅰ）设函数可导，利用导数定义证明
u(x),v(x)
[u(x)v(x)]'=u '(x)v(x)+u(x)v(x)'
u (x),u (x)...u (x) f (x ) u (x )u (x )...u (x ),
（Ⅱ）设函数 1 2 n 可导，1 2 n 写出f (x )
的求导公式.
（19 ）（本题满分10 分）
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2 2
z 2 =−x −y ,
A(0, 2,0) B(0,− 2,0)
已知曲线的方程为起点为，终点为，
L
计算曲线积分I ∫L (y =+z)dx +(z2 −x2 +y )dy +(x2 +y2 )dz
（20 ）（本题满分11 分）
3
设向量组是 3 维向量空间的一个基，，，
α,α,α �β 2α =+2kα β 2α
1 2 3 1 1 3 2 2
βα=+(k +1)α。

3 1 3
3
（Ⅰ）证明向量组β,β,β是的一个基；
�
（Ⅱ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基α,α,α与基, , 下的坐标相同，
β β β
1 2 3 1 2 3
ξ
并求出所有的。

（21 ）（本题满分11 分）
0 2 -3 1 -2 0
设矩阵 A -1 3 −3 相似于矩阵 B
0 b 0 .
1 -
2 a 0
3 1
（Ⅰ）求的值.
a,b
（Ⅱ）求可逆矩阵，使得−1 为对角阵.
P P AP
（22 ）（本题满分11 分）
设随机变量的概率密度为
X
-x
2 ln 2 x >0
f (x )=
0 x ≤0
对进行独立重复的观测，直到第2 个大于3 的观测值出现时停止，记为观
X
Y
测次数.
（Ⅰ）求的概率分布；
Y
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（Ⅱ）求 .
EY
（23 ）（本题满分11 分）
设总体X 的概率密度为
1
θ x 1
≤≤
f (x ;θ)= 1 θ
−
0 其他
θX ，X (X)
其中为未知参数，1 2 n 为来自该总体的简单随机样本.
θ
（Ⅰ）求的矩估计.
θ
（Ⅱ）求的最大似然估计.。