最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编8：解析几何

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编8：解析几何
一、选择题
1 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：
(1)40
x a y +++=平行
，则
a
的值
为
（
） A ．1
B ．1或2
C ．-2
D ．1或-2
2 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线
方
程
是
（
）
A ．01=+-y x
B ．01=--y x
C ．01=-+y x
D ．01=++y x
3 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）若抛物线y 2
=a x 上恒有关于直线x +y-1=0对
称的
两点A ，B ，则a 的取值范
围是 （
） A ．(4
3
-
，0) B ．(0，
34
) C ．(0，
43
) D ．4
03
(,)(
,)-∞+∞ 4 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）己知抛物线方程为
2=2y px (>0p ),焦点为F ,O 是坐标原点, A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正方向的夹角为
60°,若
OAF
∆的面积为,则
p
的值为
（
）
A ．2
B ．
C ．2或
D ．25 ．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>
双曲线22
1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形
的
面
积
为
16
，
则
椭
圆
C
的方程为
（
）
A ．22
182x y += B ．
22
1126x y += C ．
22
1164x y += D ．
22
1205
x y += 6 ．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）已知双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ,在双曲线右支 上存在一点P 满足12PF PF ⊥且126
PF F π
∠=,那么双曲线的离心率是
（
） A
B
C
1
D
1
7 ．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）设F 是抛物线)0(2:21
>=p px y C 的
焦点，点A 是抛物线与双曲线22
222:b
y a x C -=1
)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为
（
） A ．2
B ．3
C ．
2
5
D ．5
二、填空题
8 ．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）若⊙5:221
=+y x O 与⊙
)(20)(:222R m y m x O ∈=+-相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段
AB 的长度是____________________；
9 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右
焦点为21,F F ,P 为双曲线右支上的任意一点,若|
|||22
1PF PF 的最小值为8a,则双曲线的离心率的取
值范围是_________.
10．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==t
y t x 882
(t
为参数),焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为
3-,那么=PF _________ .
三、解答题
11．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知中心在坐标原点,
焦点在x
轴上的椭圆过点P ,且它的离心率2
1
=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足
λ=+,求实数λ的取值范围.
12．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））椭圆E:22a x +22
b
y =1(a>b>0)离心率为23,
且过P(6,
2
2
). (1)求椭圆E 的方程; (2)已知直线l 过点M(-
2
1
,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 切于第二象限的一点N,直
线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与y 轴交与D 点,若→
AD =λ
→AN ,→BD =μ→
BN ,且λ+μ=2
5
,求抛物线C 的标准方程.
13．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上
每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴的距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有FA FB ⋅﹤0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
14．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）设点P 是曲线C:)0(22
>=p py x
上的动点,
点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为4
5
(1)求曲线C 的方程
(2)若点P 的横坐标为1,过P 作斜率为)0(≠k k 的直线交C 与另一点Q,交x 轴于点M,过点Q 且
与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN 与曲线C 相切?若存在,求出k 的值,若不存在,说明理由.
15．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>的离心率为
1
2
，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得
2
3635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.
16．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）设椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为12,F F ,
上顶点为A ,在x 轴负半轴上有一点B ,满足112BF F F =,且2AF AB ⊥. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)D 是过2F B A 、、三点的圆上的点,D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于 椭圆长轴的长,求椭圆C 的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点2F 作斜率为k 的直线l
与椭圆C 交于N M 、两点,线段MN 的中垂线 与x 轴相交于点)0,(m P ,求实数m 的取值范围.
17．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知双曲线的中心在原点,对称轴为
坐标轴,一条渐近线方程为x y 3
4
=,右焦点)0,5(F ,双曲线的实轴为21A A ,P 为双曲线上一点(不同于21,A A ),直线P A 1,P A 2分别与直线5
9
:=x l 交于N M ,两点
(1)求双曲线的方程;
(2)FN FM ⋅是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由.
18．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分13分）如图F 1、F 2为椭圆
1:2222=+b
y a x C 的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，23
12-
=∆DEF S .若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(
0b
y a x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该
直线的方程；若不存在，请说明理由.
最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编8：解析几何参考答案
一、选择题 1. 【答案】A
【解析】直线1l 的方程为42
a
y x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有
282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。

当2a =-时，21
a =-，所以不满足条件，所以1a =，选A.
2. 【答案】D
【解析】直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.
3. C
4. A
5. D
6. 【答案】C
因为12PF PF ⊥且126
PF
F π
∠=，所
以21,PF c PF =,
又
122PF PF c a -=-=，所
以21c a ===，即双曲线的离心率
为1，选C.
7. 【答案】D
解：由题意知(,0)2p F ，不妨取双曲线的渐近线为b y x a =，由22b y x a y px
⎧
=⎪
⎨⎪=⎩
得22
2pa x b =.因为x AF ⊥，所以2A p x =，即2222
pa p
x b ==，解得224b a =，即22224b a c a ==-，所以
225c a =，即25e =
，所以离心率e = D.
二、填空题
8. 【答案】4
解：由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<<m ，又21AO A O ⊥，所以有
525)52()5(222±=⇒=+=m m ，所以45
20
52=⋅⋅
=AB . 9. ]3,1( 10. 【答案】8
解:消去参数得抛物线的方程为28y x =.焦点(2,0)F ,准线方程为2x =-.由题意可设
(2,)A m -,
则0224
AF m m
k -=
=-=--
所以m =因为l PA ⊥,
所以P y =代入抛
物线28y x =,得6P x =.,所以6(2)8PF PA ==--=.
三、解答题
11.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
由已知得:222224
3112
a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩
解得 2
28
6a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以椭圆的标准方程为: 22
186
x y += (Ⅱ) 因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切
所以
2
112(0)t k t t -=⇒=≠
把t kx y +=代入22
186
x y +=并整理得: 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ,则有 2
21438k kt
x x +-
=+ 2
2121214362)(k t
t x x k t kx t kx y y +=++=+++=+
因为,),(2121y y x x OC ++=λ, 所以,⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
++-λλ)43(6,)43(822k t k kt
C 又因为点C 在椭圆上, 所以,222
222222
861(34)(34)k t t k k λλ+=++
22
2
22222
1134()()1t k t t
λ⇒==
+++ 因为 02>t 所以 11)1
()1(
2
22>++t t 所以 2
02λ<<,所以 λ的取值范围为
(0)
(0,2)
12. 【解析】
解. (1)
32e =
，
点在椭圆E 上
222
624028b b a +-=∴==，，
(2)设抛物线C 的方程为2
0y ax a =>（），
直线与抛物线C 切点为 200(,)x ax ,200002,2,2()y ax l ax l ax ax x x '=∴=-直线的斜率为的方程为y- 000002
2
11(,0),2(),(,)22
l ax ax x N x ax x -
∴-=--∴直线过在第二象限,解得01x =-,(1,)N a ∴-,
l 直线的方程为:2y ax a =--
代入椭圆方程并整理得:
2222(116)16480
(1)a x a x a +++-
=
1122(,)(,)A x y B x y 设、则12x x 、是方程(1)的两个根,
由λ=,μ=,
111x x +=
λ,2
2
1x x +=μ
52λμ+=0,a a >∴，
13.本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.
解:(I)设P ),(y x 是直线C 上任意一点,那么点P(y x ,)满足:
)0(1)1(22>=-+-x x y x
化简得)0(42>=x x y
(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为A(11,y x ),B(22,y x )
设l 的方程为m ty x +=,由⎩⎨⎧=+=x 42y m
ty x 得0442=--m ty y ,0)(162>+=∆m t .
于是⎩⎨⎧-==+m y y t y y 442
121 ①
又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=
01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x
②
又4
2
y x =,于是不等式②等价于
⋅4
21y 01)44(42
2212122<++-+y
y y y y 01]2)[(4
116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y ③
由①式,不等式③等价于
22416t m m <+- ④
对任意实数t,2
4t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于
0162<+-m m ,即223223+<<-m
由此可知,存在正数m,对于过点M(m ,0)且与曲线C 有A,B 两个交点的任一直线,都有
0<⋅,且m 的取值范围是)223,223(+-
14.解:(1)依题意知4521=+
p ,解得2
1
=p ,所以曲线C 的方程为2x y = (2)由题意设直线PQ 的方程为:1)1(+-=x k y ,则点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
0,11k M 由⎩⎨⎧=+-=2
1)1(x
y x k y ,012=-+-k kx x ,得()
2)1(,1--k k Q , 所以直线QN 的方程为)1(1
)1(2
+--
=--k x k
k y 由⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=--2
2
)1(1)1(x y k x k
k y ,0)1(1112
2=--+-+k k x k x 得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛----2
11,11k k k k N 所以直线MN 的斜率为k k k k k k k k k MN
2
211111111⎪
⎭⎫ ⎝⎛
---=⎪
⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 过点N 的切线的斜率为⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-k k 112 所以⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪
⎭⎫ ⎝⎛--k k k k k 112112
,解得251±-=
k
故存在实数k=
2
5
1±-使命题成立. 15. （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.
因为1
2c a =，所以2a c =
，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c
+=,………2分
由2222240,1,43x y x y c c
+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切,所以
………4分
………6分
………8分
又直线:240l x y +-=与椭圆22
:
143
x y C +=相切， 由22240,
1,4
3x y x y +-=⎧⎪
⎨+=⎪
⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P …………10分
则2
454AP =
. 所以364581
3547
AM AN ⋅=
⨯=.
又
AM AN ⋅=
=212(1)(4)(4)
k x x =+--
2
1212(1)(4()16)k x x x x =+-++22
2
22641232(1)(
416)3434k k k k k -=+-⨯+++
2236(1)
.34k k =++ 所以2
2
3681(1)347k k +=+
，解得4
k =±.经检验成立. 所以直线m
的方程为(4)4
y x =±
-.………14分 16. 【解】(Ⅰ)连接1AF ,因为2AF AB ⊥
,211F F BF =,所以112AF F F =,
即2a c =,故椭圆的离心率2
1
=e (其他方法参考给分) (Ⅱ)由(1)知
,21=a c 得a c 21
=于是21(,0)2F a , 3(,0)2
a B -, Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -),半径21
||2
r F B a ==
D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ,所以圆心到直线的距离为a ,
所以a a =--2
|321
|,
解得2,1,a c b =∴==
所求椭圆方程为13
42
2=+y x . (Ⅲ)由(Ⅱ)知)0,1(2F , l :)1(-=x k y
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)
1(2
2
y x x k y 代入消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ,所以0∆>恒成立
设),(11y x M ,),(22y x N 则2
2
21438k k x x +=+,1212
26(2)34k y y k x x k -+=+-=+ MN 中点222
43(,)3434k k
k k
-++
当0k =时,MN 为长轴,中点为原点,则0m =
当0k ≠时MN 中垂线方程2
22
314()3434k k y x k k k +
=--++. 令0y =,431432
2
2+=+=
∴k k k m
230k >,2144k +>, 可得4
10<<∴m 综上可知实数m 的取值范围是1
[0,)4
17. (1)
22
1916
x y -= (2)1209(3,0),(3,0),(5,0)(,),(,)5
A A F P x y M y -设
11024
(3,),(
,)5
A P x y A M y ∴=+ 因为1,,A P M 三点共线002424(3)05515
y x y y y x ∴+-
=∴=+ 924(,)5515y M x ∴+,同理96(,)5515
y
N x --
1624166(,),(,)55155515
y y
FM FN x x ∴=-=--+-
2
225614425259y FM FN x ⋅=-⋅-
22
16
99
y x =- 0FM FN ∴⋅=
18.解：（1）由题意得23==
a c e ，故a
b a
c 2
1
,23==，
2
3
1)231(412)23(21)(2122-
=-⨯=⨯-=⨯-⨯=
∆a a a a b c a S DEF ， 故42
=a ，即a=2，所以b=1，c=3，故椭圆C 的标准方程为14
22
=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14
322y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪
⎨⎧-
=-=213
y x ，不妨令)21,3(),21,3(---B A ， 所以对应的“椭点”坐标)21,23(),21,23(---
Q P .而02
1
≠=⋅. 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点.
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y
联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
)
3(2
2y x x k y ，消去y 得：041238)14(2222=-+++k x k x k
设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2
(),,2(
2211y x
Q y x P ，由根与系数的关系可得：1
43822
21+-=+k k x x ，144122221+-=k k x x
若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP ⊥OQ ， 而),2
(),,2(
2211y x
y x ==，因此0=⋅， 即042221212121=+=+⨯y y x x y y x x 即1
41222+-k k =0，解得22±=k
所以直线方程为2622+=
x y 或2
6
22-
-=x y。