苏州星港学校数学轴对称解答题章末练习卷(Word版 含解析)

苏州星港学校数学轴对称解答题章末练习卷（Word 版 含解析）
一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．
（1）求边AD 的长；
（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．
【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜
103)；（2）1769
或32 【解析】
【分析】
（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；
（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；
（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．
【详解】
（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H
∵∠C=45°，DH ⊥BC
∴△DHC 是等腰直角三角形
∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°
∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8
∴HC=8
∴BH=BC －HC=6
∴AD=6
（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G
∵EF ∥AD,∴EF ∥BC
∴∠EFP=∠C=45°
∵EP ⊥PF
∴△EPF 是等腰直角三角形
同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形
∵AE=x
∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x
∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162
x + 同理，PR=
12y ∵AB=8，∴EB=8－x
∵EB=QR
∴8－x=
()11622
x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103
当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值
则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1
∴1≤x ＜103
（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=
83=AE
∴188176662339
ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：
与（2）相同，可得y=3x －10
则当y=2时，x=4，即AE=4
∴()16644322
ABCD S =
⨯++⨯=梯形 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．
2．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.
（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；
（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.
图1. 图2. 图3.
【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；
（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；
（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得
Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.
【详解】
解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =
AB AC ∴=
BAD CAD ∴∠=∠；
图1
（2）解：在图2中，连接CE
ED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形
60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=
由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠
BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=
图2
（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N
'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==
AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=
在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=
令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-
同理12
FN EF m ==，2124CF FG m ==- 在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆ BM CN ∴=
BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+
解得1m = 8CF ∴=
图3
故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =.
【点睛】
本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.
3．如图，ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD AE =，连接DE ．
（1）如图①，若35B C ∠=∠=︒，80BAD ∠=︒，求CDE ∠的度数；
（2）如图②，若75ABC ACB ∠=∠=︒，18CDE ∠=︒，求BAD ∠的度数；
（3）当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D 在线段BC 上时，
∠ADC=y°+α，③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程
组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
(1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，
∴∠E=75°−18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴
y x a
y x aβ
⎧=+
⎨
=-+
⎩
①
②
，①-②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α
∴
y x a
y a xβ
⎧=+
⎨
+=+
⎩
①
②
，②-①得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴
180
180
y a x
x y a
β︒
︒
⎧-++=
⎨
++=
⎩
①
②
，②-①得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
【点睛】
考核知识点：等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类
讨论分析问题是关键．
4．如图，在ABC ∆中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ︒︒∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度
（2）若2ACB B ∠=∠，
①求证：2AB CF =
②若 ,CF a EF b ==，直接写出BD CD
= （用含 ,a b 的式子表示）
【答案】（1）34；（2）①见详解；②
2b a b
- 【解析】
【分析】 （1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；
（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；
②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出
AH AE a b BC BE a b
-==+，进而得出结论． 【详解】 解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，
∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，
∵CE 为三角形的角平分线，
∴1282
ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，
∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，
∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．
故答案为：34；
（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠
∴B BCE ∠=∠
∴BE CE =
过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：
则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠
∴AH=AC ，H EAH ∠=∠
∴AE=HE
∵AD CE ⊥
∴HF=CF
∴AB=HC=2CF ；
②在AHF △和DCF 中，
H DCF HF CF
AFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AHF DCF ≅
∴AH=DC
∵
,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+
∵ //AH BC ∴
AH AE a b BC BE a b -==+ ∴
CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b
=-． 故答案为：
2b a b -． 【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．
5．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设(090BAC θθ∠=︒<<︒).现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB 、AC 上．
活动一、如图甲所示，从点1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（12A A 为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”）
（2）设11223AA A A A A ==，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第一根小棒，且121A A AA =．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则213A A A ∠= ，423
A A A ∠= ，43 A A C ∠= ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，则θ的取值范围是 ．
【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．
【解析】
【分析】
（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案； （3）由121A A AA =，得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，同理得
423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ，43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ； （4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案．
【详解】
（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可，
∴小棒能无限摆下去，
故答案是：能；
（2）∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3，
∴∠A 2A 1A 3＝45°，
∴∠AA 2A 1+θ＝45°，
∵AA 1＝A 1A 2
∴∠AA 2A 1＝∠BAC=θ，
∴θ＝22.5°；
（3）∵121A A AA =，
∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，
∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，
∵3122A A A A =，
∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ，
∴423
A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ， ∵3342A A A A =，
∴423
A A A ∠=243 A A A ∠=3θ， ∴43
A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ， 故答案是：2θ，3θ，4θ；
（4）由第（3）题可得：645
A A A ∠=5θ，65 A A C ∠=6θ， ∵只能摆放5根小棒，
∴5θ＜90°且6θ≥90°，
∴15°≤θ＜18°．
故答案是：15°≤θ＜18°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．
6．已知如图1，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G .
（1）求证：AE CG =.
（2）如图2，直线AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，求证：BE CM =.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，再根据AC =BC ，∠ACM =∠CBE =45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE =CM ．
【详解】
（1）∵点D 是AB 中点，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =45°，∴∠CAD =∠CBD =45°，∴∠CAE =∠BCG ．
又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90°．
又∵∠ACE +∠BCF =90°，∴∠ACE =∠CBG ．
在△AEC 和△CGB 中，∵CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE =CG ；
（2）∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，
∴∠CMA =∠BEC ．
在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△BCE ≌△CAM （AAS ），∴BE =CM ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
7．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.
问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等
腰ADE ，且满足90DAE ∠=︒，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与CF 之间的数量关系.
图1
发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .
探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
图2
拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.
备用图
【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；
（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；
（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．
【详解】
解：（1）BC CF =.
∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B F ∴∠+∠=︒，
45F ∴∠=︒，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（2）BC CF =.
证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B F ∴∠+∠=︒，
45F ∴∠=︒，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（3）BCF 是等腰直角三角形.
提示：如图，
ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B BFC ∴∠+∠=︒，
45BFC ∴∠=︒，
B BF
C ∴∠=∠，
BCF ∴是等腰三角形，
90BCF ∠=︒，
BCF ∴是等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．
(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD CE =．
理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，
…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． (3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．
①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．
②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -=
【解析】
【分析】
（1）通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌即可得到CD=CE ；（2）过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，通过AAS 证明CMD CNE ∆∆≌同样可得到CD=CE ；（3）①方法一：过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥垂足分别为 M ，N ，通过AAS 得到CMD CNE ∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN ==，利用等量代换得到
=OE OD ON OM ++，在 Rt CMO ∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得
12OM OC =，同理得到1 2
ON OC =，所以OE OD OC +=；方法二：以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌，得到
,CD CE OD EF ==，所以OE OD OE EF OF OC +=+==；②图4：以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点，利用ASA 证得△COD ≌△CFE ，即有CD=CE ，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD ；图5:以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点，利用ASA 证得△CGD ≌△COE ，即有CD=CE ，OD=EF ，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【详解】
解：(1)OC 平分AOB ∠，145∠=∠2=︒∴，
390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠
OC FC ∴=
又456590︒∠+∠=∠+∠=
在CDO ∆与CEF ∆中，
13
46
OC FC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
CDO CEF ASA
∴∆∆
≌
CD CE
∴=
(2)如图2，过点C作CM OA
⊥，CN OB
⊥，垂足分别为M，N，∴90
CMD CNE
∠=∠=︒，
又∵OC平分AOB
∠，
∴CM CN
=，
在四边形O DCE中，
12360
AOB DCE
∠+∠+∠+∠=︒，
又∵90
AOB DCE
∠=∠=︒，
∴12180
∠+∠=︒，
又∵13180
∠+∠=︒，
∴32
∠=∠，
在CMD
∆与CNE
∆中，
3
2
CMD CNE
CM CN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
CMD CNE AAS
∆∆
≌，
∴CD CE
=.
(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC
+=.
理由如下：
方法一：如图3(1)，过点C作C M OA
⊥，CN OB
⊥，
垂足分别为M，N，
∴90
CMD CNE
∠=∠=︒，
又∵OC平分AOB
∠，
∴CM CN
=，
在四边形ODCE中，
12360
AOB DCE
∠+∠+∠+∠=︒，
又∵60120180
AOB DCE
∠+∠=︒+︒=︒，
∴12180
∠+∠=︒，
又∵23180
∠+∠=︒，
∴13
∠=∠，
在CMD
∆与CNE
∆中，
13
CMD CNE
CM CN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
CMD CNE AAS
∆∆
≌，
∴,
CD CE DM EN
==.
∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.
在Rt CMO
∆中，
1
49059030
2
AOB
∠=︒-∠=︒-∠=︒，
∴
1
2
OM OC
=，同理
1
2
ON OC
=，
∴
11
22
OE OD OC OC OC
+=+=.
方法二：如图3（2），以CO为一边作60
FCO
∠=︒，交O B于点F，∵OC平分AOB
∠，∴1260
∠=∠=︒，
∴3180260
FCO
∠=︒-∠-∠=︒，
∴13
∠=∠，32FCO
∠=∠=∠，
∴COF
∆是等边三角形，
∴CO CF
=，
∵4560
DCE
∠=∠+∠=︒，
6560
FCO
∠=∠+∠=︒，
∴46
∠=∠，
在CDO
∆与CEF
∆中，
13
46
CO CF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴()
CDO CEF ASA
∆∆
≌，
∴,
CD CE OD EF
==.
∴OE OD OE EF OF OC
+=+==.
②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC
-=.
如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°
∴△COF为等边三角形
∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°
∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE
∴△COD≌△CFE（ASA）
∴CD=CE，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD
即OE-OD=OC
-=.
在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC
如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°
∴△COG为等边三角形
∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°
∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°
∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE
∴△CGD≌△COE（ASA）
∴CD=CE，OE=DG
∴OD=OG+DG=OC+OE
即OD-OE=OC
【点睛】
本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等. 9．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．
（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．
①当t＝2时，求∠AQP的度数．
②当t为何值时△PBQ是直角三角形？
（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①∠AQP＝30°；②当t＝4
3
秒或t＝
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形；（2）
AC＝AP+CQ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，从而得∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP＝60°，继而得出答案；
②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况分别求解可得．
（2）过点Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP＝QF，据此知AP＝BQ，根据BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．
【详解】
解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AQ⊥BC，∠B＝60°，
∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；
②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝4
3
；
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ
＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝8
3
；
∴当t＝4
3秒或t＝
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形；
（2）AC＝AP+CQ，理由如下：
如图所示，过点Q作QF∥AC，交AB于F，
则△BQF是等边三角形，
∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，
∴∠QFP＝∠PAC＝120°，
∵PQ＝PC，
∴∠QCP＝∠PQC，
∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，∴∠BPQ＝∠ACP，
在△PQF和△CPA中，
∵
BPQ ACP
QFP PAC PQ PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△PQF≌△CPA（AAS），
∴AP＝QF，
∴AP＝BQ，
∴BQ+CQ＝BC＝AC，
∴AP+CQ＝AC．
【点睛】
考核知识点:等边三角形的判定和性质.利用全等三角形判定和性质分析问题是关键.
10．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.
（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）∠DBC60α
=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α
︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；
（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得
∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；
（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出
∠BEC60
=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.
【详解】
解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，
∠DCP=∠ACP=α，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD=602α
︒+，BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC
()
180602
180
60
22
BCDα
α
︒-︒+
︒-∠
===︒-；
（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.
理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，
∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ，
∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；
（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .
证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，
∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，
∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，
∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，
∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，
∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，
∵AE=DE ，
∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.。