人教版九年级数学下册 27章：相似 质量检测(有答案)

27.1 图形的相似
（满分120分；时间：120分钟）
一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
1. 如果互不相等的四条线段，a，b，c，d满足a
b =c
d
，那么下列各式中一定成立的是（）
A.a+1 b+1=c+1
d+1
B.a+1
b
=c+1
d
C.a d =c
b
D.a+b
b
=c+d
d
2. 下列图形中，是相似形的是()
A.所有平行四边形
B.所有矩形
C.所有菱形
D.所有正方形
3. 如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB ＝1，则矩形ABCD的面积是（）
A.4
B.2
C.
D.
4. 矩形甲、乙、丙的长和宽如图所示（单位：cm），则其中是相似图形的是（）
A.甲和乙
B.乙和丙
C.丙和甲
D.甲、乙和丙
5. 若a+b
c =b+c
a
=c+a
b
=k，则k的值为（）
A.2
B.−1
C.2或−1
D.−2或1
6. 已知点M是线段AB的黄金分割点(AM>BM)，则下列各式中不正确的是()
A.AM:BM=AB:AM
B.AM=√5−1
2
AB
C.BM=√5−1
2
AB D.AM≈0.618AB
7. 下列说法正确的是（）
A.所有的矩形都相似
B.所有的菱形都相似
C.所有的等腰三角形都相似
D.边数相同的正多边形都相似
8. 下列图形中一定相似的一组是（）
A.邻边对应成比例的两个平行四边形
B.有一个内角相等的两个菱形
C.腰长对应成比例的两个等腰三角形
D.有一条边相等的两个矩形
9. 五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是（）
A.5:4
B.4:5
C.5:2√5
D.2√5:5
10. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
11. 已知a
b =5
2
，则b
a−b
=________．
12. 已知点P是线段MN黄金分割点，PM是被分线段中较长部分，PM=√5−1
2
，则线段
PN=________．
13. 用100倍的放大镜看一个正方形，则所看到正方形与原正方形的形状关系是________．
14. 下列说法①所有的菱形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的等腰梯形都相似；
④所有的正方形都相似中正确的有________．（填序号1，2等）
15. 如果两个图形相似，那么它们的形状________，而与它们的________无关．
16. 如果C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则有比例线段________．
17. 若x
3=y
4
=z
6
，则y+2z
3y−z
=________．
18. 已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1，AP>BP，那么AP＝________
19. 已知：a=24cm，b=54cm，那么a和b的比例中项是________cm．
20. 如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD________（填“是”或“不是”）位似图形．
三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）
21. 如图，点C在线段AB上，AC2=BC⋅AB，求AC
AB
的值．（提示：设AB=1，AC=x）
22. （1）已知a
b =3
5
，求a+b
b
的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，求PA、PB的长．
23. （1）已知x
y =2
3
，求x−y
x+y
的值；
（2）已知点P为线段AB的黄金分割点(AP>BP)，且AB=2，求BP的长．
24. 第二十四届国际数学家大会在北京举行，其会标如图所示，它是由四个相同的直角三
角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
（1）试说明大正方形与小正方形是否相似；
（2）若大方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，求大正方形与小正方形的相似比．
25. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，0B，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理
由．
26. 给定一条线段AB，如何找到它的黄金分割点C呢？
AB；②连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E；
①作BD⊥AB，且使BD=1
2
③以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，点C就是线段AB的黄金分割点．
如果有兴趣的话，你可以和同学们探索一下，点C为什么是线段AB的黄金分割
点．
参考答案
一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.
【答案】
D
【解答】
B，根据比例的性质可知该等式不成立，错误（1）C．由已知a
b =c
d
得，a
c
=b
d
，故选项错误
（2）D．根据分式的合比性质，正确．
故选：D．
2.
【答案】
D
【解答】
解：A，所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似；B，所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似；
C，所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似；
D，所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义．
故选D．
3.
【答案】
D
【解答】
矩形ABCD与矩形EABF相似，
AE AB =AB
AD
，即
解得，AD=√2
…矩形ABCD的面积=AB⋅AD=√2
故选：D．
4.
【答案】
C
【解答】
解：矩形甲的长宽比为：2:3；
矩形甲的长宽比为：3:5；
矩形甲的长宽比为：2:3；
故矩形甲和丙为相似图形．
故选C．
5.
【答案】
C
【解答】
解：①a+b+c=0时，a+b=−c，
所以，k=a+b
c =−c
c
=−1；
②a+b+c≠0时，a+b
c =b+c
a
=c+a
b
=a+b+b+c+c+a
a+b+c
=2(a+b+c)
a+b+c
=2，
所以，k=2，
综上所述，k的值为2或−1．故选C．
6.
【答案】
C
【解答】
解：∵ 点M是线段AB的黄金分割点(AM>BM)，∵ AM是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB:AM=AM:BM，AM=√5−1
2AB≈0.618AB，BM=3−√5
2
AB．
故选C．
7.
【答案】
D
【解答】
A、所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故A选项错误；
B、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故B选项错误；
C、所有的等腰三角形的对应边的比、对应角不一定相等，故C选项错误；
D、边数相等的正多边形都相似，故D选项正确；
故选：D．
8.
【答案】
B
【解答】
解：A、邻边对应成比例的两个平行四边形，对应的角不一定相等，因而不一定相似，故本选项错误；
B、有一个内角对应相等的两个菱形相似，故本选项正确；
C、腰长对应对应成比例的等腰三角形不一定相似，故本选项错误；
D、有一条边相等的两个矩形不一定相似，故本选项错误．
故选B．
9.
【答案】
B
【解答】
解：五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是=40:50=4:5．故选B．10.
【答案】
C
【解答】
根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：
99+y
165+y
=0.618，
解得：y≈8cm．
二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）
11.
【答案】
2
3
【解答】
解：∵ a
b =5
2
，
∵ 设a=5k，b=2k，
则b a−b =2k 5k−2k =23．
故答案为：23．
12.
【答案】
3−√5 【解答】
解：∵ 点P 是线段MN 黄金分割点，
∵ PM 2=MN ⋅PN ， 即(√5−12)2=(√5−12+PN)PN ，
解得PN =
√5−12（舍去）或PN =3−√5
2． 故答案为
3−√52．
13.
【答案】
相似
【解答】 解：根据相似图形的定义知，用100倍的放大镜看一个正方形，则所看到正方形与原正方形的形状相同，只是大小不相同．所以所看到正方形与原正方形的形状关系是相似． 14.
【答案】
④
【解答】
解：①、∵ 正方形是特殊的菱形，正方形的四条边都相等，但与菱形不相似，故①错；
②∵ 矩形的四条边不一定相等或对应边成比例，∵ 所有的矩形不一定相似，故②错；
③∵ 等腰梯形上下底平行，但对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故③错；
④因为正方形的四条边都相等且对应角相等都为90∘，∵ 所有的正方形都相似，故④正确；
∵ ④正确．
15.
【答案】
相同,位置及大小
【解答】
解：相似图形的形状相同，但大小不一定相同，所以如果两个图形相似，那么它们的形状相同，而与它们的位置及大小无关．
16.
【答案】
（AB
AC =AC
BC
形式不唯一）
【解答】
解：C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，根据线段黄金分割的定义，
则有比例线段AB
AC =AC
BC
．
17.
【答案】
8
3【解答】
解：设x
3=y
4
=z
6
=k，
∵ x=3k，y=4k，z=6k，
∵ y+2z
3y−z =4k+12k
12k−6k
=8
3
，
故答案为8
3
．
18.
【答案】
√5−1
2
【解答】
∵ 点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1cm，AP>BP，
∵ AP=√5−1
2×1=√5−1
2
．
19.
【答案】
36【解答】
解：∵ 24:c=c:54，
∵ c2=24×54=1296，
∵ c=36(cm)（c=−36舍去）．
∵ a和b的比例中项是36．
20.
【答案】
是
【解答】
解：∵ E 、P 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点
∵ △AFP ∽△ADC ，△APE ∽△ACB
∵ AF ；AD =AP:AC ，AP ；AC =AE ；AB
∵ AF:AD =AP:AC =AE:AB
∵ 答案填：是．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）
21.
【答案】
解：设AB =1，AC =x ，则BC =1−x ，
∵ AC 2=BC ⋅AB ，
∵ x 2=(1−x)×1，
解得：x =−1±√52，
x 1=−1+√52，x 2=−1−√52（舍去），
则AC AB =−1+√52．
【解答】
解：设AB =1，AC =x ，则BC =1−x ，
∵ AC 2=BC ⋅AB ，
∵ x 2=(1−x)×1，
解得：x =−1±√52，
x 1=−1+√52，x 2=−1−
√52（舍去），
则AC AB =−1+√52．
22.
【答案】
解：（1）∵ a
b =3
5
，
∵ 可设a=3k，则b=5k，
∵ a+b
b =3k+5k
5k
=8
5
；
（2）∵ 点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，
∵ PA=√5−1
2AB=√5−1，PB=3−√5
2
AB=3−√5．
【解答】
解：（1）∵ a
b =3
5
，
∵ 可设a=3k，则b=5k，
∵ a+b
b =3k+5k
5k
=8
5
；
（2）∵ 点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，
∵ PA=√5−1
2AB=√5−1，PB=3−√5
2
AB=3−√5．
23.
【答案】
解：（1）∵ x
y =2
3
，
∵ x−y
x+y =
x
y
−1
x
y
+1
=
2
3
−1
2
3
+1
=−1
5
；
（2）∵ 点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，AB=2，
∵ BP=2×3−√5
2
=3−√5．
【解答】
解：（1）∵ x
y =2
3
，
∵ x−y
x+y =
x
y
−1
x
y
+1
=
2
3
−1
2
3
+1
=−1
5
；
（2）∵ 点P 是线段AB 的黄金分割点，AP >PB ，AB =2，
∵ BP =2×
3−√52=3−√5．
24.
【答案】
解：（1）∵ 正方形的四条边都相等，四个角都是直角，
∵ 大正方形与小正方形的对应角相等，对应边的比相等，
∵ 大正方形与小正方形相似；
（2）设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，
由题意，得{a 2+b 2=13a +b =5， 解得{a =3b =2
． ∵ 大方形的边长为√13，小方形的边长为a −b =3−2=1，
∵ 大正方形与小正方形的相似比为√13:1=√13．
【解答】
解：（1）∵ 正方形的四条边都相等，四个角都是直角，
∵ 大正方形与小正方形的对应角相等，对应边的比相等，
∵ 大正方形与小正方形相似；
（2）设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，
由题意，得{a 2+b 2=13a +b =5
， 解得{a =3b =2
． ∵ 大方形的边长为√13，小方形的边长为a −b =3−2=1，
∵ 大正方形与小正方形的相似比为√13:1=√13．
25.
【答案】
解：∵ A′，B′分别是OA ，0B 的中点，
∵ A′B′ // AB，A′B′=1
2
AB，
∵ ∠OA′B′=∠OAB，A′B′
AB =1
2
，
同理，∠OA′D′=∠OAD，A′D′
AD =1
2
，
∵ ∠B′A′D′=∠BAD，A′B′
AB =A′D′
AD
，
同理，∠B′A′D′=∠BAD，∠A′D′C′=∠ADC，∠D′C′B′=∠DCB，∠C′B′A′=∠CBA，
A′B′AB =A′D′
AD
=D′C′
DC
=B′C′
BC
，
∵ 四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．【解答】
解：∵ A′，B′分别是OA，0B的中点，∵ A′B′ // AB，A′B′=1
2
AB，
∵ ∠OA′B′=∠OAB，A′B′
AB =1
2
，
同理，∠OA′D′=∠OAD，A′D′
AD =1
2
，
∵ ∠B′A′D′=∠BAD，A′B′
AB =A′D′
AD
，
同理，∠B′A′D′=∠BAD，∠A′D′C′=∠ADC，∠D′C′B′=∠DCB，∠C′B′A′=∠CBA，
A′B′AB =A′D′
AD
=D′C′
DC
=B′C′
BC
，
∵ 四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
26.
【答案】
证明：设AB=x，则BD=DE=1
2
x，
由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5
2
x，
则AC=AE=√5−1
2
x，
∵ AC=√5−1
2
AB，
∵ 点C为是线段AB的黄金分割点．
【解答】
证明：设AB=x，则BD=DE=1
2
x，
由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5
2
x，
则AC=AE=√5−1
2
x，
∵ AC=√5−1
2
AB，
∵ 点C为是线段AB的黄金分割点．
人教版九年级数学27.2 相似三角形一、选择题
1. （2020·永州）如图，在ABC中，
2
//,
3
AE
EF BC
EB
，四边形BCFE的面积为21，
则ABC的面积是（）
A. 91
3
B. 25
C. 35
D. 63
2. (2019•重庆)下列命题是真命题的是
A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）
A ．
CD EF EC AE = B ．AB EG CD EF = C ．GC BG FD AF = D ．AD AF BC CG =
4. （2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为( )
A. (
32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)
5. (2019•沈阳)已知△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应中线，若AD =10，A'D'=6，则△ABC 与△A'B'C'的周长比是
A ．3∶5
B ．9∶25
C ．5∶3
D ．25∶9
6. (2019•巴中)如图ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使，连接EF 交DC 于点G ，则=
A ．2∶3
B ．3∶2
C ．9∶4
D ．4∶9
7. （2020·新疆）如图，在△ABC 中，∵A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（
）
A
．B ．5 C
．D ．10
8. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
13DE AD ∶∶:DEG CFG S S △
△
二、填空题
9. （2020·盐城）如图，//,
BC DE且,4,10
BC DE AD BC AB DE
<==+=，则
AE
AC 的值为
．
10. （2020·吉林）如图，////
AB CD EF．若
1
2
=
AC
CE
，5
BD=，则DF=______．C
11. (2019•百色)如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点
，
，，，则的面积为__________．
12. （2020·东营）如图，P 为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD 上的
点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．
ABC △A'B'C'△O ()22A ，()34B ，()61C ，()68B'，A'B'C'
△
13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，
3
2
为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．
14. (2019•台州)如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连
接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，
之间的距离为，若，，且
，则的最大值为__________．
123l l l ∥∥A B C 1l 2l 3l AB BC AC AC 2l D 1l 2l m 2l 3l n 90ABC ∠=︒4BD =3
2
m n =m n +
15. (2019•泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，
，点在边上，，垂足为，则长为__________．
16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B
落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，
BE =______．
三、解答题
17. ∵2020·∵∵∵∵∵∵∵∵∵
ABCD ∵∵//AB CD ∵90B ∠=︒∵6AB cm =∵2CD cm =∵P ∵∵∵
BC ∵∵∵∵∵∵∵∵B ∵C ∵∵∵∵∵∵PA ∵∵∵P ∵PE PA ⊥∵∵∵CD ∵∵E ∵
∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵
Rt ABC △90C =︒∠15AC
=E CB 2CE EB =D AB CD AE ⊥F
AD F
D
B
E A C
B
D P
A
C
E
∵1∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵ABP ∵∵PCE ∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵
∵2∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵BC ∵∵∵∵∵∵∵P ∵∵∵∵∵∵∵∵∵CE ∵BP ∵∵∵∵∵∵∵∵ ∵6BC cm =∵∵∵∵1∵
∵8BC cm =∵∵∵∵2∵
∵∵∵∵∵P ∵∵∵BC ∵∵∵∵∵∵∵∵∵E ∵∵∵∵CD ∵∵BC ∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵
①∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵BP ∵CE ∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵______∵∵∵∵∵∵∵∵______∵∵∵∵∵∵∵∵
②∵BC mcm =∵∵∵P ∵∵∵BC ∵∵∵∵∵∵E ∵∵∵∵CD ∵∵∵m ∵∵∵∵∵∵
18. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果
BC AB
AB AC
=，那
么称点B 为线段AC 的黄金分割点.
. （1）在图①中，若AC =20cm ，则AB 的长为 cm ；
（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 的对应点H ，得折痕CG .试说明：G 是AB 的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE >DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P .他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
图① 图 ② 图③
人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 课时训
练-答案
一、选择题
A C
B
G
P
1. 【答案】B
【详解】解：∵//EF BC ∵AEF
B AFE
C ∠=∠∠=∠，
∵AEF ABC ∽ ∵
2
3AE EB = ∵
2
5
AE AB = ∵2
5
5242AEB ABC
S S
⎛⎫
==
⎪⎝⎭ ∵
421
AEB
BCFE
S
S =
四边形 ∵21BCFE S =四边形
∵AEB
S
=4
∵
=25ABC
S
故选：B ．
2. 【答案】B
【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题， 故选B ．
3. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF ∥BC ，∴
EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴EC
AE GC BG =，∴GC BG
FD AF =因此本题选C ．
4. 【答案】B
【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，
∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴
EF
BF AC BC ，即2
69
BF
，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．
5. 【答案】C
【解析】∵△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应中线，AD =10，A'D'=6， ∴△ABC 与△A'B'C'的周长比=AD ∶A ′D ′=10∶6=5∶3．故选C ．
6. 【答案】D
【解析】设，∵，∴， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，， ∵点F 是BC 的中点，∴， ∵，∴， ∴
，故选D ．
7. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E 作EG ⊥BC 于G ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．
又因为DF ⊥BC ，所以DF ∥AH ∥EG ，四边形DEGF 是矩形．所以△BDF ∽△BAH ，DF ＝EG ，所以
DF AH ＝BD BA ，因为D 为AB 中点，所以BD BA ＝12，所以DF AH ＝1
2
．设DF ＝EG ＝x ，则AH ＝2x ．因为∠BAC ＝90°，所以∠B ＋∠C ＝90°，因为EG ⊥BC ，所以∠C ＋∠CEG ＝90°，所以∠B ＝∠CEG ，又因为∠BHA ＝∠CGE ＝90°，AB ＝CE ，所以△ABH ≌△CEG ，所以CG
DE x =13DE AD =∶∶
3AD x =AD BC ∥3BC AD x ==1322
CF BC x =
=AD BC ∥DEG CFG △∽△224
()()392
DEG CFG S DE x S CF x ===△
△
＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BF
EG
＝
BD
EC
，因为BD＝
1
2
AB＝
1
2
CE，所以BF＝
1 2EG＝
1
2
x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD
x，所以
AD
x，所以CE＝AB＝2AD
x．因为DE∥BC，所以
AE
AC
＝
AD
AB
＝
1
2
，所以AE＝
1
2
AC＝CE
x．
在R t△ADE中，由勾股定理得DE
＝
5
2
x．因△DEF的
面积为1，所以1
2
DE·DF＝1，即
1
2
×
5
2
x·x＝1，解得x
，所以DE＝
5
2
，
因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE
＝D．
8. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
二、填空题
C
9. 【答案】
2
【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DE AC
AB BC == ，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为
2 ．
10. 【答案】10
【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BD CE DF
=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512
DF =，∴10DF =，故答案为：10．
11. 【答案】18
【解析】∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，
若点，，∴位似比为， ∵，， ∴， ∴的面积为：， ABC △A'B'C'△O ()34B ，()68B'，31=62
()22A ，
()61C ，()()44122A'C'，
，，A'B'C'△1116824662818222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=
故答案为：18．
12. 【答案】18
【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．
∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3，
∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18，
∴1S +2S =PAD S ∆=18．
13. 【答案】（，2）
【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．
14. 【答案】 【解析】如图，过作于，延长交于，过作于，过作于，
253
B 1BE l ⊥E EB 3l F A 2AN l ⊥N
C 2CM l ⊥M
设，，，，
∵，∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，即，∴， ∵，∴，
∴，即， ∴， ∵，∴， ∴， ∴当最大时，， ∵，
AE x =CF y =BN x =BM y =4BD =4DM y =-4DN x =-90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒90EAB ABE ABE CBF ∠+∠=∠+∠=︒EAB CBF ∠=∠ABE BFC △∽△AE BE BF CF =x m n y =xy mn =ADN CDM ∠=∠CMD AND △△AN DN CM DM =4243m x n y -==-3102y x =-+23m n =32
n m =5()2
m n m +=最大m 5()2m n m +=最大22333(10)10222
mn xy x x x x m ==-+=-+=
∴当时，， ∴， ∴的最大值为
．故答案为：．
15. 【答案】
【解析】如图，过作于，则∠AHD =90°，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴∠ADH =90°–∠CAD =45°=∠CAD ，
∴，
∴CH =AC –AH =15–DH ，
∵，∴，
又∵∠ANH =∠DNF ，∴，
∴，∴， ∵，CE +BE =BC =15，∴，
10
10332()2x =-=⨯-250332
mn m ==最大103
m =最大m n +51025233⨯=25
3D DH AC ⊥
H Rt ABC △90C =︒∠15AC =15AC BC ==45CAD ∠=︒AH DH =CF AE ⊥90DHA DFA ∠=∠=︒HAF HDF ∠=∠ACE DHC △∽△DH CH AC CE
=2CE EB =10CE =
∴
， ∴，
∴，故答案为：．
16. 【答案】2
－1
【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴
△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2
x ，解得x 1
－1，x 2
－1．经检验，x 1
－1，x 2
－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x
－1，即BE
－1．
三、解答题
17. 【答案】
（1）∵AB ∥CD ，∠B=90°，∴∠C=90°，
∵PE ⊥PA ，∠B=90°，
∴∠APB ＋∠EPC=90°，∠APB ＋∠PAB=90°，∴∠PAB=∠EPC ，
在△APB 和△EPC 中，∠PAB=∠EPC ，∠B=∠C=90°，∴△APB ∽△EPC.
（2）①BP ；CE ；
②∵△APB ∽△EPC ，∴，
151510DH DH -=9DH
=AD =
=
∵CD=2，∴CE 的最大值为2，，即BP·CP=12，
由表格可知：当BP=2时，CE=2，此时CP=6，BC=BP ＋CP=8，
∴BC 的最大值为8，即0＜m ＜8.
18. 【答案】
解： （1
）10.
解：∵AB AC =，AC=20，∴
AB=10.
（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，
∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，
由勾股定理可得：
=∴
EJ=
AJ=JE-AE=，
∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC
，∴AG AJ BG BC
==,∴G 是AB 的黄金分割点.
（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴
AE= a.
∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,
J
在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC
A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CF
B ，∴
BF=AE= a.
∴AF BF BF AB ==,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴
AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.
27.3位似
一．选择题
1．在平面直角坐标系中，点A （﹣6，2），B （﹣4，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）
A ．（﹣3，1）
B ．（﹣12，4）
C ．（﹣12，4）或（12，﹣4）
D ．（﹣3，1）或（3，﹣1）
2．如图，以某点为位似中心，将△OAB 进行位似变换得到△DFE ，若△OAB 与△DFE 的相似比为k ，则位似中心的坐标与k 的值分别为（ ）
A．（2，2），2B．（0，0），2C．（2，2），D．（0，0），
3．在平面直角坐标系中，将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘﹣2，依次连接得到的四个点，可得到一个新四边形．关于所得四边形，下列说法正确的是（）A．与原四边形关于x轴对称
B．与原四边形关于原点位似，相似比为1：2
C．与原四边形关于原点中心对称
D．与原四边形关于原点位似，相似比为2：1
4．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）
A．（5，1）B．（4，3）C．（3，4）D．（1，5）
5．如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（）
A．2B．4C．6D．8
6．下列3个图形中是位似图形的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．在平面直角坐标系中，点A（2，2）．B（3，﹣2），△AOB与△A'OB'是以原点O为位似中心的位似图形，且两个三角分别在y轴两侧，相似比为3：2．则点B'的坐标是（）
A．（2，﹣）B．（，﹣3）C．（﹣2，）D．（﹣，3）
8．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F 的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2）；则它们的位似中心的坐标是（）
A．（0，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）
9．如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，＝k．已知关于x，y的二元一次方程（m，n 是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于（）
A．B．1C．D．
10．如图，已知△ABC和△A1B1C1是位似图形，其中点P为位似中心，且AP：A1P＝3：2，则BC：B1C1等于（）
A．2：3B．3：2C．5：3D．2：5
二．填空题
11．△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．以坐标原点O为位似中心，画出放大的△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比等于2：1．则点C的对应点C1坐标为．
12．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是．
13．如图，正六边形OABCDE与正六边形OA'B'C'D'E'是关于原点O的位似图形，相似比为2：1，且点A'，E'分别在OA，OE上，点C，C'在x轴正半轴上．已知AB＝4，则点C'的坐标为．
14．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．
15．如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是．
三．解答题
16．如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．
（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1与△ABC的位似比是．
17．如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A（﹣2，﹣4），B（﹣6，﹣2），C（﹣4，﹣6）．
（1）做出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC 的相似比是1：2．
（3）若M（x，y）是线段AB上一点，则点M的对应点M2的坐标为．
18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点
B的坐标为（﹣1，﹣1）．
（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；
（3）把△ABC以点A为位似中心，在x轴下方放大，使放大前后对应边长的比为1：2，在方格纸中画出△AB3C3的图形．
参考答案
一．选择题
1．解：∵△ABO的一个顶点A的坐标是（﹣6，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABO缩小得到它的位似图形△A′B′O′，
∴点A′的坐标是：（﹣×6，×2），[﹣×（﹣6），﹣×2]，
即（﹣3，1），（3，﹣1）．
故选：D．
2．解：连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：FD＝8：4＝2，
故选：A．
3．解：在平面直角坐标系中，将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘﹣2，依次连接得到的四个点，可得到一个新四边形，所得四边形与原四边形关于原点位似，相似比为2：1，
故选：D．
4．解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选：C．
5．解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴＝，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴＝（）2，即＝，
解得：S△DEF＝2，
故选：A．
6．解：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），所以位似图形的是第一个、第二个和第三个．
故选：D．
7．解：如图，∵△AOB∽△A′OB′，相似比为3：2，B（3，﹣2），∴B′（2，），
故选：C．
8．解：∵点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是
CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y＝kx+b，
将C（4，2），F（1，1）代入，
得，
解得，
即y＝x+，。