菲涅耳衍射和分数傅里叶变换.
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5
0, 的分数傅里叶变换定义
1 9 0 6
当时 必须另外定义，仍然利用定义广义傅里叶变换 的极限方法有 1 2
exp j 2 F 0 g x lim 0 2
exp x j j
x
0阶分数傅里叶变换给出函数本身， 阶分数傅里叶变换 则给出它的倒象 6
分数傅里叶变换性质
1 9 0 6
1.线性性质 分数傅里叶变换仍然是线性变换，即有
F Ag x Bh x AF g x BF h x
若总的二次位项因子互相抵消，即
tan 2 k 2 s 0 2 2 R
因而，可求出球面的半径 R d sin 2
13
用透镜做孔径的准确分数傅里叶变换
1 9 0 6
类似用透镜实现夫琅和费衍射，可以借助透镜实现实现准确的分数傅里 叶变换 方法很简单，只要在观察平面处放置一个焦距为 f R 的正透镜，在其后的平面上得到的就是准确的分数傅里叶变换，因为在 透镜前的球面上于透镜后的平面上的光场分布是完全一样的，不仅振幅 相同，位相也相同
12
球面半径的计算
1 9 0 6
发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子
k k 2 2 2 exp j x y exp j s 2 R 2 R
若在球面上观察，则球面上产生总的二次位项因子为
k 2 tan 2 exp j exp j s 2 2 R
1
1
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
分数傅里叶反变换
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
式中 G 称为 g x 的分数傅里叶谱， 称为分数傅里 叶变换的维，是连续变化的实数，其值应满足
其中缩放因子
2 tg d
及
2 sin cos d
10
分数傅里叶变换形式菲涅耳衍射公式的意义
1 9 0 6
分数傅里叶变换形式菲涅耳衍射公式说明： 1、由孔径平面到观察平面的菲涅耳衍射可以看成是 维的分数傅里 叶变换与一个二次位相因子的乘积
2、孔径平面到观察平面的光场分布之间满足 维的分数傅里叶变换 关系的条件是两平面的坐标需要用缩放因子 及 进行变换
1 2
j ξ 2 x 2 jξ x G ξ dξ exp 2tgα sinα
1
2 exp j j 2 x2 j x 2 exp 2 sin 2tg sin 1 2 exp j 2 2 j x j x g x dx d 2 exp 2 s in 2 tg sin
F F g xF F g xF g x
F F g xF F g xF g x g x
7
分数傅里叶变换的周期性质
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4.周期性质 分数傅里叶变换关于阶数 有周期性，周期为 ，也就是 说 F g x g x
j 2 x2 jx exp g x dx 2
lim
0
exp x
2
j 2
j 2
g xdx
g x x dx g
lim
其中利用了
函数的一种定义
9
菲涅耳衍射公式的分数傅里叶变换形式
1 9 0 6
尽管上述两个公式有些相象，为把菲涅耳衍射公式改写成分数 傅里叶变换的形式，还需要作一些变量代换。令
ρ r 2 tg (d )r 及 σ s 2 sin cos (d )s
则菲涅耳衍射公式变成
σ σ2 ρ ρ2 ρσ tan 2 U ( ) Cexp j σ exp j U ( )exp j exp j 0 dρ v 2 sin 2tan 2tan tan 2 ρ C exp j σ F U 0 2
F n g x g x
Fn g xF g x
n
于是当 设
及 时的变换都可以化为主值区内的变换。 p
则 阶的分数傅里叶变换还可表示为 F p g,
参数 p 的变化范围是 p
3、不同的维数对应的缩放因子是不同的，或者说，不同的缩放因子完 成的分数傅里叶变换维数不同 4、由 、 及 可以计算出观察平面到孔径平面的距离 d 以及 观察平面的缩放因子 5、在距离 d 确定的观察平面上以缩放因子 变换坐标后得到的菲 涅耳衍射光场分布代表着孔径平面上光场分布的 维的分数傅里 叶变换。
11
二次位相因子的影响
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至于二次位相因子，因为任何光的接收器件都只能检测光 的强度而不能直接检测位相，在观察平面接收到的光强分 布与二次位维的分数傅 里叶变换的模平方
如果要得到孔径平面上光场分布的考虑二次位相因子的准 确的分数傅里叶变换的信息，则可在半径为 R 的球面上 观察，因为发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次 位项因子
2.位移性质
acosα F g x a exp jasin ξ G acos 2
3.可加性性质 F F g x F F g xF g x 即， 阶和 阶变换依此作用的结果相当于 阶的一次 变换,由于在上式中 和 是对称的，所以有可对易的 且
矢量形式比直角坐标形式简洁，因而常用在各种科技论文和杂 志中，式中，矢量 r 表示的是衍射孔径的坐标 x , y ，矢量 s 表示的是距离孔径坐标面为 d 处的观察面坐标 x , y 二维分数傅里叶变换定义的矢量形式应将不参与积分的变量 放到积分号以外，有
exp j s r sr Gs exp j exp j exp j g r dr sin sin tg tg
2
分数傅里叶变换的定义
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分数傅里叶正变换
exp j 2 G Fa g x 2 sin
exp j 2 F a g x 2 sin
j x x ξ dξ dx exp sinα
j x 2 x 2 exp 2tgα
g x δx x dx g x F
x x dx 2 πsinα
14
透镜置于衍射孔径上的情况
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这时菲涅耳衍射公式中需要增加一个二次位相因子，变为
exp( jkd ) k 2 2 k 2 k 2 U (s) exp j s U 0 (r) exp j r exp j r exp j s r dr jd 2f d 2d 2d
8
菲涅耳衍射公式和分数傅里叶变换的矢量形式
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为用分数傅里叶变换表示菲涅耳衍射，首先将菲涅耳衍射公 式改写为矢量形式
exp( jkd ) 2 k 2 k 2 U (s) exp j s U 0 (r) exp j r exp j s r dr jd d 2d 2d
可以证明
F F g x g x
3
分数傅里叶变换“定理”的证明
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证明方法主要利用 函数性质
F α Fα g x F α G ξ π exp j α 2 2 π sin α
此时坐标变换略有不同
ρ r 2πsincos λd r 及 σ νs 2πtg λd s
并令
同样可以得到准确的分数傅里叶变换
σ2 ρ2 σ ρ ρ σ U ( ) Cexp j U ( ) exp j exp j dρ 0 v sin 2tg 2tg ρ C Fα U 0
12至于二次位相因子因为任何光的接收器件都只能检测光的强度而不能直接检测位相在观察平面接收到的光强分布与二次位相因子无关在观察平面检测的菲涅耳衍射光强分布就是维的分数傅里叶变换的模平方如果要得到孔径平面上光场分布的考虑二次位相因子的准确的分数傅里叶变换的信息则可在半径为的球面上观察因为发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子13发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子若在球面上观察则球面上产生总的二次位项因子为若总的二次位项因子互相抵消即因而可求出球面的半径tanexpexp14类似用透镜实现夫琅和费衍射可以借助透镜实现实现准确的分数傅里叶变换方法很简单只要在观察平面处放置一个焦距为的正透镜在其后的平面上得到的就是准确的分数傅里叶变换因为在透镜前的球面上于透镜后的平面上的光场分布是完全一样的不仅振幅相同位相也相同15这时菲涅耳衍射公式中需要增加一个二次位相因子变为此时坐标变换略有不同cossinsinexptg16分数维傅里叶变换对其维数具有连续性即当维数趋近时分数维傅里叶变换趋近于如果距离趋近于零无论观察球面的半径即透镜的焦距如何选取维数都将趋近于零
菲涅耳衍射和分数傅里叶变换
用分数傅里叶变换表示菲涅尔衍射公式是近代 光学的一个最新发展
1 9 0 6
1
分数傅里叶变换
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衍射孔径上场分布的夫琅和费衍射与傅里叶变换的密切关系
是否在菲涅耳衍射与傅里叶变换也有某种直接联系？
分数傅里叶变换理论提供了这种可能。 分数傅里叶变换的初步概念是1937年，Condon就提出的， Bargmann在1961年进一步发展了这些概念。Namias在1980年 建立了比较完整的分数傅里叶变换理论 九十年代初分数傅里叶变换被引入到光学之中，陆续提出用 梯度折射率光波导、透镜系统实现分数傅里叶变换及阶数连 续的分数傅里叶变换。光学分数傅里叶变换作为数学和光学 的一个交叉领域，变得十分活跃，包括菲涅耳衍射和分数傅 里叶变换的对应关系的研究
F g x
常规傅里叶变换是分数傅里叶变换的特殊情况。当 和 时它转化为常规傅里叶变换
F g x g x exp( jx) dx
F 2 G
1 2
G exp( jx)d
4
分数傅里叶变换“定理”的证明（续）
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作一定的代数简化后得
j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα
g x
g x δ
0, 的分数傅里叶变换定义
1 9 0 6
当时 必须另外定义，仍然利用定义广义傅里叶变换 的极限方法有 1 2
exp j 2 F 0 g x lim 0 2
exp x j j
x
0阶分数傅里叶变换给出函数本身， 阶分数傅里叶变换 则给出它的倒象 6
分数傅里叶变换性质
1 9 0 6
1.线性性质 分数傅里叶变换仍然是线性变换，即有
F Ag x Bh x AF g x BF h x
若总的二次位项因子互相抵消，即
tan 2 k 2 s 0 2 2 R
因而，可求出球面的半径 R d sin 2
13
用透镜做孔径的准确分数傅里叶变换
1 9 0 6
类似用透镜实现夫琅和费衍射，可以借助透镜实现实现准确的分数傅里 叶变换 方法很简单，只要在观察平面处放置一个焦距为 f R 的正透镜，在其后的平面上得到的就是准确的分数傅里叶变换，因为在 透镜前的球面上于透镜后的平面上的光场分布是完全一样的，不仅振幅 相同，位相也相同
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球面半径的计算
1 9 0 6
发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子
k k 2 2 2 exp j x y exp j s 2 R 2 R
若在球面上观察，则球面上产生总的二次位项因子为
k 2 tan 2 exp j exp j s 2 2 R
1
1
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
分数傅里叶反变换
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
式中 G 称为 g x 的分数傅里叶谱， 称为分数傅里 叶变换的维，是连续变化的实数，其值应满足
其中缩放因子
2 tg d
及
2 sin cos d
10
分数傅里叶变换形式菲涅耳衍射公式的意义
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分数傅里叶变换形式菲涅耳衍射公式说明： 1、由孔径平面到观察平面的菲涅耳衍射可以看成是 维的分数傅里 叶变换与一个二次位相因子的乘积
2、孔径平面到观察平面的光场分布之间满足 维的分数傅里叶变换 关系的条件是两平面的坐标需要用缩放因子 及 进行变换
1 2
j ξ 2 x 2 jξ x G ξ dξ exp 2tgα sinα
1
2 exp j j 2 x2 j x 2 exp 2 sin 2tg sin 1 2 exp j 2 2 j x j x g x dx d 2 exp 2 s in 2 tg sin
F F g xF F g xF g x
F F g xF F g xF g x g x
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分数傅里叶变换的周期性质
1 9 0 6
4.周期性质 分数傅里叶变换关于阶数 有周期性，周期为 ，也就是 说 F g x g x
j 2 x2 jx exp g x dx 2
lim
0
exp x
2
j 2
j 2
g xdx
g x x dx g
lim
其中利用了
函数的一种定义
9
菲涅耳衍射公式的分数傅里叶变换形式
1 9 0 6
尽管上述两个公式有些相象，为把菲涅耳衍射公式改写成分数 傅里叶变换的形式，还需要作一些变量代换。令
ρ r 2 tg (d )r 及 σ s 2 sin cos (d )s
则菲涅耳衍射公式变成
σ σ2 ρ ρ2 ρσ tan 2 U ( ) Cexp j σ exp j U ( )exp j exp j 0 dρ v 2 sin 2tan 2tan tan 2 ρ C exp j σ F U 0 2
F n g x g x
Fn g xF g x
n
于是当 设
及 时的变换都可以化为主值区内的变换。 p
则 阶的分数傅里叶变换还可表示为 F p g,
参数 p 的变化范围是 p
3、不同的维数对应的缩放因子是不同的，或者说，不同的缩放因子完 成的分数傅里叶变换维数不同 4、由 、 及 可以计算出观察平面到孔径平面的距离 d 以及 观察平面的缩放因子 5、在距离 d 确定的观察平面上以缩放因子 变换坐标后得到的菲 涅耳衍射光场分布代表着孔径平面上光场分布的 维的分数傅里 叶变换。
11
二次位相因子的影响
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至于二次位相因子，因为任何光的接收器件都只能检测光 的强度而不能直接检测位相，在观察平面接收到的光强分 布与二次位维的分数傅 里叶变换的模平方
如果要得到孔径平面上光场分布的考虑二次位相因子的准 确的分数傅里叶变换的信息，则可在半径为 R 的球面上 观察，因为发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次 位项因子
2.位移性质
acosα F g x a exp jasin ξ G acos 2
3.可加性性质 F F g x F F g xF g x 即， 阶和 阶变换依此作用的结果相当于 阶的一次 变换,由于在上式中 和 是对称的，所以有可对易的 且
矢量形式比直角坐标形式简洁，因而常用在各种科技论文和杂 志中，式中，矢量 r 表示的是衍射孔径的坐标 x , y ，矢量 s 表示的是距离孔径坐标面为 d 处的观察面坐标 x , y 二维分数傅里叶变换定义的矢量形式应将不参与积分的变量 放到积分号以外，有
exp j s r sr Gs exp j exp j exp j g r dr sin sin tg tg
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分数傅里叶变换的定义
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分数傅里叶正变换
exp j 2 G Fa g x 2 sin
exp j 2 F a g x 2 sin
j x x ξ dξ dx exp sinα
j x 2 x 2 exp 2tgα
g x δx x dx g x F
x x dx 2 πsinα
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透镜置于衍射孔径上的情况
1 9 0 6
这时菲涅耳衍射公式中需要增加一个二次位相因子，变为
exp( jkd ) k 2 2 k 2 k 2 U (s) exp j s U 0 (r) exp j r exp j r exp j s r dr jd 2f d 2d 2d
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菲涅耳衍射公式和分数傅里叶变换的矢量形式
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为用分数傅里叶变换表示菲涅耳衍射，首先将菲涅耳衍射公 式改写为矢量形式
exp( jkd ) 2 k 2 k 2 U (s) exp j s U 0 (r) exp j r exp j s r dr jd d 2d 2d
可以证明
F F g x g x
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分数傅里叶变换“定理”的证明
1 9 0 6
证明方法主要利用 函数性质
F α Fα g x F α G ξ π exp j α 2 2 π sin α
此时坐标变换略有不同
ρ r 2πsincos λd r 及 σ νs 2πtg λd s
并令
同样可以得到准确的分数傅里叶变换
σ2 ρ2 σ ρ ρ σ U ( ) Cexp j U ( ) exp j exp j dρ 0 v sin 2tg 2tg ρ C Fα U 0
12至于二次位相因子因为任何光的接收器件都只能检测光的强度而不能直接检测位相在观察平面接收到的光强分布与二次位相因子无关在观察平面检测的菲涅耳衍射光强分布就是维的分数傅里叶变换的模平方如果要得到孔径平面上光场分布的考虑二次位相因子的准确的分数傅里叶变换的信息则可在半径为的球面上观察因为发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子13发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子若在球面上观察则球面上产生总的二次位项因子为若总的二次位项因子互相抵消即因而可求出球面的半径tanexpexp14类似用透镜实现夫琅和费衍射可以借助透镜实现实现准确的分数傅里叶变换方法很简单只要在观察平面处放置一个焦距为的正透镜在其后的平面上得到的就是准确的分数傅里叶变换因为在透镜前的球面上于透镜后的平面上的光场分布是完全一样的不仅振幅相同位相也相同15这时菲涅耳衍射公式中需要增加一个二次位相因子变为此时坐标变换略有不同cossinsinexptg16分数维傅里叶变换对其维数具有连续性即当维数趋近时分数维傅里叶变换趋近于如果距离趋近于零无论观察球面的半径即透镜的焦距如何选取维数都将趋近于零
菲涅耳衍射和分数傅里叶变换
用分数傅里叶变换表示菲涅尔衍射公式是近代 光学的一个最新发展
1 9 0 6
1
分数傅里叶变换
1 9 0 6
衍射孔径上场分布的夫琅和费衍射与傅里叶变换的密切关系
是否在菲涅耳衍射与傅里叶变换也有某种直接联系？
分数傅里叶变换理论提供了这种可能。 分数傅里叶变换的初步概念是1937年，Condon就提出的， Bargmann在1961年进一步发展了这些概念。Namias在1980年 建立了比较完整的分数傅里叶变换理论 九十年代初分数傅里叶变换被引入到光学之中，陆续提出用 梯度折射率光波导、透镜系统实现分数傅里叶变换及阶数连 续的分数傅里叶变换。光学分数傅里叶变换作为数学和光学 的一个交叉领域，变得十分活跃，包括菲涅耳衍射和分数傅 里叶变换的对应关系的研究
F g x
常规傅里叶变换是分数傅里叶变换的特殊情况。当 和 时它转化为常规傅里叶变换
F g x g x exp( jx) dx
F 2 G
1 2
G exp( jx)d
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分数傅里叶变换“定理”的证明（续）
1 9 0 6
作一定的代数简化后得
j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα
g x
g x δ