高中数学必修四课件2-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示_2-3-3 平面向量的坐标运算课件

2 题型探究
PART TWO
2 题型探究
PART TWO
题型一 平面向量的坐标表示
例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，
→
→
OA＝a，AB＝b.四边形 OABC 为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量B→A的坐标；
解
B→A＝－A→B＝32，－3
2
3 .
(3)求点B的坐标.
解
O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3 .
反思
感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，
也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.
反思
感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，
1.相等向量的坐标相等.( √ ) 2.在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量 A→B＝(x1－x2，y1－y2).( × )
提示 A→B＝(x2－x1，y2－y1).
3.与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1,0)，j＝(0,1).( √ ) 4.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ )
向量数乘
λa＝_(_λx_1_，__λ_y_1)_
实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量A→B＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标 等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1 自主学习
PART ONE
知识点一 平面向量的正交分解
把一个向量分解为 两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.
知识点二 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量 i，j作为基底. 对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得 a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a的坐标，记作a＝(x，y). 2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
也可xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b| ＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b； 解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b； 解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23.
D.(1,2)
12345
2.已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是
√A.－4，12
B.4，－12
C.(－8,1)
D.(8,1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8,1)， ∴12A→B＝－4，12.
12345
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且B→C＝2A→D，则顶点
√A.(－7，－4)
B.(7,4)
C.(－1,4)
D.(1,4)
解析 设 C(x，y)，则A→C＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
即x＝－4，y＝－2， 故 C(－4，－2)，则B→C＝(－7，－4)，
故选A.
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 答案
表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
区
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a
别 意义不同 ＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向. 另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点
反思
感悟 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法 则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行 向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练 2 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C等于
量的坐标运算是解题的关键，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.
3 达标检测
PART THREE
1.已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则12a－32b 等于
√A.(－1,2)
B.(1，－2)
C.(－1，－2)
解析 12a－32b＝12(1,1)－32(1，－1) ＝12－32，12＋32＝(－1,2).
向量坐标运算的应用
典例 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点 P 满足A→P＝A→B＋λA→C，则实
数 λ 的取值范围是
√A.(－∞，－1)
B.－∞，－35
C.－1，－47
D.－1，－35
素养
评析 明确向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向
第二章 §2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
(x，y)或向量(x，y)
联系
当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的 坐标相同
知识点三 平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式
文字语言表述
两个向量和的坐标分别等于这两个向量 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 相应坐标的和
两个向量差的坐标分别等于这两个向量 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 相应坐标的差