分式总复习1ppt课件
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分式-复习课件-(共34张PPT)
x2
1 x2
2
9
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+
x
x
的1x2值. 的1x2 值.
变:已知 x+ 1=3 ,求
x
x2 /x2 的值. x4+x2+1 /x2
1
x2
1 x2
1
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达： a c ac b d bd
27xy2
-2(a-b)2 -8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
m2+4m+4
(3)
m2 - 4
关键找出分母的
2.通分
最简公分母
(1) x 与 y (2)
6a2b
9ab2c
a-1
6
a2+2a+1 与 a2-1
约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
整体代入法化简思想：
【【例例11】】已已知知：：1x
a0 1
an
1
an
(a 0)
(1)(3)3 1 (3)3
1 27
(2)(3a)2 b2 (a2b2 )3 解：原式= 32 a2b2 a6b6
6、用科学记数法表示：
例： 0.00065 6.5104
(1) 0.000030
3.0 105
7、约分
:
例(1)
6x2y 12 xy 2
(2) x 1 2x 1 3x 2 x 1 1 x x 1
复习回顾一:
1.解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
分式 复习课 教学课件(两课时)
4.分式的混合运算的顺序是 先乘方、再乘除、后加减，如有括号，先算括号内。 注意：分式运算的结果要化为最简分式。
小试牛刀：
a b c 2b , , 12a 1、分式 2b 3a 2 4ab 的最简公分母是 1 1 1 1 1 , , 2 , 2 2、分式 , x x 1 x 1 x 1 x 2 x 的最简公分母是 1
一展身手：
1.不改变分式的值，使下列分 式的分子与分母的最高次项的 系数是正数：
x (1) 2 1 x
(2)
y y (3) 2 y y
2
2 x 2 x 3
2.不改变分式的值，把下列各式的分子 与分母中最高次项的系数都化为正整数。
1 1 a 2 (1) 1 a 3
a 0.2a (2) 2 3 a 0.3a
2
3、若将分式 a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值 为（ ） 1 A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 2 C．不变 D．缩小为原来的 1
ab (a 、 b 均为正数）中的字母 ab
4 2 x2 4 1 m 3x 1 , , , (a b), , 4、下列各式中， 3x 2 2 y 3 x2
( A B 1) x (2 A B 5) 0
A B 1 0 2 A B 5 0
A 2 解得： B 1
例６、某工程要求限期完成，甲队独做正好 按期完成，乙队独做则要误期3天，现甲、乙 两队合做2天后，余下的工程由乙队独做，正 好按期完成，问该工程限期多少天？ 例７、正在修建的西塔（西宁～塔尔寺）高速 公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单 独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、 乙两队合作，12天可以完成．若设甲单独完成 这项工程需要x天．则根据题意，可列方程为 _______________-
第三章整理《分式》(复习)ppt课件
顺水速=静水速+水流速 逆水速=静水速-水流速
设是水流速为xkm/ h
则 水 为 20 + x)km/ h 顺 速 (
逆 速 (20 - x)km/ h 水 为
72 48 = 20 + x 20 − x
A．扩大3倍 B．扩大9倍C．扩大4倍D．不变 扩大3 扩大9 扩大4
3、 填空： x ( x − y ) = ( x − 2
y)
x + xy
x+y
例1：化简求值 ：
a−2 a −1 a−4 ( 2 − 2 )÷ a + 2a a + 4a + 4 a + 2 2 其中a满足：a + 2a − 1 = 0
1. 若分式
A、 A、x≠-1 C、x≠2 、
若有意义， 应满足（ 若有意义，则x应满足（ B ） 应满足
B、 ≠-1且 B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2 、 或
x −4 ( x + 1)( x − 2)
若值为0， 应满足（ 若值为 ，则x应满足（ B ） 应满足
A、x=2 、 C、 、
1km
中点 18km }
xkm / h
甲 A
乙 B
甲走了总共20km 甲走了总共
设 乙的速度 xkm / h 则 甲的速度( x + 0.5)km / h
20 18 = x + 0.5 x
1、一项工程，若甲队单独做，恰好在规定的日期 、一项工程，若甲队单独做， 完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成 天完成； 完成，若乙队单独做要超过规定日期 天完成；现 在先由甲、乙合做2天 在先由甲、乙合做 天，剩下的工程再由乙队单独 也刚好在规定日期完成， 做，也刚好在规定日期完成，问规定的日期是多 少天？ 少天？ 1 甲每天的工作量 x 设 天 甲x
分式复习1
其中A叫做分子,B叫做分母.
分式及其相关概念 强化训练：
1.下列各式中，哪些是分式？
m m 1 2 5 a b xy （1） , , x , , , 8 a 3 x6 2 A 5x 2y
2 2
注意:分式
中,分母 B 中一定要有字
5 a 1 （ 2） ， ,a a b
2
母。 温馨提示：
B
分式
A
x 1 无意义的条件
{ B≠0
.
(2)
若分式
3x 6 2x 1 B.
的值为 0，则（） X 1 2 C. X 1 2 D. X 2
c
A. X -2
本章知识网络
分 2、分式的基本性质 式
3、分式的运算 4、分式方程
1、分式概念 ⑴分式有意义的条件 ⑵分式的值的情况讨论
(2)若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2 C、 x
2
B、x =-2 D、x =-1或x =2
2
a b ab A 计算 的结果是（） a b a A. a -b b B. ab b C. a -b a D. ab a
x＋3 2－x 3 10．学完分式运算后，老师出了一道题“化简： ＋ ”． x＋2 x2－4 x＋3x－2 x－2 x2＋x－6－x－2 x2－8 小明的做法是：原式＝ － 2 ＝ ＝ 2 ； 2 2 x －4 x －4 x －4 x －4 小亮的做法是：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4； x＋3 x－2 x＋3 1 x＋3－1 小芳的做法是：原式＝ － ＝ － ＝ ＝1. x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋2 x＋2 其中正确的是( ) A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
15.1分式 教学课件PPT 八年级数学上册 (5)
多项式
（一）问题情景
我们学过的代数式中有单项式、多项式 整式，请你判定下列说法是否正确
（1）12x是单项式，也是整式
（）
（2）2和0都是单项式，也都是整式 （ ）
（3）2x-1是多项式，也是整式 （ ）
（4） 3x y是多项式，也是整式 （ ）
2
（5） 3 是单项式，也是整式 （ ）
y
（6） 3 是多项式，也是整式 （ ）
解：∵X2-1≠0
.
X2 ≠1
X ≠±1
∴当 X ≠±1时，此分式有意义
(4)当x 、 y满足关系 时，分式 X+y
解：∵X-y≠0
X-y
.
X ≠y
有意义
∴当 X ≠y时，此分式有意义
练习
• 课本128页1-3题
X为何值时，下列各式有意义（求X当取值范围）
1、 x 1
解：∵X-1≥0 X≥1
∴当 X ≥ 1时，
2.当
Hale Waihona Puke A B=0时分子和分母应满足什么条件？
当A=0且 B≠0时，分式 B A的值为零.
x2 4 例1. 已知分式 x 2,
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1)当分母等于零时,分式无意义.
即 x+2=0
∴ x = -2
∴当x = -2时分式
x2 4 x2
x 有1 意义
X为何值时，下列各式有意义（求X当取值范围）
3、
4 x 1
解： ∵
X+1≥0 X+1≠0
X+1≥0 x ≥-1
X+1≠0 x ≠-1
解得：x ＞-1
（一）问题情景
我们学过的代数式中有单项式、多项式 整式，请你判定下列说法是否正确
（1）12x是单项式，也是整式
（）
（2）2和0都是单项式，也都是整式 （ ）
（3）2x-1是多项式，也是整式 （ ）
（4） 3x y是多项式，也是整式 （ ）
2
（5） 3 是单项式，也是整式 （ ）
y
（6） 3 是多项式，也是整式 （ ）
解：∵X2-1≠0
.
X2 ≠1
X ≠±1
∴当 X ≠±1时，此分式有意义
(4)当x 、 y满足关系 时，分式 X+y
解：∵X-y≠0
X-y
.
X ≠y
有意义
∴当 X ≠y时，此分式有意义
练习
• 课本128页1-3题
X为何值时，下列各式有意义（求X当取值范围）
1、 x 1
解：∵X-1≥0 X≥1
∴当 X ≥ 1时，
2.当
Hale Waihona Puke A B=0时分子和分母应满足什么条件？
当A=0且 B≠0时，分式 B A的值为零.
x2 4 例1. 已知分式 x 2,
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1)当分母等于零时,分式无意义.
即 x+2=0
∴ x = -2
∴当x = -2时分式
x2 4 x2
x 有1 意义
X为何值时，下列各式有意义（求X当取值范围）
3、
4 x 1
解： ∵
X+1≥0 X+1≠0
X+1≥0 x ≥-1
X+1≠0 x ≠-1
解得：x ＞-1
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
解分式方程一定要 验根 。
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
《分式方程复习》课件
详细描述
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
分式复习
【特别提示】 (1)在分式运算中，有整式时，可将整式看 作是分母为1 的分式，然后依照法则进行运算；(2)如果分 子、分母是多项式，那么先将其因式分解，再进行运算．
ห้องสมุดไป่ตู้
考点2 分式的化简及求值 （6年考查3次）
3．分式化简求值的一般步骤 (1)有括号的先计算括号里的． (2)有乘方，将乘方转化到分子、分母上． (3)除法变乘法，再分别对每个乘式中的分子、分母约分． (4)加减运算：分母通分、分子合并同类项． (5)代入数值，求代数式的值．
x( x 1) x ( x 1)( x 1) x 1
1 1 2 1 当x＝－ 时，原式＝ 1 . 2 1 3 2
考查
分式的化简(求值)
2a b b a 2b 2．[2012陕西，17]化简： ( ) . a b a b ab
(2a b)(a b) b(a b) a b 解：原式＝ (a b)(a b) a 2b
3 2 ( ) 3 2 9 当a＝－ 时，原式＝ . 3 10 2 1 2
考点1 分式的相关概念及性质 （6年内未考查）
1．分式满足的条件(两个条件缺一不可) A (1)A÷B可以表示成①________ 的形式(A、B表示两个整 B 式)． (2)B中含有字母． 【特别提示】 (1)分式与整式的区别：分母中是否含有 字母；(2)判断分式是否有意义的条件：当分母B≠0时 A A ，分式 有意义；当分母B＝0时，分式 没有意义； B B (3)分式值为零的条件是分子A＝0，且分母B≠0.
4．分式符号变化法则：
A A A A . B B B B
考点2 分式的化简及求值 （6年考查3次）
1．分式的运算法则
《分式》PPT教学课件(第1课时)
a b2 a b2
1
b a4 a b4 a b2 .
注意 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来 判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母 是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
三 分式的求值
分式的求值 对一些较复杂的分式求值，应先约分化简，再代入具体数据 求值.常用方法有整体代入法，倒数法，换元法和配方法等.
课堂小结
❖分式的概念 ①分子分母都是整式； ②分母中必含有字母. ❖分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义. ❖当分子为零且分母不为零时，分式值为零. ❖分式的基本性质
课后作业
见《学练优》本课时练习
第十二章 分式和分式方程
分式
第2课时
学习目标
1.理解约分和最简分式的意义.（难点） 2.根据定义找出分式中分子与分母的公因式，并会约分. 3.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值.(重点）
1
;
2
a b
b a
2 4
;
3
x2
y 8x 8
.
解析： 最简分式： x2 y2 ; x2 2x 1 .
y2 2x2 8x 8
不是最简分式：
m2 2m 1 m2
1
;
a b
b a
2 4
.
m2 2m 1 m 12 m 1;
1 m2
m 1m 1 m 1
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
第16章分式期末综合复习课件
设
1.已知 x
2
=
y 3
=k
=
Z
x+y-z
x+y+z
4
,试求
的值.
则x=2k,y=3k,z=4k
2.已知 1 1 x+ y 2x-3xy+2y
=
=1/9
的值.
5
,求
-x+2xy-y
=-7/3
3.已知 x + （
2
1 2
=3 ） , 求 x
2
x2
+
1
x2
的值.
1 x 2 29 x
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x 2+
二、应用题复习
(3)甲工程队用3个月时间完成了一项工程,乙工程队完成这项工程 所用时间比甲工程队提前了半个月。由此可知乙工程队的工作效率 是____________； 1÷2.5=2/5 工作效率=工作量÷工作时间
( x 3)( x 2) ( x 4)( x 2)
x2 x 6 2 x 2x 8
注意：
乘法和除法运算时，结果要化为 最简分式 。
分式的加减
{
同分母相加
B C BC A A A
B C BD CA BD AC A D AD AD AD
分式。
2.通分: 把分母不相同的几个分式化成分母相同
关键是找最简公分母:各分 母所有因式的最高次幂的积
1.约分
(1)
-6x2y 27xy2 m2+4m+4 m2 - 4
(2)
-2(a-b)2 -8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
1.已知 x
2
=
y 3
=k
=
Z
x+y-z
x+y+z
4
,试求
的值.
则x=2k,y=3k,z=4k
2.已知 1 1 x+ y 2x-3xy+2y
=
=1/9
的值.
5
,求
-x+2xy-y
=-7/3
3.已知 x + （
2
1 2
=3 ） , 求 x
2
x2
+
1
x2
的值.
1 x 2 29 x
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x 2+
二、应用题复习
(3)甲工程队用3个月时间完成了一项工程,乙工程队完成这项工程 所用时间比甲工程队提前了半个月。由此可知乙工程队的工作效率 是____________； 1÷2.5=2/5 工作效率=工作量÷工作时间
( x 3)( x 2) ( x 4)( x 2)
x2 x 6 2 x 2x 8
注意：
乘法和除法运算时，结果要化为 最简分式 。
分式的加减
{
同分母相加
B C BC A A A
B C BD CA BD AC A D AD AD AD
分式。
2.通分: 把分母不相同的几个分式化成分母相同
关键是找最简公分母:各分 母所有因式的最高次幂的积
1.约分
(1)
-6x2y 27xy2 m2+4m+4 m2 - 4
(2)
-2(a-b)2 -8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
八年级数学下册第八章分式复习课件(PPT)
2
2 2m 2 x a1 b 2 a 2 m x 1 ab 4. 化简： （2） 2 5.计算：（1） x 1 m b 4 2am 2b 2 x a 1
．
a ( a b)
2(a b) 2 m a (m 2)( m 2)
1 例1. 在函数 y 中，自变量x的取值范围是（A） x2 A． x 2 B． x 2 C． x≤2 D． ≥—2 x
列分式方程解应用题
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；
3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程；
5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
6、写出答案。
常见题型及相等关系
1、行程问题 ：
基本量之间的关系：
路程=速度 X 速度，即s=vt
解：设规定日期为x天，根据题意得
4 x 1 x x6
解得 x=12, 经检验，x=12是原方程的解。 答：规定日期是12天。
小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；
3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程；
5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
想一想
x y 探究：⑴当x、y满足什么条件时，分式 的值为0. x 1
解：x y 0且x 1 0 所以x y且x 1, y 1
分式方程
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程.
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
3.
4.
x 2 (2) 1 x 1 3x 3
2 2m 2 x a1 b 2 a 2 m x 1 ab 4. 化简： （2） 2 5.计算：（1） x 1 m b 4 2am 2b 2 x a 1
．
a ( a b)
2(a b) 2 m a (m 2)( m 2)
1 例1. 在函数 y 中，自变量x的取值范围是（A） x2 A． x 2 B． x 2 C． x≤2 D． ≥—2 x
列分式方程解应用题
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；
3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程；
5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
6、写出答案。
常见题型及相等关系
1、行程问题 ：
基本量之间的关系：
路程=速度 X 速度，即s=vt
解：设规定日期为x天，根据题意得
4 x 1 x x6
解得 x=12, 经检验，x=12是原方程的解。 答：规定日期是12天。
小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；
3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程；
5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
想一想
x y 探究：⑴当x、y满足什么条件时，分式 的值为0. x 1
解：x y 0且x 1 0 所以x y且x 1, y 1
分式方程
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程.
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
3.
4.
x 2 (2) 1 x 1 3x 3
分式的复习课件
特点
方程中可能包含有多个分 式，未知数的个数多于一 个，形式较为复杂。
示例
$frac{x}{2} + frac{y}{3} = frac{5}{2}$
分式方程的解法
方法一：去分母法 方法三：分子有理化法
方法二：换元法 方法四：通分法
04
CATALOGUE
分式在实际生活中的应用
物理中的应用
量度单位换算
工程学中的应用
在工程学中，分式用于表示各种物 理量之间的关系，例如机械传动中 的力和扭矩的关系等。
05
CATALOGUE
分式的易错点与难点解析
易错点解析
分母为零
分母不能为零，否则分式无意义 。学生在计算过程中常常忽略这
一点，导致答案错误。
混淆分式与整式
分式和整式的概念容易混淆，学 生在解题时常常将分式误认为是
分式的性质
总结词
分式具有一些基本的性质，这些性质是理解分式运算和化简 的基础。
详细描述
分式的性质包括分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一 个非零整式，分式的值不变；分式的加减法则是通过通分后 ，再进行加减运算；分式的乘法则是直接将分子相乘，分母 相乘；分式的除法则是转化为乘法运算。
分式的约分与通分
分式的加减法
总结词：掌握分式加减法的基本规则和 技巧
$frac{a}{b} - frac{c}{d} = frac{adbc}{bd}$
$frac{a}{b} + frac{c}{b} = frac{a+c}{b}$
详细描述：分式的加减法需要统一分母 ，然后对分子进行加减运算。如果分母 相同，则直接对分子进行加减运算。
感谢观看
frac{ad+bc-ef}{bd}$
新湘教版八年级数学上第1章分式小结与复习ppt公开课优质教学课件
能多铺设20米，且甲工程
队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相 同．问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？
解：设乙工程队每天能铺设x米；
则甲工程队每天能铺设（x+20）米， 依题意，得 350 250 ， 解得x=50，
x 20 x
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
分
式
分式的运算及化简求值
分式方程的定义 分 式
分式方程
分式方程的解法 及增根求值问题 步 骤
分式方程 的 应 用 类 型
一审二设三列四 解五检六写，尤 其不要忘了验根
行程问题、工程问 题、销售问题等
课后作业
见本章小结与复习
2 2 2
解： 由
x 2 ，得 x 2 y ， y 3 3
把x2y 3
x2 y 2 xy y 2 2 2 2 x 2 xy y 2 x 2 xy ( x y )( x y ) 2 x( x y ) 2 ( x y) y( x y) 2x . 4 y y
分式值为 0 的条件:
f=0且 g ≠0
3.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分 式相等.
f f f ·h 即对于分式 ，有 g g ·h g
( h 0 ).
分式的符号法则:
f f f f f , . g g g g g
二、分式的运算 1.分式的乘除法法则 分式的乘法
1 1 2 2 又因为 x 4 ( x 2 ) 2 x x 1 2 [( x ) 2]2 2 x (25 2) 2 2 527.
考点三 分式方程的解法
例3 解下列分式方程：
队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相 同．问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？
解：设乙工程队每天能铺设x米；
则甲工程队每天能铺设（x+20）米， 依题意，得 350 250 ， 解得x=50，
x 20 x
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
分
式
分式的运算及化简求值
分式方程的定义 分 式
分式方程
分式方程的解法 及增根求值问题 步 骤
分式方程 的 应 用 类 型
一审二设三列四 解五检六写，尤 其不要忘了验根
行程问题、工程问 题、销售问题等
课后作业
见本章小结与复习
2 2 2
解： 由
x 2 ，得 x 2 y ， y 3 3
把x2y 3
x2 y 2 xy y 2 2 2 2 x 2 xy y 2 x 2 xy ( x y )( x y ) 2 x( x y ) 2 ( x y) y( x y) 2x . 4 y y
分式值为 0 的条件:
f=0且 g ≠0
3.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分 式相等.
f f f ·h 即对于分式 ，有 g g ·h g
( h 0 ).
分式的符号法则:
f f f f f , . g g g g g
二、分式的运算 1.分式的乘除法法则 分式的乘法
1 1 2 2 又因为 x 4 ( x 2 ) 2 x x 1 2 [( x ) 2]2 2 x (25 2) 2 2 527.
考点三 分式方程的解法
例3 解下列分式方程：
第二章分式复习 课件1(湘教版八年级下)
2 2
(
)
,
乘法分配律 可简化运算
x 1 2x 解： 原式 ( 2 ) ( x 2 1) x 1 x 1 x 1 2x ( x 1)(x 1) 2 ( x 2 1) x 1 x 1 ( x 1) 2 2 x x2 1
要使原式有意义 ， 只需( x 1) 0, ( x 1) 0;
设作程 工量问 作 题 总工基 量作本 为效公 单率式 位 ： 一工 。作 时 间 = ×
2 26。（本小题5分）已知 是一元二次方程 的实数根，求代数式 x 3 ( x 2
x
x 3x 1 0
5 ) x2
的值。
3x 2 6 x
解：
x 2 3 x 1 0, x 2 3 x 1, x ( x 3) 1 ;
解： 设四季豆原来每斤 x元， 则现在每斤2 x元。 依题意可得： 60 60 50 x 2x
解之得： x 0.6
解应用题的步 骤：一审二设 三列四解五答
检验： 当x 0.6时， 原方程分母都不等于 0， 故，x 0.6是原方程的一个根 。
答： 原来四季豆每斤 0.6元。
25。（本小题5分）有一项工程，如果甲队单独做，正好在 规定日期完工；如果乙队单独做，则比规定日期要多3天才 能完成，现在甲、乙两队合做2天后，再由乙队单独做，正 好在规定日期完工，问规定日期是多少天？ 常工工
分式B检测试卷讲评 （二）解答题部分
21。计算：（每小题4分） 2 2 4 x 4 xy y （1） (4 x 2 y 2 ); 2x y
（2） x 2 x 2 ;
x2
x2
( 2 x) 2 2 ( 2 x) y y 2 1 解： 原式 2 2 2x y ( 2 x) y (2 x y ) 2 1 2 x y (2 x y)(2 x y)
(
)
,
乘法分配律 可简化运算
x 1 2x 解： 原式 ( 2 ) ( x 2 1) x 1 x 1 x 1 2x ( x 1)(x 1) 2 ( x 2 1) x 1 x 1 ( x 1) 2 2 x x2 1
要使原式有意义 ， 只需( x 1) 0, ( x 1) 0;
设作程 工量问 作 题 总工基 量作本 为效公 单率式 位 ： 一工 。作 时 间 = ×
2 26。（本小题5分）已知 是一元二次方程 的实数根，求代数式 x 3 ( x 2
x
x 3x 1 0
5 ) x2
的值。
3x 2 6 x
解：
x 2 3 x 1 0, x 2 3 x 1, x ( x 3) 1 ;
解： 设四季豆原来每斤 x元， 则现在每斤2 x元。 依题意可得： 60 60 50 x 2x
解之得： x 0.6
解应用题的步 骤：一审二设 三列四解五答
检验： 当x 0.6时， 原方程分母都不等于 0， 故，x 0.6是原方程的一个根 。
答： 原来四季豆每斤 0.6元。
25。（本小题5分）有一项工程，如果甲队单独做，正好在 规定日期完工；如果乙队单独做，则比规定日期要多3天才 能完成，现在甲、乙两队合做2天后，再由乙队单独做，正 好在规定日期完工，问规定日期是多少天？ 常工工
分式B检测试卷讲评 （二）解答题部分
21。计算：（每小题4分） 2 2 4 x 4 xy y （1） (4 x 2 y 2 ); 2x y
（2） x 2 x 2 ;
x2
x2
( 2 x) 2 2 ( 2 x) y y 2 1 解： 原式 2 2 2x y ( 2 x) y (2 x y ) 2 1 2 x y (2 x y)(2 x y)
分式总复习上课课件
(2) (4)
x2 1 x2 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) 2 x 1 2 x 1 x 2x 1 x 1 ( x 1)
分式的乘除法其实 就是约分的过程
你能完成下列计算吗？
0
1 1 （） 1 3.14 3 ( ) 2
有意义， 则B≠0
A 分式 B
x 1
A 0 B 0
1 变式3：分式 x 1 的值可以为0吗？
不
行
1 变式1：当 _____ x 1 时, x - 1 的值为正数.
1 正 正”或“负”)数. 变式2：分式 x 1 值为___(“
x2 x2 变式3：若 2 值为负数，则 x满足________ x 1 1 变式4：若 x为整数，且 x - 1为整数，求 x 的值.
2a (a 2) a2 (a 2)(a 2) (a 2)(a 2)
答案必须是最简分 式
1 a2
学过分式运算后，老师出了一道题“化简 小明的做法是：
x3 2 x 2 x2 x 4
”
小亮的做法是：
小芳的做法是：
x3 2 x 2 x2 x 4 ( x 3)( x 2) x 2 2 2 x 4 x 4 x2 x 6 x 2 x2 4 x2 8 2 x 4
中
考
链
接
x 2 1 x是不等式组 1 4 若 ，则原式的值又是多少？ 其中 的整数解，求式子的值 原式的值能否等于 . 在x 0 ， ，2 三个数中选一个合适的 ,代入求值 . . 再选取一个你喜欢的数 , 代入求值 . 1？说明理由 2( x 1) 4
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y
x xy y
(3) x 2
y 3
z ,求 4
xy x2
yz y2
zx 的 值 ； z2
(4)2 x
3 y,求
xy x2 y2
y2 的 值 x2 y2
• 9:甲,乙两位采购员同去一家饲料公司采购 两次饲料,两次饲料的价格有变化,两位采购 员的购货方式也不同,其中甲每次购买1000 千克,乙每次购买800元而不管购买多少饲料, 设两次购买的饲料的单价分别为m元/千克 和n元/千克(m,n为正数且不相等)那么甲,乙 购买的平均单价谁更低?
即.b c b c; aa a
②异分母分式加减法的法则:先通分,把异分母分式化为 同分母分式.
即 .b d bc ad bc ad. a c ac ac ac
(5)分式运算的原则: ①凡遇到分子或分母是多项式,先分解因式,再约分或通分; ②结果化成最简分式.
计算： 1
1
－
a 1 a1
计算 ：X 2 -4X+4
课时训练 1.计算
12
x
xy yx
2yx 2y 2x
y2 y2
x2 x2
3x x
x2
3( x
4
4
)· x
x2
16
2.化简：( x x2
x )· 4x 的结果是： x2 2x
1 x 2。
3.化简： ( 2x
x )·x2 9
x3 x3 x
解 ： 原 式 ＝ 2x2 6x x2 3x x2 9 (x 3)(x 3) x
10 :已 知 1 1 1 ， 求 b a 的 值 。 a b ab a b
11:已 知 1 1 1 0 abc
求证：a2 b2 c2 (a b c)2
12 :已 知 a2
4a 1
0且
a4 3a3
ma2 ma2
1 3a
5
求 m的 值 。
(1 a)(1 a) 1 a2 1 a4
= 2(1
a2) 1
2(1 a4
a2)
4 1 a4
=
1
4 a4
4 1 a4
=8 1 a8
方法小结：
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件：
①分子的值为零； ②分母的值不为零.
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要 掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本 性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧， 尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心 谨慎！
y
简分式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
(B)
5. 将分式 x 2 y 中的x和y都扩大10倍，那么分式的
x
( D)
A.扩大10倍
B.缩小10倍
C.扩大2倍
D.不变
x5
6.当式子
x2
4x
的值为零时，x的值是( B )
5
A.5 C.-1或5
B.-5 D.-5或5
a2
a 1
a4
( a 2 2a - a2 4a 4 ) ÷ a 2
X-2
5x x2 + x3
➢ 题组训练(中考题选练)
3
1. 当x ≠1 时，分式 1 x 有意义。
a
b
2. 计算：a b a b = 1 .
3.计算：x2 4x 4 x2
5x x2 6 x 3= x 3
.
x
4.在分式① x
y y
3x2y ,② 2 x
,③4
5
xy 5 xy
,④
3x 3
x y 中 ，最
a 1
a1 a1
a 1
2a2 2a (a2 1) (a2 1)
a 1
2a(a 1)
a 1
2a (a 1) (a 1)
2a
a的取值保
证分式有意
a 义1
2a
5、 求 值
(1) m 3 (2) 1
x
mn 2m 2n
mn2 ,其 中 m
5, n
7； 2
1 3,求 5x xy 5 y 的 值 ；
思考：当a为何值时， a 2 的值： a3
(1)为正； (2)为零.
1
1.在代数式
, 3x
m , 3x, 2 2y
1(ab), 3
2,
x24 x2
中，分式共有___3__个。
2.当x=-3 时，则分式 8 __2______
1 x
3.当 x≠3_且___x__≠__-_3 时，则分式 1 有意义
x2 9x x 9 x
4.当1＜x＜3时，化简 |x 3| |x 1| | x| 得 ( D ) x3 1x x
A.1 B.-1 C.3
D.-3
请将下面的代数式尽可能化简,再选择一个你
喜欢的数代入求值 2a(a1)a2 1
a1
2a(a 1) (a 1)(a 1) a2 1
解 :原式=
(a 1)(a 1) 解 : 原式 2a (a 1)
2a 3 b 2
2ab 3
分式的运算
1.分式的乘除法法则: (1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分
子,把分母相乘的积作为积的分母;
(2)两个分式相除,把除式的分子分母颠倒位置后, 再与被除式相乘.
(3) 分式乘方: 把分子分母各自乘方.
分式的运算
(4)分式加减法法则
①同分母分式加减法的法则:分母不变,分子相加减.
a (a
1 2)
2］×
a a
2 4
(a2 4)
= a(a
(a2 2)2
a)× a
a
2 4
=a
a(a
4 ×a
2)2 a
2 4
=1
a(a 2)
1
= a2 2a
又∵a2+2a-1=0，∴a2+2a=1, ∴原式=1
1
【例5】 化简：
1a
1
+
1a
+
1
2 a2
+
1
4 a4
解：原式= (1 a) (1 a) 2 4
分式总复习1ppt课件
2011年中考分式及其运算考试目标 (1)了解分式的概念; (2)会利用分式的基本性质进行约分和通分; (3)会进行简单的分式加,减,乘,除运算
分式的概念
1.如果整式A除以整式B,可以表示成 A 的形式.且除式B中
B
含有字母,那么称式子 A 为分式(fraction).
B
其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
②分子分母中相同因式的最低次幂.
(2)最简公分母的构成: ①各分母系数的最小公倍数；
②各分母中所有不同因式的最高次幂.把分式 3xy 中的x，y扩来自两倍，那么x+y
分式的值扩大还是缩小了。
不改变分式的值，使下列各式分子与分 母中各项的系数化为整数：
1 x 0.4 y 1 2 0.2 x 0.3 y
x2 4
x2 9
4.若分式
的值为零，则应满足的条件是__X_=_2_
x 2
分式的基本性质
1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以) 同一个不等于零的整式,分式的值不变,用式子表示是：
A AM 或A B BM B
2.约分与通分
AM B M (其中M是不等于零的整式)
(1)最大公因式的构成: ①分子分母系数的最大公约数；
a2
=［
a a
2 2
a2
4a a
4
3］÷( 4 a a
)
(a 2)2 a
3］ 4 a a
=( a 2 = (a
4 3a )
a 4)(a 1)
a
a (a 4)
a 4a
= (a 1) = a1
【例4】 化简求值：
(
a
a
2
2 2a
a1 a2 4a
4)
÷
a a
4 ，其中a满足：a2+2a-1=0.
2
a2
解：原式=［a ( a 2 )
2.整式和分式统称有理式.
①整式和分式的区别在于：除式B中是否含有字母.
②分式的隐含条件是：分式的分母不等于0.
③分式的值为0的条件是：分子为0且分母不等于0. ④分式无意义的条件是：分母等于0.
➢ 典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 a2 3a 4 2a 3
(1)值为零； (2)分式有意义?
其中a满足：a2+2a-1=0. 先化简，再求值
【例3】 计算：(1) a 2
4
；
a2
(2)［(1 4 )( a
a2
4
4 a
)-3］÷(
4 a
1 ).
解：(1)原式= = =
a2 1
a2 4 a2
a2 8 a2
4 a2
4 a2
(2)［( 1 4 )( a
a2
4
4 ) -3］÷( 4
a
a
1 ).
解: 原式=［a 2 4