2021届陕西省西安中学高考文科数学试卷附答案解析

2021年陕西省西安中学高考数学八模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）
A．B．2C．5D．50
2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，则M∪N＝（）
A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．定义：若复数z与z′满足zz′＝1，则称复数z与z′互为倒数．已知复数z＝i，则复数z的倒数z′＝（）
A．i B．C．D．
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克•艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）
A．B．C．D．
5．将函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x）＝的图象，则函数f（x）在的值域为（）
A．B．C．D．[﹣1，1]
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
7．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．
C．D．
8．图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，
且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（）
A．30B．42C．48D．54
9．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
10．设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）
A．[0，10]B．[1，10]C．[1，17]D．[0，17]
11．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E
的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P．若T恰好为线段PF2的中点，则E 的离心率为（）
A．B．C．2D．
12．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）
二、单空题
13．函数y＝f（x）的反函数为y＝log2x，则f（﹣1）＝．
14．已知tan（α+β）＝3，tan（α+）＝2，那么tanβ＝．
15．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为；该圆锥的体积为．
16．对于函数f（x）＝e x（e是自然对数的底数），a，b∈R，有同学经过一些思考后提出如下命题：
①f（a）•f（b）＝f（a+b）；
②af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）；
③；
④．
则上述命题中，正确的有．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．
（1）求m，n的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）
2×2列联表
男女合计
消费金额≥300
消费金额＜300
合计
临界值表：
P（K2≥k0）0.0500.0100.001
k0 3.841 6.63510.828
，其中n＝a+b+c+d
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为△EAB的重心，求直线l的方程．
20．如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC∥B1C1，BC＝2B1C1，A1C＝AC1．
（1）求证：A1B1∥平面ABC；
（2）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积V．
21．已知函数，g（x）是f（x）的导函数．（1）若g（x）在（0，+∞）上单调递增，求m的取值范围；
（2）设F（x）＝g（x）﹣f（x），证明：当时，F（x）有且仅有两个零点．22．如图是美丽的三叶草图案，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，它由弧，弧，弧组成．已知它们分别是方程为，，ρ＝﹣4sinθ的圆上的一部分．
（1）分别写出点H，M，N的极坐标；
（2）设点P是由点H，M，N所确定的圆C上的动点，直线，求点P到L的距离的最大值．
23．已知函数的最大值为4（其中m＞0）．
（1）求m的值；
（2）若a2+b2+c2＝m，求的最小值．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）
A．B．2C．5D．50
解：∵＝（2，3），＝（3，2），
∴＝（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1），
∴||＝．
故选：A．
2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，则M∪N＝（）
A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴M∪N＝{x|﹣4＜x＜3}，
故选：A．
3．定义：若复数z与z′满足zz′＝1，则称复数z与z′互为倒数．已知复数z＝i，则复数z的倒数z′＝（）
A．i B．C．D．
解：由题设可得：z′＝＝＝＝﹣i，
故选：A．
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克•艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）
A．B．C．D．
解：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，
其中有3个面涂色的小正方体共有8个，
只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，
所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为．
故选：C．
5．将函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x）＝的图象，则函数f（x）在的值域为（）
A．B．C．D．[﹣1，1]
解：将函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝cos（2x﹣+φ）＝的图象，
∴﹣+φ＝，∴φ＝，f（x）＝cos（2x+）．
当x∈，2x+∈（，），故f（x）∈[﹣1，），
故选：C．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC＝AB，E为BC中点，
EA＝2，EC＝EB＝1，OA＝1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC＝，OE＝
∴S△ABC＝2×2＝2，S△OAC＝S△OAB＝×1＝．
S△BCO＝2×＝．
故该三棱锥的表面积是2，
故选：C．
7．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
解：由函数y＝，y＝log a（x+），
当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，
函数y＝log a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；
当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，
函数y＝log a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；
∴满足要求的图象为：D
故选：D．
8．图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，
且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（）
A．30B．42C．48D．54
解：设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1，a2，a3，a4成等差数列，
由题意得6（a1+a2+a3+a4）＝156，即a1+a2+a3+a4＝26，
所以2a1+3d＝13，
因为阴影部分的面积S＝6×＝，
所以＝11，
联立得或（不合题意舍），
故a4＝a1+3d＝8，
所以最外层六边形的周长为48．
故选：C．
9．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
解：设这组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为10，方差为2，
所以x1+x2+…+x n＝10n，++…+＝2n，
添上数据10后，这组数据的平均数为×（x1+x2+…+x n+10）＝×（10n+10）＝10，
方差为[++…++（10﹣10）2]＝2•＜2．所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2．
故选：B．
10．设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）
A．[0，10]B．[1，10]C．[1，17]D．[0，17]
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，﹣1），
（x+1）2+y2的几何意义为可行域内动点与定点P（﹣1，0）距离的平方，
由图可知，可行域内动点与定点P（﹣1，0）距离的最小值且为1，
最大值为|PA|＝，
∴（x+1）2+y2的取值范围是[1，17]．
故选：C．
11．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E
的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P．若T恰好为线段PF2的中点，则E 的离心率为（）
A．B．C．2D．
解：设F2（c，0），E的一条渐近线的方程为y＝x，①
过F2与E的一条渐近线垂直的直线PF2的方程为y＝﹣（x﹣c），②
联立①②可得垂足T（，），
由T恰好为线段PF2的中点，可得P（﹣c，），
将P的坐标代入双曲线的方程可得，（）2﹣＝1，
由e＝，可得（﹣e）2﹣＝1，
解得e＝，
故选：D．
12．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t
的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），
则＝6x2﹣3，
化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，
令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，
则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，
则x＝0，x＝1．
g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，
则（t+3）（t+1）＜0，
解得，﹣3＜t＜﹣1．
故选：B．
二、单空题
13．函数y＝f（x）的反函数为y＝log2x，则f（﹣1）＝．
解：由题意，令log2x＝﹣1，
∴x＝，
∴f（﹣1）＝．
故答案为：．
14．已知tan（α+β）＝3，tan（α+）＝2，那么tanβ＝．解：∵tan（α+）＝2，
∴＝2，
解得tanα＝；
又tan（α+β）＝3，tan（α+）＝2，
∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝＝＝．
故答案为：．
15．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为2；该
圆锥的体积为．
解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由πl＝2πr，解得l＝2r，
又S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝1；
所以圆锥的母线长为l＝2r＝2，
圆锥的高为h＝＝＝，
所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝π．
故答案为：2，．
16．对于函数f（x）＝e x（e是自然对数的底数），a，b∈R，有同学经过一些思考后提出如下命题：
①f（a）•f（b）＝f（a+b）；
②af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）；
③；
④．
则上述命题中，正确的有①②④．
解：对于①，f（a）•f（b）＝e a•e b＝e a+b＝f（a+b），故①正确；
对于②，af（a）+bf（b）﹣af（b）﹣bf（a）＝a•e a+b•e b﹣a•e b﹣b•e a＝（a﹣b）（e a﹣
e b）≥af（b）+bf（a）；
设a≥b，则（a﹣b）（e a﹣e b）≥0，故af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）成立，当a＜b时，（a﹣b）（e a﹣e b）≥0，故af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）成立，故②正确；
对于③，不妨设：，则，
令g′（a）＝0，解得，
因此g（a）在（﹣上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增，故
＝，故③错误；
对于④，由于，而
，故④正确．故答案为：①②④．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．
（1）求m，n的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）
2×2列联表
男女合计
消费金额≥300
消费金额＜300
合计
临界值表：
P（K2≥k0）0.0500.0100.001
k0 3.841 6.63510.828
，其中n＝a+b+c+d
解：（1）由频率分布直方图可知，m+n＝0.01﹣0.0015×2﹣0.001＝0.006，
由中间三组的人数成等差数列可知m+0.0015＝2n，
可解得m＝0.0035，n＝0.0025．
（2）周平均消费不低于300元的频率为（0.0035+0.0015+0.001）×100＝0.6，
因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为100×0.6＝60人．
所以2×2列联表为
男性女性总计消费金额≥300204060
消费金额＜300251540总计4555100 K2＝≈8.249＞6.635
所以有99%的把握认为消费金额与性别有关．
（3）调查对象的周平均消费为0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550＝330，
由题意330＝﹣5×38+b，∴b＝520，y＝﹣5×25+520＝395．
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：．
解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．∴2b2＝2bc cos A•（1﹣tan A）．∴b＝c（cos A ﹣sin A），
由正弦定理可得：sin B＝sin C（cos A﹣sin A），∴sin（A+C）＝sin C cos A﹣sin C sin A，∴sin A cos C＝﹣sin C sin A≠0，∴tan C＝﹣1，解得C＝．
（2）选择条件②，cos B＝，∴sin B＝．
∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝，由正弦定理可得：a＝＝2．在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B，
解得AD＝．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为△EAB的重心，求直线l的方程．
解：（1）依据题意得，解得a＝，b＝2，c＝，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）延长EF交直线l于点D，
因为点F为△EAB的重心，
所以点D为线段AB的中点，
由点E（0，﹣2），F（，0），得D（，1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
由，
得•（x1﹣x2）+•（y1﹣y2）＝0，
所以+＝0，
所以k AB＝＝﹣，
所以直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣），
即x+y﹣4＝0．
20．如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC∥B1C1，BC＝2B1C1，A1C＝AC1．
（1）求证：A1B1∥平面ABC；
（2）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积V．
【解答】（1）证明：∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC∥A1C1．
又∵AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1∥平面ABC．
同理得，B1C1∥平面ABC．
∵A1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，且A1C1∩B1C1＝C1，
∴平面ABC∥平面A1B1C1．
又∵A1B1⊂平面A1B1C1，
∴A1B1∥平面ABC．
（2）解：∵AC∥A1C1，B1C1∥BC，∴∠A1C1B1＝∠ACB＝60°．
∵A1C1＝AC＝2，2B1C1＝BC＝2，
∴＝×＝．
在菱形A1ACC1中，∵A1C＝AC1，
∴∠ACC1＝60°，＝＝．
∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，
∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC．
由（1）知，平面ABC∥平面A1B1C1，
∴点B到平面A1B1C1的距离为．
又∵点B到平面A1ACC1的距离为，连接BC1，
则．
21．已知函数，g（x）是f（x）的导函数．（1）若g（x）在（0，+∞）上单调递增，求m的取值范围；
（2）设F（x）＝g（x）﹣f（x），证明：当时，F（x）有且仅有两个零点．【解答】（1）解：因为，x＞0，
所以g（x）＝f′（x）＝e x﹣x﹣（m+1）﹣，
因为g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g′（x）＝e x﹣1+＝≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≥x2﹣x2e x，
令h（x）＝x2﹣x2e x，则h′（x）＝2x﹣2xe x﹣x2e x＝2x（1﹣e x）﹣x2e x，
因为x＞0，所以e x＞1，所以1﹣e x＜0，所以2x（1﹣e x）﹣x2e x＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，
说h（x）＜h（0）＝0，
所以m≥0，即m的取值范围是[0，+∞）．
（2）证明：F（x）＝g（x）﹣f（x）＝e x﹣x﹣（m+1）﹣﹣[]＝mx﹣（m+1）+x2﹣+mlnx，
当时，F（x）＝﹣x﹣+x2+﹣lnx（x＞0），
所以F′（x）＝﹣+x﹣﹣＝，
令F′（x）＜0，解得0＜x＜1，令F′（x）＞0，解得x＞1，
所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以F（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为F（1）＝﹣＜0，
当x＝时，F（）＝（ln2﹣）＞0，当x＝2时，F（x）＝﹣ln2＝（﹣ln2）＞0，
所以由零点存在性定理可得F（x）在区间（，1）和（1，2）上各有一个零点，
结合F（x）的单调性可知，F（x）有且仅有两个零点．
22．如图是美丽的三叶草图案，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，它由弧，弧，弧组成．已知它们分别是方程为，，ρ＝﹣4sinθ的圆上的一部分．
（1）分别写出点H，M，N的极坐标；
（2）设点P是由点H，M，N所确定的圆C上的动点，直线，求点P到L的距离的最大值．
解：（1）①，②，ρ＝﹣4sinθ③．θ∈[0，2π），联立①③：，由图形可知：θ∈（﹣，0），
所以，，ρ＝2，所以；
联立①②，解得，联立②③
．…………………………………………
（2）易知圆C是以O为圆心，2为半径的圆，直线L过圆心O，
所以点P到直线L的距离最大值是半径2．……………………………
23．已知函数的最大值为4（其中m＞0）．
（1）求m的值；
（2）若a2+b2+c2＝m，求的最小值．
解：（1）
所以m＝3．
（2）由（1）知a2+b2+c2＝3，由柯西不等式有：
所以，，所以最小值为．。