2020版广西高考人教A版数学(文)一轮复习课件：5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用 .pdf
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所以a+b=(m-1,3).
因为a+b与a垂直,
所以(a+b)·a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得m=7.
7
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解析 答案
-14-
知识梳理 双基自测
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4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m= .
∵a⊥b,∴a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.
5.3 平面向量的数量积与平面
向量的应用
-2-
知识梳理 双基自测
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1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= |a ||b |c os θ ,规定
零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. (2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
考点2
考点3
法二(坐标法): 建立如图所示的平面直角坐标系,
-20-
考点1
考点2
考点3
(2)(方法1)设P(cos α,sin α),α∈R,
-21-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cos θ(其 中θ是向量a与b的夹角). (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加 减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平 面角的关系是相等还是互补.
-17-
考点1
考点2
考点3
例1(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边
AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则
的值
为( )
思考求向量数量积的运算有几种形式?
答案: (1)B (2)6
-18-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)法一(基向量法):
-19-
考点1
即W= |F ||s |co s θ (θ为F与s的夹角).
-11-
知识梳理 双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负. ( )
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.
( ) (3)若a·b=0,则必有a⊥b. ( ) (4)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (5)若a·b=a·c(a≠0),则b=c. ( )
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
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答案
知识梳理 双基自测
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A.30° B.45° C.60° D.120°
-12-
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解析 答案
-13-
知识梳理 双基自测
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3.已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m= .
因为a=(-1,2),b=(m,1),
-9-
知识梳理 双基自测
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7.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件, 通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来 解答.
-10-
知识梳理 双基自测
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8.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量 的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理 学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,
3.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c. 但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立, 原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于 a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一 个与a共线的向量,而c与a不一定共线.
(6)|a·b|≤|a||b|(当且理 双基自测
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3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
-6-
知识梳理 双基自测
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4.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
-7-
知识梳理 双基自测
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知识梳理 双基自测
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6.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行 转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.
-22-
考点1
考点2
考点3
A.-15 B.-9 C.-6 D.0 (3)(2018宁夏银川模拟)已知|a|=1,|b|=
2
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解析 答案
-15-
知识梳理 双基自测
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知识梳理 双基自测
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自测点评
1.因为|a||b|cos θ和|b|cos θ都是数量,所以a·b和b在a方向上的投 影都是一个数量,而不是向量.
2.对于两个非零向量a与b,因为当θ=0°时,a·b>0,所以“a·b>0”是 “两个向量a,b夹角为锐角”的必要不充分条件;a·b=0也不能推出 a=0或b=0,因为当a·b=0时,有可能a⊥b.
|b|cos θ的乘积.
-3-
知识梳理 双基自测
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cos θ= x1x2+y1y2 .
-4-
知识梳理 双基自测
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(5)已知两非零向量a与b,a⊥b⇔a·b=0⇔ ;a∥b⇔a·b=±|a||b|x. 1x2+y1y2=0
因为a+b与a垂直,
所以(a+b)·a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得m=7.
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4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m= .
∵a⊥b,∴a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.
5.3 平面向量的数量积与平面
向量的应用
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知识梳理 双基自测
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1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= |a ||b |c os θ ,规定
零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. (2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
考点2
考点3
法二(坐标法): 建立如图所示的平面直角坐标系,
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考点1
考点2
考点3
(2)(方法1)设P(cos α,sin α),α∈R,
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考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cos θ(其 中θ是向量a与b的夹角). (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加 减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平 面角的关系是相等还是互补.
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考点1
考点2
考点3
例1(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边
AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则
的值
为( )
思考求向量数量积的运算有几种形式?
答案: (1)B (2)6
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考点1
考点2
考点3
解析:(1)法一(基向量法):
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考点1
即W= |F ||s |co s θ (θ为F与s的夹角).
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知识梳理 双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负. ( )
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.
( ) (3)若a·b=0,则必有a⊥b. ( ) (4)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (5)若a·b=a·c(a≠0),则b=c. ( )
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
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A.30° B.45° C.60° D.120°
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3.已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m= .
因为a=(-1,2),b=(m,1),
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7.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件, 通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来 解答.
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8.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量 的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理 学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,
3.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c. 但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立, 原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于 a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一 个与a共线的向量,而c与a不一定共线.
(6)|a·b|≤|a||b|(当且理 双基自测
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3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
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4.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
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6.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行 转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.
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考点1
考点2
考点3
A.-15 B.-9 C.-6 D.0 (3)(2018宁夏银川模拟)已知|a|=1,|b|=
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自测点评
1.因为|a||b|cos θ和|b|cos θ都是数量,所以a·b和b在a方向上的投 影都是一个数量,而不是向量.
2.对于两个非零向量a与b,因为当θ=0°时,a·b>0,所以“a·b>0”是 “两个向量a,b夹角为锐角”的必要不充分条件;a·b=0也不能推出 a=0或b=0,因为当a·b=0时,有可能a⊥b.
|b|cos θ的乘积.
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cos θ= x1x2+y1y2 .
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(5)已知两非零向量a与b,a⊥b⇔a·b=0⇔ ;a∥b⇔a·b=±|a||b|x. 1x2+y1y2=0