2025届吉林省安图县第一中学高三下学期联合考试数学试题含解析

2025届吉林省安图县第一中学高三下学期联合考试数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；
③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的1 4 .
其中正确的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）
A．4πB．16πC．36πD．64 3π
3．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．{2}
B ．{1,0}-
C ．{}1-
D ．{1,0,1}-
4．已知函数()2
22
ln 02x x e f x e x x e
⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）
A ．1
e
B
C
D ．
2
1e 5．已知双曲线C ：22221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22
(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲
线的一条渐近线截得的弦长为 ） A ．2
B
C
D ．3
6．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301
x
x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1
a d
=（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．设全集U =R ，集合2
{|340}A x x x =-->，则U
A =（ ）
A ．{x |-1 <x <4}
B ．{x |-4<x <1}
C ．{x |-1≤x ≤4}
D ．{x |-4≤x ≤1}
9．已知抛物线C ：2
4y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，
则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B
C ．2
D ．3
10
．已知函数())33x x f x x -=+-
，不等式()
2(50f f x ++对x ∈R 恒成立，则a 的取值
范围为（ ） A ．[2,)-+∞
B ．(,2]-∞-
C ．5,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．5,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
11．已知P 是双曲线22
221x y a b
-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2
PF
的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．
62
C ．3
D ．6
12．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a -=，236a a -=，则4S =__________． 14．在面积为6
2
的ABC ∆中，23AB AC ⋅=，若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.
15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 16．已知实数x ，y 满足13
11
x y x y ≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩，则2x y +的最大值为____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数
（1）讨论的单调性； （2）当
时，
，求的取值范围.
18．（12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
cos m ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2212
3sin ρθ
=
+．
（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）设曲线1C 与曲线2C 在第二象限的交点为A ，曲线1C 与x 轴的交点为H ，点(1,0)M ，求AMH 的周长l 的最大值．
19．（12分）已知函数()f x x x a =+-. （1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；
（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.
20．（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.
（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率； （2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“1k ξ=”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“0k ξ=”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（1,2,3,4,5,6k =）.写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系. 21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面
ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点且3PM MC =，2PA PD ==，1
12
BC AD =
=，=2CD .
()1求证：平面PQB ⊥平面以PAD ； ()2求二面角M BQ C --的大小.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为22cos 3232x y θθ=+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 的普通方程；
（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用
app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③
的正误.综合得出结论. 【详解】
使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，8130
0.1456290
≈，故超过10%的大学生使用app 主
要玩游戏，所以②错误；
使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为
165401
562904
>，所以③正确.
【点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 2、C 【解析】
设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解. 【详解】 设球的半径为R ，
根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=， 解得3R =， 所以该球的体积为3344
33633
V R πππ==⨯⨯= . 故选：C 【点睛】
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 3、B 【解析】
求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】
由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题. 4、A 【解析】
画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()1222
2
2ln f x f x x x x x =
=
，构造函数()ln x
g x x
=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.
由于22
123012x x e x e <<<<<<+，
1212ln ln 1x x x x -=⇒=,
由于
()()122
2
2
2
ln f x f x x x x x =
=
， 令()ln x
g x x =
，()
21
x e ∈，， ()()2
1ln x g x g x x
=⇒'-在()1e ，↗，()
2
e e ，↘ 故()1
()max g x g e e
==.
故选：A 【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 5、A 【解析】
由已知，圆心M 32
2
3a b
=+，又222c a b ==+，解方程即可.
【详解】
由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22 所以圆心M 22(2)3r -=22
2b
b c
a b ==
=+，故221a c b =-=， 所以离心率为2c
e a
==. 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.
6、D 【解析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033
n n
a =-+，解不等式求得结果. 【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，
使得
301x
x -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得
301
x x -≥-成立的概率为21
63d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333
n n
a n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 7、A 【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】
由136,,a a a 成等比数列得2
316a a a =⋅，即()()2
11125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得
1
4a d
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 8、C 【解析】
解一元二次不等式求得集合A ，由此求得U
A
【详解】
由()()2
34410x x x x --=-+>，解得1x <-或4x >.
因为{|1A x x =<-或4}x >，所以U
{|14}x x A =-≤≤.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 9、B 【解析】
设直线l 的方程为1x my =+代入抛物线方程，利用韦达定理可得124y y m +=,124y y =-,由3AF BF =可知
3AF FB =所以可得123y y =-代入化简求得参数,即可求得结果.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y （10y >，20y <）.易知直线l 的斜率存在且不为0，设为
1
m
，则直线l 的方程为1x my =+.与抛物线方程联立得()2
41y my =+，所以124y y =-，124y y m +=.因为3AF BF =，所以3AF FB =，得
123y y =-，所以2
243y =
，即23
y =-
，1y =
1214m y y =
=+. 故选:B. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题. 10、C 【解析】
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为225
4x a
x ⎫--=-+，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】
())33(),(
)x x f x
x f x f x --=+-=-是奇函数，
())3333x x x x
f x x --=+=+--，
易知,33x x
y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，
不等式()
2(5
0f f x ++，即()2(5f f x --，
结合函数的单调性可得2
45
x
--
，即
2
2
5
4
x
a
x
⎫
--
=-
+
，
设t
，2
t≥
，故
1
y t
t
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
单调递减，故
max
5
2
⎫
-=-，
当2
t=，即0
x=时取最大值，所以
5
2
a-.
故选：C.
【点睛】
本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.
11、B
【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出P的坐标，由题意求得(,)
P a b，运用直线的斜率公式可得
1
k，k，
2
k，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的一条渐近线方程为
b
y x
a
=，
且(,)
b
P m m
a
，由
122
F PF
π
∠=，可得以O为圆心，c为半径的圆与渐近线交于P，
可得222
()
b
m m c
a
+=，可取m a
=，则(,)
P a b，
设1(,0)
F c-，
2
(,0)
F c，则
1
b
k
a c
=
+
，
2
b
k
a c
=
-
，
b
k
a
=，
由1k，2k
-，2k成等差数列，可得12
4k k k
-=+，
化为
22
42a
a a c
-=
-
，即22
3
2
c a
=，
可得
6
2
c
e
a
，
故选：B．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12、D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、40- 【解析】
由题意，设等比数列的公比为q ，根据已知条件，列出方程组，求得1,a q 的值，利用求和公式，即可求解． 【详解】
由题意，设等比数列的公比为q ，
因为12232,6a a a a -=-=，即112
112
6
a a q a q a q -=⎧⎨-=⎩，解得3q =，11a =-， 所以(
)()4
4
1411340113
a q S q
---===---.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n 项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14
-【解析】
由任意三角形面积公式与23AB AC ⋅=|AB ||AC |，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化BN CM ⋅，最后由重要不等式求得最值. 【详解】 由△ABC
12|AB ||AC |sin ∠BAC
所以|AB ||AC |sin
∠BAC ，①
又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠
BAC = 由①与②的平方和得:|AB
||AC |=
又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，
所以()()
2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+
⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22421
332
AB AC AC AB =
⋅--
222221832183
2323323
AC AB AC AB =
--≤-⋅= 当且仅当
222123
32AC AB AB AC =⇒=时，取等号，
即BN CM ⋅的最大值是为
3
-
故答案为：3
-【点睛】
本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.
15、【解析】
确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A M
NC ，则1A ，,,M CN N 四点共面，
记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NC
MC C =，则DE ⊥平面1A MCN ，
所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，
其对角线1AC =MN =1
2
S =⨯=
故答案为：26
【点睛】
本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16、1 【解析】
直接用,x y x y +-表示出2x y +，然后由不等式性质得出结论． 【详解】 由题意31
2()()22
x y x y x y +=
++-， 又13,11x y x y ≤+≤-≤-≤，∴3131
(1)2312222
x y +⨯-≤+≤⨯+⨯，即125x y ≤+≤， ∴2x y +的最大值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）f′（x ）=（x+1）e x -ax-a=（x+1）（e x -a ）．对a 分类讨论，即可得出单调性． （2）由xe x -ax-a+1≥0，可得a （x+1）≤xe x +1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x ＞-1时，a 令g （x ）=
，利
用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【详解】 解法一：（1）
①当时，
-1
- 0 +
↘极小值↗
所以在上单调递减，在单调递增.
②当时，的根为或.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
若，即，
在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以.
当时，恒成立.
当时，.
令，，
设，
因为在上恒成立，
即在上单调递增.
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以.
综上，的取值范围为.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
当时，，则在上单调递增，
所以，满足题意.
当时，
令，
因为，即在上单调递增.
又因为，，
所以在上有唯一的解，记为，
- 0 +
↘极小值↗
，满足题意.
当时，，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18、（1）曲线1C 的直角坐标方程为x m =，曲线2C 的参数方程为2cos (
x y α
αα=⎧⎪⎨
=⎪⎩
为参数)（2）3 【解析】
（1）将cos x ρθ=代入cos m ρθ=，可得x m =， 所以曲线1C 的直角坐标方程为x m =．
由2
2
123sin ρθ
=
+可得222
3sin 12ρρθ+=， 将sin y ρθ=，222
x y ρ=+代入上式，可得2223312x y y ++=，
整理可得22
1
43x y +=，所以曲线2C 的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨
=⎪⎩
为参数)．
（2）由题可设2cos n ()i A αα，
2
π
απ<<，2cos (0),H α，
所以|i |n AH α=，1|2|cos HM α=-，
2c ||os AM α=-，
所以(12cos )|||||(2cos )|l AH HM AM ααα=++=+-+-
3cos 3)33
αααπ
=-++-，
因为
2
π
απ<<，所以633
αππ2π<-<
，
所以当3
2
π
π
α-
=
，即56
π
α=
时，l 取得最大值为3，
所以AMH 的周长l 的最大值为3． 19、（1）{}13x x -<<（2）(][),11,-∞-+∞
【解析】
（1）把2a =代入，利用零点分段讨论法求解；
（2）()1f x ≥对任意x ∈R 成立转化为求()f x 的最小值可得. 【详解】
解：（1）当2a =时，不等式()4f x <可化为24x x +-<. 讨论：
①当0x <时，()24x x ---<，所以1x >-，所以10x -<<； ②当02x ≤≤时，()24x x --<，所以24<，所以02x ≤≤； ③当2x >时，()24x x +-<，所以3x <，所以23x <<. 综上，当2a =时，不等式()4f x <的解集为{}
13x x -<<. （2）因为()x x a x x a --≤+-， 所以x x a a +-≥.
又因为()f x x x a =+-，()1f x ≥对任意x ∈R 成立， 所以1a ≤， 所以1a ≤-或1a ≥.
故实数a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞.
【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
20、（1）0.104（2）0.766（3）615432D D D D D D ξξξξξξ=>>>> 【解析】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A ，根据古典概型求出即可；
（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A ，B ，C ，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则
P （E ）()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC =+++，求出即可；
（3）根据题意，写出即可． 【详解】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A ， 有效问卷共有3805503304104004302500+++++=（份)， 其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人， 故P （A ）260
0.1042500
=
=； （2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A ，B ，C ，
根据题意，可知P （A ）0.6=，（B ）0.8=，P （C ）0.65=，
设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“ 则()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++
()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+++
0.60.80.350.60.20.650.40.80.650.60.80.65=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.1680.0780.2080.312=+++ 0.766=.
所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766. （3）615432D D D D D D ξξξξξξ=>>>>． 【点睛】
本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题． 21、()1证明见解析；()230. 【解析】
()1推导出//CD BQ ，QB AD ⊥，从而BQ ⊥平面PAD ，由此证明平面PQB ⊥平面以PAD ； ()2以Q 为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角M BQ C --的大小.
【详解】
解：()1//AD BC ，1
2
BC AD =
，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ .
90ADC ∠=︒,∴90AQB ∠=︒，即QB AD ⊥.
又
平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD
平面ABCD AD =，
∴BQ ⊥平面PAD .
BQ ⊂平面PQB ，
∴平面PQB ⊥平面PAD .
()
2PA PD =，Q 为AD 的中点，
∴PQ AD ⊥.
平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD
平面ABCD AD =，
∴PQ ⊥平面ABCD .
如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，
则平面BQC 的一个法向量为()0,0,1n =，
()0,0,0Q ，(3P ，()0,2,0B ，()1,2,0C -，
设(),,M x y z ，则(,,3PM x y z =，()1,2,MC x y z =----，
∴3PM MC =，
∴()()313233x x y y z z
⎧=--⎪
=-⎨⎪
=-⎩， ∴34323x y z ⎧=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪⎪=
⎪⎩
，
在平面MBQ 中，()0,2,0QB =，333,424QM ⎛=- ⎝⎭
，
设平面MBQ 的法向量为(),,m x y z =，
则00m QB m QM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20
333
04
2y x y z =⎧⎪⎨-++
=⎪⎩， ∴平面MQB 的一个法向量为(3m =， ∴(()30,0,13cos ,2
m n ⋅=
=
，
由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题. 22、（1）2
2
(2)4x y +-=（2）
3
π
)． 【解析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式cos ,sin x y ρθρθ==求解.
（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可. 【详解】
（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=， ∴24sin ρρθ=，则224x y y +=, 即2
2(2)4x y +-=.
（2
）22222cos 2cos 121)
22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩
，
∴y =，1x >
联立2
2
(2)4x y +-=
可得223x x +=，
0x =
（舍）或x =
公共点
3)，化为极坐标
，3
π
)． 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.。