反馈控制系统的稳定性分析

练习
5
系统特征方程为
4 3 2
s 2s 3s + 6s - 4s 8 0
s5 s4 s3 3 s s2 s1 s0 1 2 0 8 3 100 3 8 3 6 0 12 8 0 4 8 0
F (s) 2s 6s 8
4 2
五、 劳斯判据的应用
应用劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定，即系统的 绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕 量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统 参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。
g( t ) Ci e
i 1
k
pi t
Ai e
i 1
r
i t
sin(i t i )
pi 0
i 0
线性系统稳定的充分必要条 件是它的所有特征根都具有 负实部或都位于S平面的左半 平面，则系统稳定。
例4
一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
k G(s) s (2s 1)
图3-23
解(1)系统的传递函数为：
(2)列劳斯阵列表
C ( s) K ( s) R( s) s( s 1)( s 5) K 特征方程为：
s 2 s
s
1
3
s 6 s 5s K 0
3 2
系数都为正实数
s
0
30-k 6
1 6
5 k
k
(2)列劳斯阵列表
s
3
1 6
30-k 6
a4 a5 b3 c3
s n 3 s s s
1
n2
0
11
12
1 a0 a2 b1 a1 a1 a3
直至其余
1 a0 a4 b2 a1 a1 a5
1 a0 a6 b3 a1 a1 a7
bi 项均为零。
a3 b2
1 a1 c1 b1 b1
1 a1 a5 1 a1 a7 c2 c3 b1 b1 b3 b1 b1 b4
一、稳定性的概念和定义
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
B'
f
A
'
B" A
A
A"
A0
(a)
图3-21
(b )
小球的稳定性
(c )
二、稳定的充要条件
若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号 (t ) ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 g (t ) ， g (t ) 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的 情况。如果当 t 时，脉冲过渡函数 g (t ) 收敛于 系统原平衡工作点，即下式成立：
4 3 2
判别系统的稳定性。
解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下: 6
s 4 s3 s
3
s5
s 2 s
1
8 6
2 2 0
1
12 12 0
8
16 16 F (s) 2s4 12s2 16
解辅助方程得:
20
16
s
s
0
16
8 3
24 16
s1,2 j 2 s3,4 j 2
D(s) a0 s a1s an1s an 0
n
n 1
(3-43)
2. 劳斯稳定判据 n s a0
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
s n 1 s n2 s n 3 s
1
a1 b1 c1 f1 g1
s0
s s
n
n 1
a0 a1 b1 c1 f1 g1
a2 a3 b2 c2
(1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶 次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。
(2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素， 继续完成劳斯表。 (3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。
例8 系统特征方程为
6 5
D(s) s 2s 8s 12s 20s 16s 16 0

例7 系统特征方程为 D(s) s 4 3s3 4s 2 12s 6 0 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下: 4 第一列 3 为零
s s
1 3

4 12
16 16
16
s s
2 2
0
s
1
12-
48
s
0
16

0
系统不稳定， 且有两个根 具有正实部
1
3
12.2 4
3
2 10
13 4
第一列无符号改 变，故没有根在 S平面右半平面。
令s= z-1，代入特征方程式，得
2( z 1)3 10( z 1)2 13( z 1) 4 0
2z 4 z z 1 0
2
2z 4 z z 1 0
3 2
则新的劳斯阵列表
1. 稳定裕量的检验

0'
0
z s 1
1

图3-22
稳定裕量
例10 检验特征方程式
2s 10s 13s 4 0
3 2
是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线 s = -１的 右边。 解 (1)特征方程式系数都为正实数,满足稳定的必要条件
(2)列劳斯阵列表
s s0
即
s 2 s
lim g (t ) 0
则线性系统是稳定的。
t
(3-38)
C ( s ) G ( s ) R( s ) C ( s ) G ( s )
c(t ) g (t ) lim c(t ) 0
t
M ( s) 设系统闭环传递函数为： ( s)
系统闭环特征方程为:
5 4 3 2
试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定 具有正实部根的个数。
答案：
系统不稳定,有两个 根具有正实部,即有 两个根位于s平面的 右半平面
四、劳斯判据的特殊情况
１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不 全为零，这时可用一个很小的正数 来代替这个零， 然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号， 则系统临界稳定，否则不稳定。
第四节
反馈控制系统的稳定性分析
一、稳定性的概念和定义 二、稳定的充要条件 三、代数稳定判据－劳斯判据 四、劳斯判据的特殊情况 五、劳斯判据的应用
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正 常工作的首要条件。控制系统在实际运行中， 总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负 载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数 的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时， 系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且 越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原 来的平衡状态。
z 2 z
z 0 z
1
3
2 4
-0.5 -1
-1 -1
从表中可看出，第 一列符号改变一次， 故有一个根在直线 s= -1（即新座标 虚轴）的右边，因 此稳定裕量不到1。
2. 分析系统参数对稳定性的影响
设一单位反馈控制系统如图3-23所示，求使系统稳定的 k的范围 C (s) k R( s ) 1 ( s 1)( s 5) s
si t
si 0
发散
lim g(t) lim e (A i cos i t jB i sin i t) 0
t t i 1
n t i n
lim Ci e (sin i t i ) 0 i 0
i t t i 1
(3)若特征根为k个实根，r个复数根，
5 k
若要使系统稳定，其充要条件是 劳斯阵列表的第一列均为正数，
s
s
2
1
即 K > 0，30 - K > 0 0 < K < 30, 其稳定的临界值为30。
s
0
k
例11 系统特征方程式为
D(s) s 2s Ts 10s 100 0
4 3 2
按稳定要求确定 T 的临界值。 解 劳斯阵列表为
例9 系统特征方程为
s 3s 3s + 9s - 4s 12 0
5 4 3 2
判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根 的个数。 s5 1 3 4
s4 s3 3 s s
2
s1 s0
3 0 12 9 2 50 12
9 0 18 12 0
12 0 F (s) 3s4 9s 2 12
s 3 s 2 s
s
1
4
1 2 T-5
10T-250 T-5
T 10 100
100

T 5 0,
10T 250 T 5
0
s
0
100
即必须 T > 25 系统才能稳定。
n
(3-41)
得系统的脉冲过渡函数为（响应）
g (t ) c(t ) Ai e si t
i 1
n
(3-42)
n si t
由式(3-38)若系统稳定 (1)若 为实数
lim g (t ) lim Ae 0 i
t t i 1
si lim Ai e 0 si 0 t (2)若 s 为复数 s j i i i i
练习 系统特征方程为 D(s) s 4 2s3 s 2 2s 1 0
判别系统的稳定性。
s4 3 s s2 s s
1 0
1 2

2 1 2
1 2 1
1

0
系统不稳定， 且有两个根 具有正实部
２、若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数
均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关 于原点对称的根。
试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。 解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下: 4
s 3 s s
0
1 1
-12 11
30
30
s -30 1 s 12
2
有两个根位于s 平面的右半平面
30
练习 系统特征方程为
s 3 s 2 s s 5s 6 0
4 3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下:
s
4
1
12
6
s
3
2
s
s
1
s
0
61 6 455 6
Hale Waihona Puke 6116第一列的 系数都为 正数，系 统稳定
6
例6 系统特征方程为
D(s) s s 19s 11s 30 0
4 3 2
闭环特征根为:
D( S ) 0
D( s )
(3-39)
s1 , s2
sn
(3-40)
设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：
M ( s) n Ai ( s) D( s) i 1 s si
则系统脉冲响应的拉氏变换为：
Ai C ( s) ( s) i 1 s si
解：系统的闭环传递函数为 G( s) k k ( s) 2 1 G ( s) s (2s 1) k 2s s k
D(s) 2s s k 0
2
1 1 8k s 1,2 4
系统稳定
三、代数稳定判据－劳斯判据
1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
如图3-22所示，令 s z 1 即把虚轴左移 。将 1 上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方 程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴 (垂直线 s 1 )的右边。如果所有根均在新虚轴的 左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有 j 稳定裕量 1 。
g1 an
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
例5 系统特征方程为
D(s) s 6s 12s 11s 6 0