江西省南昌市第八中学2018-2019学年上学期12月高二(理)数学月考试卷(含解析)

高二数学月考（理）试卷
一、选择题（60分）
1．命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0 B ．∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0 D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0 考点 全称量词的否定 答案 D
2．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2
B ．m ≤－2
C ．m ≤－2或m ≥2
D ．－2≤m ≤2
考点 “p ∨q ”形式命题真假性的判断 答案 A
3．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程 是( ) A.x 24＋y 2
3＝1 B.x 24＋y 2
＝1 C.y 24＋x 2
3
＝1 D.x 2
＋y 2
4
＝1
考点 椭圆的几何性质 答案 A
4．已知双曲线x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A ．y ＝±5x
B ．y ＝±5
5x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±3
3
x
考点 双曲线的简单几何性质 答案 D
5..已知抛物线y=f (x )=-2x 2+bx+c 在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,则b+c 的值为( ).
A .20
B .9
C .2
D .-2
故b+c=-2.
【答案】D
6..已知命题p :cos(α+γ)=cos 2β,命题q :α,β,γ成等差数列,则p 是q 的( ).
A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由α,β,γ成等差数列得α+γ=2β,所以cos(α+γ)=cos 2β.而由cos(α+γ)=cos 2β不一定得出α+γ=2β,还可能是α+γ=2β+2π等,所以p 是q 的必要不充分条件.
【答案】B 7..已知命题p :对∀x ∈R,∃m 0∈R,使4x +2x m 0+1=0.若命题非⌝p 是假命题,则实数m 0的取值范围是( ).
A .[-2,2]
B .[2,+∞)
C .(-∞,-2]
D .[-2,+∞)
【解析】因为⌝非p 为假命题,所以p 为真命题,即求原命题为真命题时m 0的取值范围.由4x +2x m 0+1=0,得
-m 0==2x +≥2,所以m 0≤-2.
【答案】C
8.设a 为实数，函数f （x ）=x 3+ax 2+（a-2）x 的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线y=f （x ）在原点处的切线方程为（ ）
A ．y=-2x
B ．y=3x
C ．y=-3x
D ．y=4x 【答案】A
试题分析：()()2
'322f x x ax a =++-，因为()'f x 为偶函数，所以20a =即0a =．
()32f x x x ∴=-，()2'32f x x ∴=-．()'02f ∴=-．
由导数的几何意义可知曲线()y f x =在原点处的切线的斜率()'02k f ==-． 所以此切线方程为2y x =-．故A 正确．
9.【2016河北省定州中学高三第一次月考】已知函数()sin cos f x x x =+，且'
()3()f x f x =，则x 2tan 的值
是（ ） A ．34-
B ．34
C ．43-
D ．4
3 【答案】A
10.函数f (x )=x-sin x ,x ∈
的最大值是( ). A .π-1
B .-1
C .π
D .π+1
【解析】当x ∈
时,f'(x )=1-cos x ≥0,∴f (x )在
上为增函数,∴f (x )的最大值为f (π)=π-sin π=π,故选C .
【答案】C
11.函数y=x 3-4x+4的图象(如图)为( ).
【解析】当y'=x 2-4=0时,x=±2.当x ∈(-∞,-2)和(2,+∞)时,y 单调递增;当x ∈(-2,2)时,y 单调递减.当x=2时,y=-;当x=-2时,y=. 【答案】A
12.已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)=2,且f (x )的导数f'(x )在R 上恒有f'(x )<1,则不等式f (x )<x+1的解集为( ).
A .(1,+∞)
B .(-∞,-1)
C .(-1,1)
D .(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】不等式f (x )<x+1可化为f (x )-x<1,设g (x )=f (x )-x , 由题意得g'(x )=f'(x )-1<0,且g (1)=f (1)-1=1, 故原不等式等价于g (x )<g (1),故x>1. 【答案】A
二．填空题（20分）
13.已知p :-4<x-a<4,q :(x-2)(3-x )>0,若⌝非p 是⌝非q 的充分条件,则实数a 的取值范围是 .
【解析】p :a-4<x<a+4,q :2<x<3.由⌝非p 是 非q 的充分条件可知,q 是p 的充分条件,即q ⇒p ,∴解得-1≤a ≤6.
【答案】[-1,6]
14.函数()3
123f x x x =-+，()3x
g x m =-，若对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，()()12f x g x ≥，则实数m
的最小值是 ． 【答案】14
试题分析：()()min min f x g x ≥，()2
312=3(2)(2)f x x x x '=--+，()f x 在[1,2]-递减，在[25]，递增，所
以()min (2)824313f x f ==-+=-，()3x
g x m =-在[]0,2单调递增，()()m i n 01g x g m ==-，
13114m m -≥-⇒≥；
15.已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫
'+= ⎪⎝⎭
． 【答案】π
3
-
试题分析：()2
cos sin x x x x x f -⋅-='，当2π
=x 时，ππ22-=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ，()ππ1-=f ，所以原式等于π3-.
16.有下列命题:
①x=0是函数f (x )=x 3的极值点;
②函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d (a ≠0)有极值点的充要条件是b 2-3ac>0; ③奇函数f (x )=mx 3+(m-1)x 2+48(m-2)x+n 在区间(-4,4)上单调递减. 其中假命题的序号是 .
【解析】①中,函数f (x )=x 3在R 上单调递增,没有极值点,①错;
②中,f'(x )=3ax 2+2bx+c (a ≠0),函数f (x )有极值点的充要条件是f'(x )=0有两个不相等的实根,所以Δ=4b 2-12ac>0,也即b 2-3ac>0,②正确;
③中,f (x )是奇函数,则f (0)=0⇒n=0.又由f (-x )=-f (x ),得(m-1)x 2=0,因此m=1,所以f (x )=x 3-48x.当x ∈(-4,4)时,f'(x )=3x 2-48=3(x+4)(x-4)<0,故f (x )在x ∈(-4,4)上单调递减,③正确.
【答案】①
17.（10分）.π为圆周率,a ,b ,c ,d ∈Q,已知命题p :若a π+b=c π+d ,则a=c 且b=d. (1)写出⌝非p 并判断真假;
(2)写出p 的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假.
【解析】(1)⌝p :若a π+b=c π+d ,则a ≠c 或b ≠d. 因为a ,b ,c ,d ∈Q,由a π+b=c π+d , 得π(a-c )=d-b ∈Q,所以a=c 且b=d. 故p 是真命题,⌝非p 是假命题.
(2)逆命题:若a=c 且b=d ,则a π+b=c π+d.它是真命题. 否命题:若a π+b ≠c π+d ,则a ≠c 或b ≠d.它是真命题.
逆否命题:若a ≠c 或b ≠d ,则a π+b ≠c π+d.它是真命题.
18.（12分）已知命题p ：(x －2)(x ＋m )≤0，q ：x 2＋(1－m )x －m ≤0. (1)若m ＝3，命题“p ∧q ”为真命题，求实数x 的取值范围． (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取范围． 考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p ∧q ”形式命题的真假求参数的取值范围 解 (1)当m ＝3时，p ：－3≤x ≤2，q ：－1≤x ≤3. 因为命题“p ∧q ”为真命题， 所以p 和q 都为真命题，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－3≤x ≤2，－1≤x ≤3，解得－1≤x ≤2.
所以实数x 的取值范围是[－1,2]． (2)因为p ：(x －2)(x ＋m )≤0， 所以记A ＝{x |(x －2)(x ＋m )≤0}． 因为q ：x 2＋(1－m )x －m ≤0， 所以记B ＝{x |x 2＋(1－m )x －m ≤0} ＝{x |(x －m )(x ＋1)≤0}． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q ⇒p ，但p ⇏q ，
所以集合B 为集合A 的真子集，
因此有⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧
－m ＜－1，m ≤2，
解得1≤m ≤2.
19（12分）.已知函数()23bx ax x f +=的图象经过点M （1,4）,曲线在点M 处的切线恰好与直线x +9y =0垂直．
（1）求实数b a ,的值；
(2)若函数()x f 在区间[]1,+m m 上单调递增,求m 的取值范围
【答案】.(1) 3,1==b a ; (2) 30-≤≥m m 或
【解析】 （1）32
()f x ax bx =+Q 的图像过M （1,4）；4a b ∴+=
又2
()32f x ax bx '=+Q ，则(1)32f a b '=+；结合条件1(1)()19
f f '⋅-=-， 得：(1)9f '=，即：329a b +=解得：3,1==b a
（2）由于32()3f x x x =+，则2()36f x x x '=+；令2
()0,360f x x x '≥+≥
解得：02x x ≥≤-或，又因为函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增
则：
[],1(,2)(0,)m m +⊆-∞-⋃+∞，解得m 的取值范围为：03m m ≥≤-或
20.（12分）过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →
，1.求抛物线方程。

2.求|BC |. 解 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0＜θ＜π
2，
B (x 1，y 1)，
C (x 2，y 2)，
由题意可知|BF |＝3，点B 在x 轴的上方， 过点B 作该抛物线准线的垂线，垂足为B 1， 则|BB 1|＝|BF |＝3，
|AF ||AB |＝p
|BB 1|
，由此可得p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ， 焦点F (1,0)，则cos θ＝p |AF |＝26＝1
3，
则sin θ＝1－cos 2θ＝22
3，
因此tan θ＝sin θ
cos θ＝22，
故直线l 的方程为y ＝22(x －1)，
由⎩⎨⎧
y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，
消去y ，得8(x －1)2＝4x ， 即2x 2－5x ＋2＝0，所以x 1＋x 2＝5
2
，
由抛物线的定义，知|BC |＝|BF |＋|CF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝9
2
.
21.（12分）已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G
交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．
解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝6
3
，
解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2
＝4， 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，且x 1＋x 2＝－32
m .
设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m
4
.
因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－
m
4
－3＋
3m 4＝－1，解得m ＝2.
此时方程①为4x 2＋12x ＝0.
解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2.
所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32
2，
所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2
.
22.（22分）．已知2
2
()2ln(1)f x x x x =--+， (1)求()f x 的单调递增区间；
(2)若函数2()()3F x f x x x a =-++在1
,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1) (1)-∞+） （2）
1
2ln 22ln 322
a -≤<-或2ln 21a =-. 【解析】 (1) ()f x 的定义域为1x ≠-．∵2
2
()2ln(1)f x x x x =--+，∴22(2)
()1
x f x x -'=+，
解得：1x x <->
或∴()f x 的单调递增区间是；(1)-∞+）．
(2)由已知得2
()()3F x f x x x a =-++，且1x ≠-，∴1
()1
x F x x -'=
+ ∴当11x x <->或时，()0F x '>；当11x -<<时，()0F x '<. ∴当1
12
x -
<<时，()0F x '<，此时()F x 单调递减； 当12x <<时，()0F x '>，此时，()F x 单调递增．
∵11()2ln 222F a a -=-
++>，(2)22ln 3F a a =-+<，∴1
()(2)2
F F -> ∴()F x 在1,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上只有一个零点⇔1()02
(2)0
F F ⎧
-≥⎪⎨⎪<⎩或(1)0F =. 由1()02
(2)0
F F ⎧
-≥⎪⎨⎪<⎩得12ln 22ln 322a -≤<-； 由(1)0F =得2ln 21a =-。

∴实数a 的取值范围为
1
2ln 22ln 322
a -≤<-或2ln 21a =-。