高二数学寒假作业(二)

2011-2012学年度上学期高二数学寒假作业（二）
本试卷考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合要求的）
1．⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1>3x 2>3是⎩⎨⎧
x 1＋x 2>6，x 1x 2>9
成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2. 下列命题中，均为真命题的是 （ ）
①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；②∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；③∃x ∈Z ，x 2＝2；④∃x ∈R ，x 2＝2.
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．①②③
3．椭圆x 29＋y 2
25＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )
A ．20
B ．12
C ．10
D ．6
4．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2
＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8 5. 双曲线方程为x 2
－2y 2
＝1，则它的右焦点坐标为( )
A ．(22，0)
B ．(52，0)
C ．(6
2，0)
D ．(3，0)
6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则a 的值是( )
A.12 B ．1或－2 C ．1或1
2 D ．1
7．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
8．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得的线段长等于 ( )
A.15 B ．215 C.15
2 D ．15
9．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则0
lim x →
f (x 0－2Δx )－f (x 0)
Δx ＝( )
A.-11 B ．-22 C ．112 D ．11
2
-
10．曲线221
x
y x =
+在点（1，1）处的切线方程为 ( ) A ．x ＝1 B ．y ＝1 C ．10x y +-= D ．210x y +-=
11．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
12．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞) B. (0,3) C ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，32 D ．(－∞，3)
二．填空题（每题5分，共20分）
13.已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值
范围是_______.
14.已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的
离心率e为 .
15.函数y＝4x2＋1
x的单调递增区间是.
16. 函数f(x)＝x3－3a2x＋a (a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为
_____ ___．
三. 解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤）
17．已知命题p：函数f(x)＝log2m(x＋1)是定义域上的增函数，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0.如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的
取值范围．（10分）
18. 已知椭圆8x2
81＋
y2
36＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过点M且与x2
9＋
y2
4＝1共焦点的椭圆的方程．（12分）
19. 已知函数3
()2
f x x ax
=+与2
()
g x bx c
=+的图象都经过点()
2,0
P，且在点P处有
公共切线，求(),()
f x
g x的表达式．（12分）
20．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M 、
N两点，MN中点的横坐标为－
2
3，求此双曲线的方程．（12分）
21．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
(2)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．（12分）
22．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆
x2
2＋y
2＝1
有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向
量OP
→
＋OQ
→
与AB
→
共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．（12分）
高二数学寒假作业（二）参考答案
一、选择题：1. A 2. C 3. A 4. D 5. C 6.D 7.B 8. A 9.B 10.B 11.D 12.C 二、填空题： 13. [)3,8 14. 5
3 15. (12，＋∞) 16. ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞
三、解答题：
17. 解：由已知得，p 为真命题时，2m >1, m >12，即A ＝{m | m >1
2}，……2分
q 为真命题时，Δ＝m 2－4≤0，
∴－2≤m ≤2，即B ＝{m |－2≤m ≤2}．………4分 若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p 与q 一真一假．……………5分
∴m ∈A ∩∁R B ＝{m |m >2}． 或m ∈(∁R A )∩B ＝{m |－2≤m ≤1
2
}．………9分
故m 的取值范围是[－2，1
2]∪(2，＋∞)．………10分
18. 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 2
81＋y 236＝1，得8x 281＋4
36＝1，即x 2＝9.
∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3. ………4分
(2)因椭圆x 29＋y 2
4＝1焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为
x 2a 2＋y 2a 2
－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4
a 2－5
＝1，解得a 2＝15. 故所求椭圆的方程为x 215＋y 2
10
＝1. ………………12分
19. 解：3()2f x x ax =+∵图象过点(20)P ，
Ｐ，8a =-∴，3()28f x x x =-∴．………3分 由于2()g x bx c =+图象过点(20)P ，
，所以可得40b c +=． ………5分 又()2g x bx '=，(2)4(2)16g b f ''===， ………………7分 4b =∴，216()416c g x x =-=-，∴． ………………10分
综上可知32()28()416f x x x g x x =-=-，． ………………12分
20. 解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
依题意c ＝7，∴方程可化为x 2a 2－y 2
7－a 2
＝1 …………2分
由⎩⎨
⎧
x 2a 2－y 27－a 2
＝1，y ＝x －1，
得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0. …………6分 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2
7－2a 2
，
∵x 1＋x 22＝－23， …………8分
∴－a 27－2a 2
＝－23，解得a 2
＝2.
∴双曲线的方程为x 22－y 2
5
＝1. …………12分
21. 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3，f ′(3)＝0，
即27－6a －3＝0，∴a ＝4. f ′(x )＝0的两根为－1
3
，3. ………3分
∴f (x )＝x 3－4x 2－3x 有极大值点x ＝－1
3
，极小值点x ＝3，………5分
此时f (x )在x ∈[－1
3，3]上是减函数；在x ∈[3，＋∞)上是增函数．
f (1)＝－6，f (3)＝－18，f (a )＝f (4)＝－12，
∴f (x )在x ∈[1，a ]上的最小值是－18，最大值是－6. ………7分 (2)由题知f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0，x ∈[1，＋∞)恒成立．
∵x ≥1，∴a ≤32(x －1
x
)， ………………9分
当x ≥1时，
32(x －1x )是增函数，其最小值为3
2(1－1)＝0，……11分
∴a ≤0 ………………………………12分
22. 解：(1)由已知得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
代入椭圆方程，得x 2
2＋(kx ＋2)2＝1，整理，得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0…3分
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于
Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22
. 则k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭
⎫2
2，＋∞.………………6分
克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿炼与境渗
．力对物体做功多，说明物体的位移一定大
．力对物体做功少，说明物体的受力一定小
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。