【世纪金榜】2014年高中数学 第2章 解三角形单元质量评估 北师大版必修5

第二章 解三角形
(120分钟150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC 中，已知a=5, B=105°, C=15°，求此三角形中最大的边长( ) (A)5 (B)
(
)5
6223
+ (C)4 (D)3
2.(2011·某某高二检测）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB ＝( ) (A)
14 (B)3
4
(C)24 (D)23
3.（2011·某某高二检测）在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形必为( )
（A ）等腰三角形 （B ）正三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形
4.(2011·某某高考）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=3BD ，BC=2BD ，则sinC 的值为( )
33665.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2
+c 2
-bc ＝a 2
，且a 3b
＝，则角C 的值为( ) (A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
6.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( ) 3333
7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A=60°，且最大边长和最小边长是方程x 2
-7x+11=0的两个根，则第三边的长为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
8.(2011·某某高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若(a 2+c 2-b 2
3则角B
的值为( ) (A)
6π (B)3
π
(C)
6π或56π (D)3π或23
π 9.有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．( )
(A)1 (B)2sin10°
(C)2cos10° (D)cos20°
10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) (A)6 (B)2 (C)3 (D)2
11.（2011·永安高二检测）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1115810
，，，则此人( ) （A ）不能作出这样的三角形 （B ）能作出一个锐角三角形 （C ）能作出一个直角三角形 （D ）能作出一个钝角三角形
12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，角B ＝30°，那么角C 等于( ) (A)120° (B)105° (C)90° (D)75°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13.(2011·某某高考）已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________.
14.在锐角三角形ABC 中，边长a=1，b=2，则边长c 的取值X 围是________.
15.在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2C+sin 2
B+3sinCsinB ，则角A 的值为_______．
16.（2011·枣庄高二检测）在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ＝2∶1，c 2
＝b 2
+2bc ，则三内角A 、B 、C
的度数依次是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）在△ABC 中，若角B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是多少？ 18.（12分）在△ABC 中，sinA=
sinB sinC
cosB cosC
++，判断这个三角形的形状.
19.（12分）某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31公里，正沿公路向A 城走去，走了20公里后到达D 处，此时CD 间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A 城？
20.（12分）(2011·某某高考）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
已知cosA2cosC2c a cosB b
--
=
(1)求sinC
sinA
的值；
（2）若cosB=1
4
，△ABC的周长为5，求b的长.
21.（12分）在△ABC中，a2=b(b+c)，求A与B满足的关系.
22.（12分）（2011·某某高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC. （1）求角C的大小；
（2
sinA-cos(B+
4
π
)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.
答案解析
1.【解析】选B.由A+B+C=180°得A= 60°，所以b边最长.由正弦定理得
5
B.
2.【解析】选B.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又由c＝2a，∴cosB＝
222 a c b
2ac
+-
＝
2222
2
a4a ac5a2a3 2ac4a4
+--
==.
3.【解析】选A.∵C=π-(A+B),
∴sinC=sin(A+B),
∴sin(A+B)=2cosAsinB，
即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,整理得sinAcosB-cosAsinB=0, 可得sin(A-B)=0,∴A=B.故选A.
4.【解析】选D.由题意知△ABD是等腰三角形，
故cos
∠ADB=1
BD
2
AD3
=，
∴sin
∠BDC=sin∠
在△BDC 中，由正弦定理知：
BC BD
sin BDC sinC
=
∠ ∴sinC=
BD sin BDC 166
BC 236
∠=⨯=.
5.【解析】选C.由b 2
+c 2
-bc ＝a 2
得b 2+c 2-a 2
＝bc ，
∴cosA ＝222b b c 2bc +-＝1
2
，∴A ＝60°.
又a
3b ＝，∴
sinA
sinB
＝3， ∴sinB ＝
33sinA ＝33×32＝12
， ∴B ＝30°，∴C ＝180°-A-B ＝90°.
6.【解析】选C.设三角形未知两边长分别为8t 和5t （t>0），
根据余弦定理得(8t)2+(5t)2-2×8t ×5t ×cos60°=142
整理得t 2
=4,解得t=2
所以另两边长分别为16和10. 三角形面积S=
1
2
×16×10×sin60°=403. 7.【解析】选C.∵最大边长和最小边长是方程x 2
-7x+11=0的两个根，则b+c=7,bc=11, ∴a=22b c 2bccos60+-︒ =
()
2
2b c 3bc 7311+-=-⨯=4.
8.【解析】选D.由222
a c
b 2ac
+-=cosB 结合已知等式得cosB ·tanB ＝sinB=32，
∴B=
3π或23
π
. 9.【解析】选C.如图，
∵∠CBD ＝A+∠ACB ＝20°，A=10° ∴∠ACB ＝10°.
∴AB ＝BC ＝1千米．由余弦定理，知 2211211cos160+-⨯⨯⨯︒°. 10.【解析】选D.62
，
∴sinC ＝
1
2
.又∵c =b,角C 为锐角， ∴C ＝30°，∴A ＝30°，
∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c .故选D.
11.【解析】选D.根据题意，可设1115810
，，三条高所在的边长为5x,8x,10x ，又设边长为10x 的边所对的
角为θ，则cos θ=
()()()22
2
5x 8x 10x 025x 8x
+-<⨯⨯，∴θ为钝角，
故要制作的三角形为钝角三角形.
12.独具【解题提示】由正弦定理将条件中边的等式转化为角的等式求解.
【解析】选A.∵，∴sin(180°-30°°+C)＝
2sinC+1
2
cosC)，即sinC ＝cosC.∴tanC ＝又0°<C<180°， ∴C ＝120°.
13.【解析】由于三角形的三边长构成公差为4的等差数列，
所以可设三边长分别为x-4,x,x+4,由一个内角为120°，知其必是最长边x+4所对的角. 根据余弦定理得
(x+4)2=x 2+(x-4)2
-2x(x-4)·cos120°
即2x 2
-20x=0解得x=10或x=0,由题意知x>0,∴x=10,
∴S △ABC =
1
2
×10×6×sin120°
答案：14.独具【解题提示】由cosC ＞0及三角形两边之差小于第三边，求c 的X 围. 【解析】∵cosC ＞0,
∴222a b c 2ab
+-＞0，∴0＜c
又∵c ＞b-a=1，∴1＜c
答案:（1
15.【解析】在△ABC 中，根据正弦定理a b c sinA sinB sinC ＝＝＝2R ，得：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R
，sinC ＝
c
2R
， ∴2222222
a c
b 3
c b 4R 4R 4R 4R +＝，
即：a 2
＝c 2
+b 2
，∴cosA ＝222b c a 2bc +-
A ∈(0，π)，∴A ＝56
π
.
答案:
56
π
16.独具【解题提示】sinA ∶sinB=a ∶
∶1,结合余弦定理a 2
＝b 2
+c 2
-2bccosA ，消去a 2
再利用方程求解.
【解析】由题意知a
，a 2
＝b 2
+c 2
-2bccosA ，
得2b 2＝b 2+c 2
-2bccosA ， 又c 2
＝b 2
bc ，
∴cosA
，A ＝45°，sinB ＝1
2
，B ＝30°，∴C ＝105°. 答案:45°，30°，105°
17.独具【解题提示】已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论． 【解析】由正弦定理得
AC AB
sinB sinC
=
，
sinC=ABsinB AC =. ∵AB>AC ，∴C ＝60°或120°.
当角C ＝60°时，S △ABC ＝
12AC ·AB ·sinA ＝1
2×2×
×sin90°＝
； 当角C ＝120°时，S △ABC ＝12AC ·AB ·sinA ＝1
2
×2×
sin30
.
所以△ABC 的面积是
独具【方法技巧】在解决三角形问题中，面积公式S=
12absinC=12bcsinA=1
2
acsinB 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
18.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得 a=
222222
b c
c a b a b c 2ca 2ab
++-+-+
，
所以b （a 2
-b 2
）+c （a 2
-c 2
）=bc （b+c ）,
所以（b+c ）a 2=（b 3+c 3
）+bc （b+c ）,
所以a 2=b 2-bc+c 2+bc,所以a 2=b 2+c 2
. 所以△ABC 是直角三角形.
独具【方法技巧】三角形形状的判断
（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.
（2）若等式两边是关于三角形的边或内角的正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.
如asinA+bsinB=csinC ⇔a 2+b 2=c 2⇔sin 2A+sin 2B ＝sin 2
C
19.【解析】在△CDB 中，212＝202+312
-2×20×31×cosB,解得cosB ＝
2331
，
∴sin ∠ACB ＝sin(120°-B)＝
62
. 设AD ＝x ，在△ABC 中，由正弦定理
20x 31
sin ACB sin60+∠︒
＝
，∴x ＝15. 答：这个人还要走15公里才能到达A 城． 20.【解析】（1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 所以
cosA 2cosC 2c a 2sinC sinA
cosB b sinB
---==
所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB
即有sin(A+B)=2sin(B+C)即sinC=2sinA
所以
sinC
sinA
=2. (2)由（1）知sinC sinA =2，所以有c
a
=2,即c=2a.
又因为△ABC 的周长为5，所以b=5-3a 由余弦定理得：b 2=c 2+a 2
-2accosB 即（5-3a ）2
=(2a)2
+a 2
-4a 2
×
14
解得a=1或a=5(舍去） 所以b=2.
21.【解析】由已知a 2
=b(b+c)
∴a 2=b 2+bc,移项得：b 2-a 2
=-bc
由余弦定理：a 2=b 2+c 2
-2bccosA,
移项得：2bccosA=b 2-a 2+c 2
∴2bccosA=-bc+c 2
,2bcosA=-b+c
由正弦定理：2·2RsinBcosA=-2RsinB+2RsinC 2sinBcosA=-sinB+sinC=-sinB+sin(A+B) =-sinB+sinAcosB+sinBcosA
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B) ∴B=A-B 或B+（A-B ）=π（舍去） 即A 与B 满足的关系为A=2B
独具【方法技巧】由正弦定理、余弦定理进行边角转化
一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则大多用正弦定理. 22.【解析】（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 因为0<A<π,所以sinA>0.从而sinC=cosC.又cosC ≠0,所以tanC=1,则C=4
π
. （2）由（1）知B=
34
π
-A.于是
4
π
π-A)
6
π
).
因为0<A<34π,所以6π<A+6π<1112π
,
从而当A+6π=2π,即A=3π
时，
2sin(A+6
π
)取最大值2．
4π)的最大值为2，此时A=3π,B=512π
.。