苏教版九年级上册数学 期末试卷检测题(Word版 含答案)

苏教版九年级上册数学 期末试卷检测题（Word 版 含答案） 一、选择题
1．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）
A ．平均数
B ．方差
C ．中位数
D ．极差 2．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．30°或150°
D ．45°或135° 3．sin 30°的值为（ ）
A ．3
B ．32
C ．12
D ．22
4．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A ．100°
B ．72°
C ．64°
D ．36°
5．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ）
A ．3
B ．31+
C ．31-
D ．23 6．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ） A ．−2
B ．2
C ．−4
D ．4 7．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．10x =，23x =- D ．10x =，23x =
8．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=α，则∠OBC 等于（ ）
A ．180°﹣2α
B ．2α
C ．90°+α
D ．90°﹣α 9．二次函数22y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大．
A ．2x <
B ．2x >
C ．0x <
D ．0x > 10．如图，抛物线2144
y x =-与x 轴交于A 、B 两点，点P 在一次函数6y x =-+的图像上，Q 是线段PA 的中点，连结OQ ，则线段OQ 的最小值是（ ）
A ．22
B ．1
C ．2
D ．2
11．如图，BC 是
A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结
论正确的有（ ） ①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④51BC AC -=
．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．
14．如图，A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的度数是_____．
15．如图，若抛物线2
y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ，()2,B n -两点，则不等式2ax b kx h -<-的解集是______.
16．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
17．数据2，3，5，5，4的众数是____．
18．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝____°．
20．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
21．如图，ABC ∆是
O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是54
π，则O 的半径是__________．
22．数据8，8，10，6，7的众数是__________．
23．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
24．如图，将二次函数y ＝12
(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
三、解答题
25．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG ∶BG ＝3∶2．设BG 的长为2x 米．
（1）用含x 的代数式表示DF ＝ ；
（2）x 为何值时，区域③的面积为180平方米；
（3）x 为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？
26．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x =交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积；
（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
27．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
28．如图，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P，⊙P 交 CE、BD、BC 交于 F、G、H（任意两点不重合），
（1）半径 BP 的长度范围为；
（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K，若 tan ∠KFC = 3 ，求 BP；
（3）连接 GH，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M，试探究PM
BP
是否为定值，若是求出
该值，若不是，请说明理由.
29．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
30．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点A在x轴的正半轴上，B为⊙O上一点，过点A、B的直线与y轴交于点C，且OA2＝AB•AC．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝3，求直线AB对应的函数表达式．
31．在2017年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
32．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为
1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，S的最大值是多少；
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，
第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】
解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3，
∵AB＝2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数. 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】
解：sin 30°＝1 2
故选C
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．4．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
设AC、BD交于点E，过点C作CF⊥BD于点F，过点E作EG⊥CD于点G，则CF∥AB，
△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，设AB=2，则易求出CF3CEF∽△AEB，可
得
3
2
EF CF
BE AB
==，于是设EF3x，则2
BE x
=，然后利用等腰直角三角形的性质可
依次用x的代数式表示出CF、CD、DE、DG、EG的长，进而可得CG的长，然后利用正切的定义计算即得答案.
【详解】
解：设AC、BD交于点E，过点C作CF⊥BD于点F，过点E作EG⊥CD于点G，则
CF∥AB，△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，
∴△CEF ∽△AEB ， 设AB =2，∵∠ADB =30°， ∴BD =23， ∵∠BDC =∠CBD =45°，CF ⊥BD ，
∴CF=DF=BF =12
BD =3， ∴32
EF CF BE AB ==， 设EF =3x ，则2BE x =，
∴()
23BF CF DF x ===+，
∴()()2223226CD DF x x ==+=+，
()()233223DE DF EF x x x =+=++=+， ∴()()
222232622EG DG DE x x ===+=+， ∴()()226262CG CD DG x x x =-=+-
+=， ∴()62tan 312x EG ACD CG
x +∠===+.
故选：B.
【点睛】
本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.
6．B
解析：B
【解析】
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后
解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．
【详解】
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
连接OC，则有∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴2∠OBC+2α=180°，
∴∠OBC=90°-α，
故选D.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.
【详解】
22
=-+=--+，
2(1)1
y x x x
∵图像的对称轴为x=1，a=-10<，
∴当x 1<时，y 随着x 的增大而增大，
故选：C.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，当a 0a 0<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增. 10．A
解析：A
【解析】
【分析】
先求得A 、B 两点的坐标，设()6P m m -，
，根据之间的距离公式列出2PB 关于m 的函数关系式，求得其最小值，即可求得答案.
【详解】
令0y =，则21404
x -=， 解得：4x =±，
∴A 、B 两点的坐标分别为：()()4040A B -，
、，， 设点P 的坐标为()6m m -，
， ∴()()2222246220522(5)2PB m m m m m =-+-=-+=-+，
∵20>，
∴当5m =时，2PB 有最小值为：2，即PB ，
∵A 、B 为抛物线的对称点，对称轴为y 轴，
∴O 为线段AB 中点，且Q 为AP 中点，
∴12OQ PB ==． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得2PB 的最小值是解题的关键.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
①③，根据已知把∠ABD ，∠CBD ，∠A 角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC ∽△BCD ,从而确定②是否正确,根据AD =BD =BC ,即 BC AC BC AC BC -=解
得BC=
1
2
AC，故④正确.
【详解】
①BC是⊙A的内接正十边形的一边,
因为AB=AC,∠A=36°,
所以∠ABC=∠C=72°,
又因为BD平分∠ABC交AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC=36°=∠A,
∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,
∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;
又∵△ABD中，AD+BD＞AB
∴2AD＞AB,故③错误.
②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,
∴BC CD
AB BC
=,又AB=AC,
故②正确,
根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC
-
=,
解得AC,故④正确,
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 12．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
二、填空题
13．12
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△E
解析：12
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可
得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为
△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，∴AF AB
GF GD
==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
14．60°
【解析】
【分析】
直接利用圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
∵A、B 、C 是⊙O 上三点，∠ACB=30°，
∴∠AOB 的度数是：∠AOB =2∠ACB=60°．
故答案为：60°．
【点
解析：60°
【解析】
【分析】
直接利用圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠ACB=30°，
∴∠AOB 的度数是：∠AOB =2∠ACB =60°．
故答案为：60°．
【点睛】
考查了圆周角定理的运用，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
15．【解析】
【分析】
观察图象当时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当或时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【
解析：23x -<<
【解析】
【分析】
观察图象当23x -<<时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当2x <-或3x >时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【详解】
解：设21y ax h =+，2y kx b =+，
∵2ax b kx h -<-
∴2ax h kx b +<+，
∴12y y <
即二次函数值小于一次函数值，
∵抛物线与直线交点为()3,A m ，()2,B n -，
∴由图象可得，x 的取值范围是23x -<<.
【点睛】
本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.
16．15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求
解析：15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=
12
×5×2π×3=15π． 【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键. 17．5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案
解析：5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
18．【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
解析：π
【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为603 180
π⨯
=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
19．46°
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得
∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆
解析：46°
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，
然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.
【详解】
解：连接OB，OC，
∵直线EF是⊙O的切线，B是切点
∴∠OBF=90°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB＝54°
又∵∠D CB＝80°
∴∠BDC=180°-∠DBC -∠D C B=46°
∴∠BOC=2∠BDC =92°
又∵OB=OC
∴∠OBC=1
(18092)44 2
-=
∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°
故答案为：46°
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
20．【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
21．【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵，
∴∠BOC=90°，
∵的长是，
∴，
解得：
解析：52 【解析】
【分析】
连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∵45BAC ∠=︒，
∴∠BOC =90°，
∵BC 的长是
54π， ∴9051804
OB ππ⋅=， 解得：52OB =
. 故答案为：52
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键. 22．8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8 故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解
解析：8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．
23．y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再
解析：y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．24．y=0.5(x-2)+5
【解析】
解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象过点
A（1，m），B（4，n），∴m=1
2
（1﹣2）2+1=11
2
，n=1
2
（4﹣2）2+1=3，∴A（1，11
2
），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则
C（4，11
2
），∴AC=4﹣1=3．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部
分），∴AC•AA′=3AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移4
个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=1
2
（x﹣2）2+5．故答案
为y=0.5（x﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．
三、解答题
25．（1）48－12x；（2）x为1或3；（3）x为2时，区域③的面积最大，为240平方米【解析】
【分析】
（1）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用96减去所有线段的长再除以2可得DF的长度；
（2）将区域③图形的面积用关于x的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即可；
（3）令区域③的面积为S，得出x关于S的表达式，得到关于S的二次函数，求出二次函数在x取值范围内的最大值即可.
【详解】
（1）48－12x
（2）根据题意，得5x(48－12x)＝180，
解得x1＝1，x2＝3
答：x为1或3时，区域③的面积为180平方米
（3）设区域③的面积为S，则S＝5x(48－12x)＝－60x2＋240x＝－60(x－2)2＋240
∵－60＜0，∴当x＝2时，S有最大值，最大值为240
答：x为2时，区域③的面积最大，为240平方米
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题中的等量关系，正确得出区域面积的表达式.
26．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标
为(5
3
，0)或(
7
3
，0)或(﹣1，0)或(5，0)
【解析】【分析】
（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；
（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，与x 轴交于D ，得到y ＝2x−1，求得BD 于是得到结论；
（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得
MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=，可求得N 点的坐标．
【详解】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a （0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+1，
即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得22-2y x x y x ⎧=+⎨=⎩﹣， 解得20x y =⎧⎨=⎩
或13x y =-⎧⎨=-⎩，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，与x 轴交于D ，
把A （1，1），C （﹣1，﹣3）的坐标代入得13k b k b =+⎧⎨-=-+⎩
， 解得：21k b =⎧⎨=-⎩
， ∴y=2x ﹣1，当y=0，即2x ﹣1=0，解得：x=
12，∴D （12，0）， ∴BD=2﹣12=32
， ∴△ABC 的面积=S △ABD +S △BCD =
12×32×1+12×32×3=3； （3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），
∴ON=|x|，MN=|﹣x 2+2x|，由（2）知，
，
，
∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=， ①当MN ON AB BC =时，
∴=|x||﹣x+2|=13|x|， ∵当x=0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=
13，∴﹣x+2=±13，解得x=53或x=73，此时N 点坐标为（53，0）或（73
，0）；
②当或MN
ON BC AB =时，∴22322
x x x -+=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（
53，0）或（73
，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
27．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）先运用SAS 判定△AED ≌△FDE ，可得DF=AE ，再根据AE=AB=CD ，即可得出CD=DF ； （2）当GB=GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
【详解】
（1）由旋转可得，AE ＝AB ，∠AEF ＝∠ABC ＝∠DAB ＝90°，EF ＝BC ＝AD ，
∴∠AEB ＝∠ABE ，
又∵∠ABE+∠EDA ＝90°＝∠AEB+∠DEF ，
∴∠EDA ＝∠DEF ，
又∵DE ＝ED ，
∴△AED ≌△FDE （SAS ），
∴DF ＝AE ，
又∵AE ＝AB ＝CD ，
∴CD ＝DF ；
（2）如图，当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G 在AD 右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于M ，
∵GC ＝GB ，
∴GH ⊥BC ，
∴四边形ABHM 是矩形，
∴AM ＝BH ＝12AD ＝12
AG ， ∴GM 垂直平分AD ，
∴GD ＝GA ＝DA ，
∴△ADG 是等边三角形， ∴∠DAG ＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，
∴∠DAG ＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS ）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS ）与性质的运用．
28．（1）
95102BP <<；（2）BP=1；（3）1125PM BP = 【解析】
【分析】
（1）当点G 和点E 重合，当点G 和点D 重合两种临界状态，分别求出BP 的值，因为任意点都不重合，所以BP 在两者之间即可得出答案；
（2）∠KFC 和∠BFE 是对顶角，得到tan =3BE BFE EF
∠=，得出EF 的值，再根据△BEF ∽△FEG ，求出EG 的值，进而可求出BP 的值；
（3）设圆的半径，利用三角函数表示出PO ，GO 的值，看PP G '∆用面积法求出P Q '，在P GQ '∆中由勾股定理得出MQ 的值，进而可求出PM 的值即可得出答案．
【详解】
（1）当G 点与E 点重合时，BG=BE ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=3，
∴BD=5，
∵CE ⊥BD ，
∴1122
BC CD BD CE ⋅=⋅, ∴125CE =
, 在△BEC 中，由勾股定理得：
221293()55
BE =-=, ∴910
BP =, 当点G 和点D 重合时，如图所示：
∵△BCD 是直角三角形，
∴BP=DP=CP ,
∴52
BP =， ∵任意两点都不重合，
∴95102
BP <<， （2）连接FG ，如图所示：
∵∠KFC=∠BFE ，tan ∠KFC = 3，
∴tan 3BFE ∠=，
∴3BE EF
=， ∴335
BE EF =
=, ∵BG 是圆的直径，
∴∠BFG=90°， ∴∠GFE+∠BFE=90°，
∵CE ⊥BD ，
∴∠FEG=∠FEB=90°，
∴∠GFE+∠FGE=90°，
∴∠BFE=∠FGE
∴△BEF ∽△FEG ，
∴2EF BE EG =⋅, ∴99255
EG =, ∴15EG =
, ∴BG=EG+BE=2，
∴BP=1，
（3）
PM BP
为定值， 过P '作P Q BD '⊥,连接P G '，P M '，P P '交GH 于点O ，如下图所示：
设5BP x PG P G P M ''====，
则3PO P O x '==，4GO x =， ∴1122
P Q PG GO PP ''⋅=⋅， ∴245
P Q x '=， ∴2275MQ GQ P G P Q x ''==
-=， ∴145
MG x =， ∴115PM PG MG x =-=
， ∴1111:5525
PM x x BP == 【点睛】
本题考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的运用，三角函数，相似三角形的判定和性质等知识点，属于圆和矩形的综合题，难度中等偏上，利用数形结合思想和扎实的基础是解决本题的关键．
29．（1）相切，证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）欲证明CD 是切线，只要证明OD ⊥CD ，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OBE 中，根据OE 2=EB 2+OB 2，可得（8﹣r ）2=r 2+42，推出r=3，由tan ∠E=
OB CD EB DE =，推出348CD =，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC ，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=OB CD EB DE
=，
∴3
48
CD =，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，2222
6662
AB BC
++=
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
30．（1）见解析；（2）
323 y x
=+
【解析】
【分析】
，
（1）连接OB，根据题意可证明△OAB∽△CAO，继而可推出OB⊥AB，根据切线定理即可求证结论；
（2）根据勾股定理可求得OA＝2及A点坐标，根据相似三角形的性质可得OB AB CO AO
=，
进而可求CO的长及C点坐标，利用待定系数法，设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，再把点A、C的坐标代入求得k、b的值即可．
【详解】
（1）证明：连接OB．
∵OA 2＝AB •AC ∴OA AB AC OA
=, 又∵∠OAB ＝∠CAO ，
∴△OAB ∽△CAO ，
∴∠ABO ＝∠AOC ，
又∵∠AOC ＝90°，
∴∠ABO ＝90°，
∴AB ⊥OB ；
∴直线AB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠ABO ＝90°，3AB =OB ＝1， ∴()2
222312OA AB OB =+=+=， ∴点A 坐标为（2，0），
∵△OAB ∽△CAO ，
∴
OB AB CO AO =， 即132
CO =， ∴23CO =
， ∴点C 坐标为23⎛ ⎝⎭
；
设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx +b ， 则02233
k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，
∴
3
3
23
3
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴
323
33
y x
=-+．
即直线AB对应的函数表达式为
323
y x
=-+．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质、圆的切线定理、勾股定理、一次函数解析式等知识，解题的关键是正确理解题意，求出线段的长及各点的坐标．
31．
1
4
【解析】
【分析】
根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】
根据题意画出树状图如下：
一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P=
1
4
．
考点：列表法与树状图法．
32．(1)当t为
5
2
秒时，S最大值为
18
5
；（2）
20
13
；（3）
5
2
或
25
13
或
40
13
．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=
PH AP
BC AB
，从而求出AB，再根据5
35
PH t-
，得出PH=3﹣
3
5
t，则△AQP的面积为：
1
2
AQ•PH=
1
2
t（3﹣
3
5
t），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=
AE AP
AC AB
，求
出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE ﹣AQ ，QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12
t+2，再求t 即可； （3）由（1）知，PD=﹣
35t+3，与（2）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出
△APQ 中，分三种情况讨论：①当AQ=AP ，即t=5﹣t ，②当
PQ=AQ ，③当PQ=AP ﹣t ，再分别计算即可．
【详解】
解：（1）如图甲，过点P 作PH ⊥AC 于H ，
∵∠C=90°，
∴AC ⊥BC ，
∴PH ∥BC ，
∴△APH ∽△ABC ， ∴=PH AP BC AB
， ∵AC=4cm ，BC=3cm ，
∴AB=5cm ， ∴5=35
PH t -， ∴PH=3﹣
35t ， ∴△AQP 的面积为： S=12×AQ×PH=12×t×（3﹣35t ）=﹣310（t ﹣52
）2+185， ∴当t 为
52秒时，S 最大值为185cm2． （2）如图乙，连接PP′，PP′交QC 于E ，
当四边形PQP′C 为菱形时，PE 垂直平分QC ，即PE ⊥AC ，QE=EC ，
∴△APE ∽△ABC ， ∴=AE AP AC AB
， ∴AE=(5)4=5AP AC t AB ⋅-⨯=﹣45
t+4 QE=AE ﹣AQ ═﹣
45t+4﹣t=﹣95t+4， QE=12QC=12（4﹣t ）=﹣12
t+2，
∴﹣95t+4=﹣12t+2， 解得：t=2013， ∵0＜2013
＜4， ∴当四边形PQP′C 为菱形时，t 的值是
2013s ； （3）由（1）知，
PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=AD ﹣AQ=﹣95
t+4 ∴PQ=222239=3455PD QD t t ⎛⎫⎛⎫+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=218t 18t 255-+， 在△APQ 中，
①当AQ=AP ，即t=5﹣t 时，解得：t 1=52； ②当PQ=AQ ，即
218t 18t 255-+=t 时，解得：t 2=2513，t 3=5； ③当PQ=AP ，即
218t 18t 255-+=5﹣t 时，解得：t 4=0，t 5=4013； ∵0＜t ＜4，
∴t 3=5，t 4=0不合题意，舍去，
∴当t 为52s 或2513s 或4013
s 时，△APQ 是等腰三角形．。