江苏省泰州市兴化一中2018届高三(上)期初数学试卷(文科)(含解析)

2017-2018学年江苏省泰州市兴化一中高三（上）期初数学试卷
（文科）
一、填空题：
1、命题“∃x∈R，2x≥0”否定是、
2、集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=、
3、p：x≠2或y≠4是q：x+y≠6条件、（四个选一个填空：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要、
4、已知函数f（x）=，则f（﹣9）=、
5、曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处切线方程为、
6、若，则=、
7、设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）值为、
8、设△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=2，b=3，cosC=，则sinA=、
9、已知α、β都是锐角，且，，则cosα=、
10、f（x）=3sinx，x∈[0，2π]单调减区间为、
11、将函数图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点
横坐标变为原来倍（纵坐标不变），则所得图象函数解析式为、
12、在△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A﹣C）=sinB，则△ABC面积为、
13、在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别
是角A、B、C所对边，则最大值为、
14、若实数a、b、c、d满足（b﹣elna）2+（c﹣d+3）2=0（其中e是自然底数），则（a﹣c）2+（b﹣d）2最小值为、
二、解答题：
15、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边，且满足a＜b＜c，b2=2asinB、
（1）求A大小；
（2）若，求△ABC面积、
16
、设函数f（x）=sin（2x+）+cos2x+sinxcosx、
（1）若|x|＜，求函数f（x）值域；
（2）设A，B，C为△ABC三个内角，若f（）=，cos（A+C）=﹣，求cosC 值、
17、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在时取得最
大值4，在同一周期中，在时取得最小值﹣4、
（1）求函数f（x）解析式及单调增区间；
（2）若，α∈（0，π），求α值、
18、为了制作广告牌，需在如图所示铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FE⊥FH、为裁剪出面积尽可能大梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C、D放在斜边EH上，且AD∥BC∥HF，设∠AOE=θ、
（1）求梯形铁片ABCD面积S关于θ函数关系式；
（2）试确定θ值，使得梯形铁片ABCD面积S最大，并求出最大值、
19、已知函数f（x）=+（1﹣a2）x2﹣ax，其中a∈R、
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程为8x+y﹣2=0，求a值；（2）当a≠0时，求函数f（x）（x＞0）单调区间与极值；
（3）若a=1，存在实数m，使得方程f（x）=m恰好有三个不同解，求实数m取值范围、
20、已知函数f（x）=e x+（a∈R）是定义域为R奇函数，其中e是自然对数底数、
（1）求实数a值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0成立，求实数t 取值范围；
（3）若函数y=e2x+﹣2mf（x）在（m，+∞）上不存在最值，求实数m取值范围、
2017-2018学年江苏省泰州市兴化一中高三（上）期初数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题：
1、命题“∃x∈R，2x≥0”否定是∀x∈R，2x＜0、
【考点】2I：特称命题、
【分析】利用特称命题否定是全称命题即可得出、
【解答】解：命题“∃x∈R，2x≥0”否定是：∀x∈R，2x＜0、
故答案为：：∀x∈R，2x＜0、
2、集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5} 、
【考点】1E：交集及其运算、
【分析】利用交集定义直接求解、
【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，
∴A∩B={3，5}、
故答案为：{3，5}、
3、p：x≠2或y≠4是q：x+y≠6必要不充分条件、（四个选一个填空：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要、
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件判断、
【分析】求出￢q与￢p条件关系，结合逆否命题等价性进行判断即可、
【解答】解：￢p：x=2且y=4，￢q：x+y=6，
当x=2且y=4时，x+y=6成立，
当x=3，y=3时，满足x+y=6，但x=2且y=4不成立，
即￢q是￢p必要不充分条件，
则p是q必要不充分条件，
故答案为：必要不充分、
4、已知函数f（x）=，则f（﹣9）=2、
【考点】5B：分段函数应用、
【分析】根据f（x）周期可知f（﹣9）=f（1）、
【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=f（x+2），
∴f（x）在（﹣∞，2）上是周期为2函数，
∴f（﹣9）=f（1）=3﹣1=2、
故答案为：2、
5、曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处切线方程为y=2x﹣e、
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程、
【分析】先求导函数，求曲线在点（e，e）处切线斜率，进而可得曲线y=xlnx 在点（e，e）处切线方程
【解答】解：求导函数，y′=lnx+1
∴当x=e时，y′=2
∴曲线y=xlnx在点（e，e）处切线方程为y﹣e=2（x﹣e）
即y=2x﹣e
故答案为：y=2x﹣e、
6、若，则=、
【考点】GH：同角三角函数基本关系运用；GK：弦切互化、
【分析】分式分子、分母同除cosα，利用已知条件求出分式值、
【解答】解：、
故答案为：
7、设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）值为、
【考点】GL：三角函数中恒等变换应用；GP：两角和与差余弦函数；GQ：两角和与差正弦函数；GS：二倍角正弦、
【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用
两角和正弦公式得到sin（2α+）值、
【解答】解：设β=α+，
∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，
∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=、
故答案为：、
8、设△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=2，b=3，cosC=，则sinA=
、
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理、
【分析】由余弦定理可得：解得c=3、△ABC是等腰三角形、于是cosC==sin，
cos=、利用sinA=2sin cos即可得出、
【解答】解：由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=22+32﹣2×2×3×=9，
解得c=3、
∴△ABC是等腰三角形、
∴cosC==sin，
cos==、
∴sinA=2sin cos=，
故答案为：、
9、已知α、β都是锐角，且，，则cosα=、【考点】GP：两角和与差余弦函数；GQ：两角和与差正弦函数、
【分析】由于α=（α+β）﹣β，利用两角差余弦即可求得cosα、
【解答】解：α、β都是锐角，且，，
∴sin（α+β）=，cosβ=，
∴cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=﹣×+×=；
故答案为：
10、f（x）=3sinx，x∈[0，2π]单调减区间为[，] 、
【考点】H5：正弦函数单调性、
【分析】直接代入正弦函数在[0，2π]单调减区间即可得到结论、
【解答】解：∵y=sinx在[，]上递减，
故y=3sinx在[0，2π]单调减区间为[，]、
故答案为：[，]、
11、将函数图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点
横坐标变为原来倍（纵坐标不变），则所得图象函数解析式为y=sin4x、【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）图象变换、
【分析】按照左加右减原则，求出函数所有点向右平移个单位
解析式，然后求出将图象上所有点横坐标变为原来倍时解析式即可、
【解答】解：将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数
=sin2x，
再将图象上所有点横坐标变为原来倍（纵坐标不变），
则所得图象函数解析式为y=sin4x、
故答案为：y=sin4x、
12
、在△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A﹣C）=sinB，则△ABC面积为或
、
【考点】HT：三角形中几何计算、
【分析】由条件sin2A+sin（A﹣C）=sinB，求得A=C或A=，在分类求出三角形面积即可
【解答】解：∵△ABC中，sin2A+sin（A﹣C）=sinB，
∴2sinAcosA=sin（A+C）﹣sin（A﹣C），
∴2snAcosA=2cosAsinC，
∴2sinAcosA﹣2cosAsinC=0，
即2cosA（sinA﹣sinC）=0，
所以cosA=0或sinA=sinC，
解得A=，或A=C，
当A=C时，由b=2，B=可得A=B=C=，故△ABC为等边三角形，
∴△ABC面积为×2×2sin=，
当A=时，由b=2，B=，可得c==，
∴△ABC面积为×2×=，
故答案为：或
故答案为或
13、在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别
是角A、B、C所对边，则最大值为、
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理、
【分析】根据正弦、余弦定理化简已知条件，然后利用基本不等式即可求出所求式子最大值、
【解答】解：在三角形中，由正、余弦定理可将原式转化为：
ab•=ac•+bc•，
化简得：3c2=a2+b2≥2ab，
故≤，即最大值为、
故答案为：
14、若实数a、b、c、d满足（b﹣elna）2+（c﹣d+3）2=0（其中e是自然底数），
则（a﹣c）2+（b﹣d）2最小值为、
【考点】7F：基本不等式、
【分析】由已知得到b=elna，d=c+3，构造函数y=elnx，y=x+3，得到（a﹣c）2+（b﹣d）2表示y=elnx上点到直线y=x+3上点距离平方；求出曲线y=elnx与y=x+3平行切线切点，利用点线距离公式得到答案、
【解答】解：∵（b﹣elna）2+（c﹣d+3）2=0，
∴b=elna，d=c+3，
设函数y=elnx，y=x+3，
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2表示y=elnx上点到直线y=x+3上点距离平方，
∵对于函数y=elnx，
∴y′=，
令y′==1得x=e，
曲线y=elnx与y=x+3平行切线切点坐标为（e，e），
所以切点到直线y=x+3即x﹣y+3=0距离为d=，
所以（a﹣c）2+（b﹣d）2最小值为，
故答案为：、
二、解答题：
15、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边，且满足a＜b＜c，b2=2asinB、（1）求A大小；
（2）若，求△ABC面积、
【考点】HT：三角形中几何计算、
【分析】（1）由正弦定理化简可得A大小；
（2）由余弦定理求出c，即可求△ABC面积、
【解答】解：（1）b=2asinB，
由正弦定理：可得sinB=2sinAsinB
∵0＜B＜π，sinB＞0，
∴
由于a＜b＜c，
∴A为锐角，
∴、
（2）由，，
余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：
即c2﹣6c+8=0，
解得：c=2或c=4，
由于a＜b＜c，
∴c=4
故得△ABC面积、
16、设函数f（x）=sin（2x+）+cos2x+sinxcosx、
（1）若|x|＜，求函数f（x）值域；
（2）设A，B，C为△ABC三个内角，若f（）=，cos（A+C）=﹣，求cosC 值、
【考点】GL：三角函数中恒等变换应用；GH：同角三角函数基本关系运用、
【分析】（1）首先，化简函数，然后，利用辅助角公式，得到f（x）=2sin（2x+）
+，然后，借助于|x|＜，求解值域；
（2）首先，确定A值，然后，求解cosC值、
【解答】解：（1）∵
=，
∵∴，
∴，
∴，
∴f（x）值域为；
（2）由，得，
∵A为△ABC内角，∴，
又∵在△ABC中，，
∴，
∴，
∴cosC值为、
17、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在时取得最
大值4，在同一周期中，在时取得最小值﹣4、
（1）求函数f（x）解析式及单调增区间；
（2）若，α∈（0，π），求α值、
【考点】H2：正弦函数图象；HK：由y=Asin（ωx+φ）部分图象确定其解析式、【分析】（1）首先利用最值之间距离确定ω值，进一步确定A值，再利用点坐标确定φ值，最后求出解析式和单调区间、
（2）直接利用（1）关系式求出结果、
【解答】解：（1）依题意，A=4；
∵，
∴，
∴，
∴ω=3；
将代入f（x）=4sin（3x+φ），
得，
∵0＜φ＜π，
∴，
∴、
由⇒，（k∈Z）、
即函数f（x）单调增区间为，（k∈Z）、
（2）由，
，
，
∵α∈（0，π），
∴或，
∴或、
18、为了制作广告牌，需在如图所示铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FE⊥FH、为裁剪出面积尽可能大梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C、D放在斜边EH上，且AD∥BC∥HF，设∠AOE=θ、
（1）求梯形铁片ABCD面积S关于θ函数关系式；
（2）试确定θ值，使得梯形铁片ABCD面积S最大，并求出最大值、
【考点】HW：三角函数最值、
【分析】（1）利用含有θ代数式表示梯形ABCD上下底面边长和高，代入梯形面积公式求得ABCD面积S关于θ函数关系式；
（2）对得到面积关于θ关系式求导，求出函数极值点，也就是最大值点，则面积最大值可求、
【解答】解：（1）连接OB，根据对称性可得∠AOE=∠BOF=θ且OA=OB=1，
∴AD=1﹣cosθ+sinθ，BC=1+cosθ+sinθ，AB=2cosθ，
∴，其中；
（2）记，
f′（θ）=2（cos2θ﹣sinθ﹣sin2θ）=、
当时，f′（θ）＞0，当时，f′（θ）＜0，
∴，即时，、
19、已知函数f（x）=+（1﹣a2）x2﹣ax，其中a∈R、
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程为8x+y﹣2=0，求a值；（2）当a≠0时，求函数f（x）（x＞0）单调区间与极值；
（3）若a=1，存在实数m，使得方程f（x）=m恰好有三个不同解，求实数m取值范围、
【考点】6D：利用导数研究函数极值；6B：利用导数研究函数单调性、
【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣8，求得a值，分别求得切线方程，与原切线方程比较，即可求得a值；
（2）求导，根据导数与函数单调性关系，分类讨论，即可求得函数f（x）（x＞0）单调区间与极值；
（3）由（2）可知：根据函数单调性，求得f（x）极值，分别作出函数
与y=m图象，从图象上可以看出当时，两个函数图象有三个不同交点，即可求得m取值范围、
【解答】解：（1）f'（x）=ax2+（1﹣a2）x﹣a，由8x+y﹣2=0可得f'（1）=﹣8，即f'（1）=a+（1﹣a2）﹣a=﹣8，解得a=±3，
当a=3时，f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f（1）=﹣6，f'（x）=3x2﹣8x﹣3，f'（1）=﹣8，当a=﹣3时，f（x）=﹣x3﹣4x2+3，f（1）=﹣2，f'（x）=﹣3x2﹣8x+3，f'（1）=﹣8，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y+2=﹣8（x﹣1），即8x+y﹣6=0不符合题意，舍去，
故a值为3、
（2）当a≠0时，f′（x）=ax2+（1﹣a2）x﹣a=（x﹣a）（ax+1）=a（x﹣a）（x+），当a＞0时，令f'（x）=0，则
当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：
），
∴f（x）单调递增区间为，单调递减区间为、函数f（x）在处取得最大值，且
、
函数f（x）在x2=a处取得极小值f（a），且
，
当a＜0时，令f'（x）=0，则，
当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：
），
∴f（x）单调递减区间为，单调递增区间为，
函数f（x）在处取得极大值，
且、
函数f（x）在x2=a处取得极小值f（a），且
，
（3）若a=1，则，
由（2）可知在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）内增函数，在区间（﹣1，1）内为减函数，
函数f（x）在x1=1处取极小值f（1），且、
函数f（x）在x2=﹣1处取得极大值f（﹣1），且、
如图分别作出函数与y=m图象，
从图象上可以看出当时，两个函数图象有三个不同交点，
即方程f（x）=m有三个不同解，
故实数m取值范围为、
20、已知函数f（x）=e x+（a∈R）是定义域为R奇函数，其中e是自然对数底数、
（1）求实数a值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0成立，求实数t 取值范围；
（3）若函数y=e2x+﹣2mf（x）在（m，+∞）上不存在最值，求实数m取值范围、
【考点】3H：函数最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题、
【分析】（1）根据题意，由奇函数性质可得以
，解可得a值；
（2）由函数为奇函数可得f（x2+x）＜f（tx﹣2），对f（x）求导分析可得f（x）为增函数，进而分析可以将不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0转化为存在x∈（0，+∞），x2+x＜tx﹣2成立，由基本不等式性质分析可得答案、
（3）根据题意，计算可得y=e2x+﹣2mf（x）解析式，用换元法分析可得y=t2
﹣2mt+2，在上不存在最值，由二次函数性质分析可得答案、
【解答】解：（1）因为在定义域R上是奇函数，
所以
即恒成立，
所以a=﹣1，此时，
（2）因为f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0
所以f（x2+x）＜﹣f（2﹣tx）
又因为在定义域R上是奇函数，
所以f（x2+x）＜f（tx﹣2）
又因为恒成立
所以在定义域R上是单调增函数
所以存在x∈（0，+∞），使不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0成立
等价于存在x∈（0，+∞），x2+x＜tx﹣2成立，
所以存在x∈（0，+∞），使（t﹣1）x＞x2+2，即
又因为，当且仅当时取等号
所以，即，
注：也可令g（x）=x2﹣（t﹣1）x+2
①对称轴时，即t≤1g（x）=x2﹣（t﹣1）x+2在x∈（0，+∞）是单调增函数、
由g（0）=2＞0不符合题意
②对称轴时，即t＞1
此时只需△=（t﹣1）2﹣8≥0得或者
所以
综上所述：实数t取值范围为、
（3）函数
令
则在x∈（m，+∞）不存在最值等价于函数y=t2﹣2mt+2，
在上不存在最值，
由函数y=t2﹣2mt+2，对称轴为t0=m得：成立，
令
由
所以在m∈R上是单调增函数、又因为g（0）=0，
所以实数m取值范围为m＞0、。