地震纵波和横波传播的动力学特点

§地震纵波和横波传播的动力学特点
序：在无限均匀的、各向同性的、理想的弹性介质中，只存在纵波和横波。

1． 讨论这种介质中波传播的动力学特点(A 、f 、φ的变化) 2． 讨论这种介质中波场的定量计算 3． 讨论粘弹介质的情况 一、地震波的球面扩散 1．波动方程
F U grad t U
ρμθμλρ+∇++=∂∂222)( (6.1-8) 其中 λ、μ是拉梅常数， ρ是密度
k w j v i u U ++=
是位移向量
k f j f i f F z y x ++=
是外力向量
22
22222
z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 是拉普拉斯算子
z
w
y v x u U div ∂∂+
∂∂+∂∂=
=θ 是体变系数 k z j y i x grad ∂∂+∂∂+∂∂=θ
θθθ 是体变系数的梯度
2．复习场论的几点内容
y grady div grady rot x rot div x div rot 2)(0)(0
)(0)(∇====
胀缩力，产生固体、气体、液体的 剪切力、产生固体的转 体积大小变化，形成纵波是无旋场 动，形成横波，是无散场。

3．纵波的波动方程 〔1〕方程
如果外力是胀缩力、无剪切力，则外力矢量F 是无旋场，位移矢量U 就是无旋的。

即0,0==u rot F rot ，则说明介质中的各小部分只有体积的胀缩，而没有转动，介质中就只有纵波而没有横波。

对〔〕求散度(div)得纵波方程：
F div t =∇+-∂∂θρμλθ2
2
22
或 F div V t
p =∇-∂∂θθ
2222 (6.1-9)
（2） 物理意义
如果对介质作用胀缩外力div F 的话，产生由体变系数θ决定的介质体积相对胀缩的扰动，这就是纵波，纵波的传播速度为
ρ
μ
λ2+=p V (6.1-11)
4．横波的波动方程 （1） 方程
如果外力是剪切力无胀缩力，则外力矢量F 是无散的。

位移矢量U 就是无散的。

即0,0==u div F div ，则表示介质各小部分只有转动而没有体积的胀缩，介质中就只有横波而无纵波。

对〔〕式求旋度〔rot 〕得横波方程
F rot w t
w =∇-∂∂2
2
2ρμ 或 F rot w V t w
s =∇-∂∂2222 〔〕
其中 U rot w =
〔2〕物理意义：
如果对介质作用旋转外力rot F 的话，产生由向量w 决定的角度转动的扰动，这就是横波，横波的传播速度为
ρ
μ
=
s V (6.1-11) 大家知道气体和液体中不可能有横波，为什么呢？因为无法对气体和液体施加旋转力或剪切力。

5．用位移位表示纵、横波的波动方程
就象重力场可用重力位．．．、电场可用电位．．来描述一样，地震波场也可用质点位移的位移位．．．
描述。

根据涡流电场的理论：任何一个矢量场，如果在定义域内有散度和旋度，则任何一个矢量场=该矢量场的标量位的梯度+该矢量场的矢量位的旋度 则位移矢量场=位移矢量场的标量位的梯度+位移矢量场的矢量位的旋度， 即
ψ
+Φ=+=+=+=rot grad F F F rot grad U U U s p s p ϕφ (6.1-12)
其中φ——位移场的标量位
ϕ——位移场的矢量位
Φ——标量力位 ψ——矢量力位
将〔〕代入〔〕和(6.1-10)，得
用位移位表示的纵波波动方程：Φ=∇-∂∂φφ
2222p V t
3)
用位移位表示的横波波动方程：ψ=∇-∂∂ϕϕ
2222S V t 4)
6．求解波动方程 （1） 求解齐次波动方程 ①齐次方程
要研究波的动力学特点，则要求解其波动方程。

求解波动方程要知道初始条件。

地震勘探中一般用炸药震源，激发出的脉冲波的延续时间为Δt ，可写成：
⎪⎩
⎪
⎨⎧∆〉∆≤≤Φ〈=Φt t t t t t 00)(00
5)
5)式中，当t>Δt 时，0=Φ的物理意义是震源力作用已结束，波动在弹性介质中传播，标量力位Φ=0，矢量力位ψ=0，此时波动方程〔〕和〔〕变为齐次方程：
02
222=∇-∂∂φφp V t
6) 02
22
2=∇-∂∂ϕϕS V t
7) ②齐次方程的解
齐次方程的解只研究波与介质性质的关系，而不考虑震源力的作用，这类问题属于波的传播问题。

但波的性质首先决定于震源的性质，则必须将波动与震源联系起来，这就要求解非齐次方程，这类问题属于波的激发问题。

因此研究波动方程的解时，思想方法是：先求解齐次方程，这样数学上容易处理，只研究波同介质的关系，不涉及震源，使问题单一化。

然后再研究激发问题，把波同震源联系起来。

纵波和横波的波动方程〔〕和〔〕形式完全一样，求解的数学过程完全相同，
下面以纵波为例。

用图所示的球腔震源模拟实际炸药震源，半径为a 的球腔具有球形对称性，均匀作用在球腔壁上的力是单位正压力P 0 。

P8 图
考虑到球形对称性，将〔〕用球坐标〔r ，α,β〕表示，因为球形对称性，方程与α、β无关，于是〔〕成为：
0)2(2
2
222=∂∂+∂∂-∂∂r r r
V t p φφφ 〔〕 可见方程只与传播距离r 有关，三维波动方程变成一维波动方程。

如果令
φφr =1 ， 上式成为
02
1
2
2212=∂∂-∂∂r
V t p
φφ 〔〕 上式为弦方程，可用达朗贝尔法解，得 )()(211p
p V a
r t C V a r t C r -++--
==φφ 〔20〕 a ——是震源球腔半径 r ——是传播距离 V p ——纵波速度
)(1p
V a
r t C --
表示随时间增加，波动向远离震源的方向传播。

)(2p
V a
r t C -+
表示随时间增加，波动由远处向震源传播。

不符合物理意义，舍去。

f(x) C(t)
f(x-vt) C(t-Δt)
V a
r t -=∆
〔20〕变成： )(11p
V a
r t C r --
==φφ 〔21〕 或)(1111p V a r t C r r --==φφ 〔22〕
③齐次方程解的物理意义
从上述波传播问题的解中可看出，在震源作用结束之后，纵波是以速度V p
沿径向r 方向远离震源传播。

传播速度V p 只决定于介质的常数λ、μ、ρ。

ρ
μ
λ2+=
p V (6.1-11) 类似地可推知：横波以速度V s 沿径向r 方向远离震源传播，其传播速度仅决定于介质参数μ、ρ。

ρ
μ
=s V (6.1-11) 〔2〕求解非齐次方程
①求解：
波的传播问题只描述了波动的某些特点，还不能明确地给出波动的任何具体状态，因为C 1是一个任意的函数。

要研究解的性质，就必须研究C 1函数同震源的关系，这就是第二步要研究的波的激发问题。

对球腔纵波震源来说，非齐次方程的位移解为〔参考[6][7]〕：
r r e V r a e r a r a aP u p r ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-=
--ωτωτωτμ
ξττξsin 2)()cos 2(sin )(21)(4220
(6.1-23)
第一项 第二项 第三项
其中p V a
r t --=τ； p s
aV V 2
2=ξ ； 2
121)(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=s p V V ξω
从〔〕式可以看出，纵波质点位移解可分成三项。

第一项为不随时间而变化的非振荡项；第二项和第三项均为与时间有关的振荡项。

当波远离震源时满足
a<<r 时，第一项和第二项因含因子22
r a 而衰减很快，可忽略，上式变成：
r
r
e rV P a u p
r ωτ
μξτsin 2202--=
(6.1-24) ②纵波非齐次方程解〔〕式的物理意义 a ．指数衰减的正弦振动
在球腔壁上作用单位正压力，即纵波激发时，弹性介质中产生纵波，其质点位移是随时间增加而指数衰减的正弦振动．．．．．．．．．，衰减的快慢与系数ξ有关。

B ．球面扩散
振动的强弱决定于系数
p
rV P a μ2202- ，由于该系数中只有r 为变量，说明振
动的强度随波传播距离r 的增大而减小，在地震勘探中称为球面扩散．．．．。

01
A r
A r =
C ．振动方向∥传播方向
纵波的质点位移方向．．．．．．r u 与波的传播方向．．．．．．．r 是一致．．的。

③对横波震源的说明：
如果在半径为 a 的球腔壁上突然加上一剪切力，这时只产生横波。

为使问题研究方便起见，我们限于研究某一平面内〔例如水平面内〕的偏振横波，这样在球坐标内横波的位移分量只有αu ，(0==βu u r ,因为横波在传播方向上不会有位移，另一方向上为简单起见而不研究〕。

令加在球腔壁上的切应力为单位切应力S 0，则在远离震源处横波的质点位移表达式是：
)23sin(322302τμταa V e r
S a u s a V
s --= 5)
P9 图
〔〕式横波解的物理意义：
a. 指数衰减的正弦振动
在球腔壁上加上单位切应力S 0后，横波的质点位移是衰减的正弦振动．．．．．．．。

衰减的快慢的决定于系数a
V s
的大小。

b. 球面扩散
横波的振幅也随传播距离的增大而减小，也就是横波也具有球面扩散．．．．。

c. 振动方向⊥传播方向
横波在球坐标内有位移αu ，α与r 是正交的，所以横波的质点位移振．．．．．动方向与波的传播方向垂直．．．．．．．．．．．．。

7．总结
〔1〕纵波〔P 波〕——介质中质点的振动方向与波的传播方向平行。

（2） 横波〔S 波〕——介质中质点的振动方向与波的传播方向垂直。

(3)射线平面——入射线与界面法线构成的平面。

O S
地面。