7.0无量纲化

当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力. 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.
第七章 量纲分析和无量纲化
3
原子弹爆炸的能量估计 1945年7月16日,美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多 沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。 但在当时,有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的,一般人 无法得到任何有关的数据或影像资料,因此人们无法比较 准确地了解这次爆炸的威力究竟有多大。两年以后，美 国政府首次公开了这次爆炸的录影带，但没有发布任何 有关的数据。英国物理学家G. I. Taylor(1886--1975)通过 研究这次爆炸的录影带，建立数学模型对这次爆炸所释 放的能量进行了估计，得到的估计值为19.2千吨（千吨 即相当于1千吨TNT的核子能量）。后来正式公布的信息
1 0 2 −3 −1 0 1 −2 0 −2 0 0 1 1 1
r1 − 2r3 r2 + 2r3
1 0 0 −5 −3 0 1 0 2 0 0 0 1 1 1
5 y4 y1 − 3 y5 = 0 y 2 + 2 y4 = − y 3 − y4 y5 =
1 0 −2 y4 0 0
0
L
y
y3 + y 4
M T
y2
y1 − 2 y 4
=LM T
0 0
0
y3 + y 4 = 0 y2 = 0 y − 2y = 0 4 1
第七章
基本解
= ( y1 , y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, − 1, 1)T
T
t l g = π F (π ) = 0
第七章
α1 = 0 α 2 = 1 / 2 α = −1 / 2 3
l t =λ g
l t = 2π g
9
量纲分析和无量纲化
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f (t , m, l , g ) = 0
t m l g =π
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, π为无量纲量
第七章 量纲分析和无量纲化
4
显示，这次爆炸所释放的实际能量为21千吨，可见两 者是相当接近的。 Taylor知道，爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈 球面向四周传播，爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波 波传播得越远，而冲击波又可以通过爆炸形成的“蘑菇 云”反映出来。Taylor研究这次爆炸的录影带，测量出 了从爆炸开始，不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”的半 半径大小。 下表是他测量出的时刻t所对应的“蘑菇云”的半径 r(t).现在的任务就是利用表中数据和其他知识，估计这 次爆炸所释放的能量。
F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …,Байду номын сангаасqm) =0 等价, F未定。
第七章 量纲分析和无量纲化
11
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f (t , m, l , g ) = 0
t m l g =π
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, π为无量纲量
0 0 1
y3 + y 4 = 0 y2 = 0 y − 2y = 0 4 1
第七章
基本解
y
T
= ( y1 , y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, − 1, 1)T
t l g = π F (π ) = 0
2 −1
(t = λ l / g )
12
量纲分析和无量纲化
原子弹爆炸的能量估 计 1945年7月16日,美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多 沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。 但在当时,有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的,一般人 无法得到任何有关的数据或影像资料,因此人们无法比较 准确地了解这次爆炸的威力究竟有多大。两年以后，美 国政府首次公开了这次爆炸的录影带，但没有发布任何 有关的数据。英国物理学家G. I. Taylor(1886--1975)通过 研究这次爆炸的录影带，建立数学模型对这次爆炸所释 放的能量进行了估计，得到的估计值为19.2千吨（千吨 即相当于1千吨TNT的核子能量）。后来正式公布的信息
量纲分析和无量纲化
( 6)
( 7)
( 9) (10 )
19
第七章
原子弹爆炸能量估计的数值计算
t E r = ρ
2 1/ 5
t 6 P 5 1/ 5 t 6 P 5 1/ 5 时间 t 非常短 ≈ ψ (0) ψ ψ 2 3 E2ρ 3 E ρ 能量 E 非常大
2 −1
(t = λ l / g )
10
量纲分析和无量纲化
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, …, qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, … , Xn 是基本量 纲, n≤m, q1, q2, … , qm 的量纲可表为
[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1
第七章 量纲分析和无量纲化
13
2. 建立数学模型
量纲分析法
还可能有“蘑菇云”周围的空气密度（记为 ρ）和大气 压 强(记为P), 将要寻求的关系
记爆炸能量为E, 将“蘑菇云”近似看成一个球形形状。 除时刻t和能量E外，与“蘑菇云”的半径r有关的物理量
r = ϕ (t, E, ρ , P )
( 1)
A3×5
r2 ↔ r3
1 0 2 −3 −1 0 1 −2 0 −2 0 0 1 1 1
因为A的秩是3，所以齐次方程组
= Ay 0, = y
有5-3=2个基本解.
( y1 , y2 , y3 , y4 , y5 )
T
( 5)
第七章
量纲分析和无量纲化
16
A3×5
r2 ↔ r3
( 3)
([ r ] [ t ] [ E ] [ ρ ] [ P ])
1 0 2 −3 −1 ( L M T ) 0 0 1 1 1 0 1 −2 0 −2
第七章 量纲分析和无量纲化
15
由此得到量纲矩阵
1 0 2 −3 −1 A3×5 = 0 0 1 1 1 0 1 −2 0 −2
2 1 1 = y1 1, = y5 0, 则 y4 = , y2 = − , y3 = − . 令 5 5 5 2 6 3 = y1 0, = y5 1, 则 y4 = − , y2 = , y3 = − . 令 5 5 5
第七章 量纲分析和无量纲化
17
r t E ρ P T 得到两个基本解 ( 1, −2 / 5, −1 / 5, 1 / 5, 0 ) T ( 0, 6 / 5, −2 / 5, −3 / 5, 1)
t = λmα l α g α (1)
1 2 3
l m
α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] = [m] [l ] [ g ] −2α α α +α T =M L T
α1 α2
1
α3
3
2
3
mg 对比
α1 = 0 α 2 + α 3 = 0 − 2α = 1 3
第七章
量纲分析和无量纲化
6
量纲分析与无量纲化
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用 物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
第七章
量纲分析和无量纲化
7
量纲分析与无量纲化
量纲齐次原则 物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
根据量纲分析的Buckingham Pi定理，由这2个基本解 可以得到2个无量纲量
π 1 = rt
−2/5
E
−1/5
ρ ρ = r 2 , t E
1/5
1/5
( 6)
( 7)
π2 = t E
6/5
−2/5
ρ
−3/5
t P P= 2 3 , E ρ
6 5
1/5
且存在某个函数F使得 与(2)等价.
第七章 量纲分析和无量纲化
5
表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”的半径r(m)
t 0.10 0.24 0.38 0.52 0.66 r(t) 11.1 19.9 25.4 28.8 31.9 t 0.80 0.94 1.08 1.22 1.36 r(t) 34.2 36.3 38.9 41.0 42.8 t 1.50 1.65 1.79 1.93 3.26 r(t) 44.4 46.0 46.9 48.7 59.0 t 3.53 3.80 4.07 4.34 4.61 r(t) 61.1 62.9 64.3 65.6 67.3 t 15.0 25.0 34.0 53.0 62.0 r(t) 106.5 130.0 145.0 175.0 185.0
第七章
F (π 1 ,π 2 ) = 0
( 8)
18
量纲分析和无量纲化
为了得到形如(1)的关系,取(8)的特殊形式 π 1 = ψ ( π 2 ) (其中ψ 是某个函数), 由
F (π 1 ,π 2 ) = 0
1/5
( 8)
ρ π1 = r 2 , t E 6 5 1/5 t P π2 = 2 3 , E ρ 1/5 6 5 1/5 得 t P ρ r 2 =ψ 2 3 , E ρ t E 1/5 2 6 5 1/5 t E t P ψ 2 3 即 r= E ρ ρ
n
j = 1,2,, m
量纲矩阵记作 线性齐次方程组
A = {aij }n×m ,
若 rank A = r
Ay = 0
y sj
有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
π s = ∏qj
j =1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
记作更一般的形式
f ( r, t, E, ρ , P ) = 0
( 2)
其中有5个物理量,接下来的任务是用量纲分析法确定这个函
数关系.
第七章 量纲分析和无量纲化
14
取3个基本量纲：长度L, 质量M和时间T，
f ( r, t, E, ρ , P ) = 0
中各个物理量的量纲分别是
( 2)
2 −2 r L , t T , E L MT , = = = [] [] [ ] −3 M , [ P ] L−1 MT −2 , = = [ρ] L
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
对无量纲量α，[α]=1(=L0M0T0)
第七章 量纲分析和无量纲化
m1m2 f =k 2 r
8
量纲齐次原则
例：单摆运动
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
0 0 1 1 A= 0 1 0 0 1 0 0 − 2 (t ) (m ) (l ) ( g ) ( L) ( M ) (T )
[t ] = L M T 0 1 0 m L M T = [ ] 1 0 0 l L M T = [ ] 1 0 −2 [ g ] = L M T
第七章
量纲分析与无量纲化
量纲分析与无量纲化
量纲分析与无量纲化
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用 物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
第七章
量纲分析和无量纲化
2
1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的阿拉 莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界! 后来公布爆炸实际释 放的能量为21×103t
[t ] = L M T 0 1 0 m L M T = [ ] 1 0 0 l L M T = [ ] 1 0 −2 [ g ] = L M T
0 0 1
(L M T ) (L M T ) (L M T )
0 0 1 y1 0 1 0 y2 1 0 0
y3
(L M T ) = L M T