第五章Nyquist稳定判据

a G( j a ) H ( j a ) 1
G( j a ) H ( j a ) 1, G( j a ) H ( j a ) 180 0
可求解出一对虚根 j a 。
此时，系统输出和输入的幅值比为1，相位差为-180°。
例5-6
开环传递函数如下： GH

• • •
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
s 0 : G( j j ) j ( A'点),

s 0 : G( j j ) j ( B'点）
A
D × C
GH
K G( s) H ( s) s(Ts 1)
B
G( e ) H ( e )
j
j
0

K
e (T e 1) 0
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
奈魁斯特稳定判据总结

利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式

奈魁斯特轨迹
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可
以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包
(1) GH
P=0
K ﹣1 w ﹣K w
P=1
P=2
w
﹣1
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1， K取任意值，均不 K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。 包围(-1，j0)点，有 均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点， 2个不稳定闭环极 闭环不稳定。 K ＝ 1 ， 闭环稳定。 点。闭环不稳定。 曲线穿过 (-1 ， j0) ，临 （奈氏判据第一条） (奈氏判据第二条) 界稳定。
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
K=15
闭环系统稳定范围 10<K<28
0.1 K
K=35
K / 28
K=10
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
C
0+ B
[S]
当ε→无穷小时，在原点的小圆→0。因此，F(s)在右半平面 的零极点仍被包围在这个封闭曲线内。
例5-5：若系统开环传递函数为： K G( s) H ( s) s(Ts 1)
GH

C
B
利用奈奎斯特稳定判据判定系统的闭环稳定性。
解：
1 K G ( j ) H ( j ) j ( jT 1)
0
K j s e s 2 (Ts 1) K 2 j 则： lim G( s ) H ( s ) e

当θ的角度： －90°→ 90° G(s)H(s)的角度： 180°→ －180°

C [S]
0 0
-1
0+ B 0﹣ A
×


D
例中，顺时针包围 （－1，j0）点两次； 没有不稳定开环极点 右半平面有两个闭环 极点 闭环系统不稳定
G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
•
奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包 围(-1，j0)点一次 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包 围(-1，j0)点一次
•
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(-
1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性

G(jω)H (jω)
K 例： G( s) H ( s) s(Ts 1)
0﹣ A
D
改进方法（仅讨论开环极点在原点情况）： j s e 在原点取一小半圆，ε为半径，让 ,θ从-90°变化
到+90°。改进后的奈魁斯特轨迹图: s 0 0 0
K K G( j) H ( j) j jT 1 1 2T 2
G( j) H ( j) K j ( jT 1)
90 0 tg 1T
(1) (BC) : 0 : 0 , GH , GH 900 , , GH 0, GH 1800
习题已知开环传递函数为 ：
K s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定开环极点，若使系
统闭环稳定，开环频率特性必须逆时针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j j 2 j 5 j 1 K K [(6 2 10) j( 3 3 )] 2 3 (6 10) j( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
j
j

K

e
j
0
因此，映射GH为半径为∞，角度从+90°到-90°的半 圆（顺时针方向）。 此例系统中，没有开环极点在s右半平面，开环频率特 性曲线不包围-1，j0点。因此，该闭环系统稳定。
总结：当开环传递函数包含因子 1 / s n ( n 1,2,...),
当s沿半径为ε( ε→0)的半圆运动时，其映射图形就具有 n个顺时针方向的半径为无穷大的半圆环绕原点。 例：G ( s ) H ( s )
K 0 ﹣ 1 ﹣K 0

﹣1,j0
无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K K ( 2 ) GH T 2 s 2 2Ts 1 T 2 s 2 2Ts 1 ( 3)GH K T 2 s 2 2Ts 1
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （ 2 ）因为 G(jω)H(jω) 和 G(-jω)H(-jω) 共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以 ω由- ∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
×
×
逆包围2次
围原点一次
F(s)的极点是开环极点；
F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结

奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)

F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为
fs的零点是闭环极点奈魁斯特轨迹顺时针包围fs的一个极点fs逆时针方向包围原点一次奈魁斯特轨迹顺时针包围fs的一个零点fs顺时针方向包围原点一次奈魁斯特稳定判据总结已知开环极点情况考察gjhj图是否包围1j0点判断闭环系统的稳定性奈氏轨迹顺时针包围fs的一个零点gh顺时针方向包围1j0点一次奈氏轨迹顺时针包围fs的一个极点gh逆时针方向包围1j0点一次奈魁斯特轨迹包围fs的零极点问题可以等效为gjhj包围1j0点的问题fj曲线对原点的包围情况相当于gjhj曲线对于lj0点的包围情况说明
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
5.2 Nyquist 稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负 实部； 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是 在频率域内判定系统稳定性的准则； 与根轨迹分析方法类似： 不求取闭环特征根 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性 奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上； 理论依据是复变函数中的柯西定理。
总结：
当开环传递函数不存在积分项（0型系统），使 用开环频率特性判断闭环系统的稳定性。 当开环传递函数存在积分项（1型以上系统），
要在开环频率特性GH基础上，从s=0-出发顺时针画
辅助连线（半径无穷大）到s=0+处，以此封闭曲线判
断闭环系统的稳定性。
5.2.4 奈魁斯特稳定判据的物理意义
频域上的（－1，j0）点如同根平面上的虚轴一样重要。 对于开环稳定的系统： (1) G(jω)H(jω)不包围(-1，j0)点，闭环系统稳定。 (2) G(jω)H(jω)包围(-1，j0)点，闭环系统不稳定。 (3) G(jω)H(jω)通过(-1，j0)点，闭环系统临界稳定， 在虚轴上存在闭环极点。
×
不包围
×
不包围
逆包围一次
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K GH1 , Ts 1
GH 2
(1)
1 sT
K , Ts 1
K0
,开环稳定，p=0；
1 ,开环不稳定, p=1 s T
(2) 画开环系统的极坐标图
K GH s(Ts 1)( s 1)
K<1.5，不包围(-1,j0)点，闭 环稳定。
K=1.5，穿过(-1,j0)点2次，
﹣1
﹣1
K<1.5
K=1.5
a 0.707 ,系统存在2个共轭虚根，
A

GH

.C
D
K G( s) H ( s) s(Ts 1)
B
(2) (CD) 当s沿着R=∞右半圆运动时,其映射在GH平 面上仅一点，GH=0。 (3)(DA段) ω=-∞→0-时，其映射与0+→∞对称。 (4) (AB段) s e j, s从0 -→0+时，θ从-90°~90°, 对 应的映射为：
解释：
F ( s ) 1 G( s ) H ( s )
F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点
(1) 开环稳定情况： —[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围 F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定 (2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点 G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极
a
1T
1
T
把ωa代入幅值条件， 解出： K cT 1, K c 1 T
T
分析：使闭环系统稳定的条件是：0 K (1 T ) / T 设T=2， K c 1.5, a 0.707
s j 0.707
(<1.5),(=1.5), 2.令T=2，K取不同值， (>1.5) 作图，用奈魁斯特稳定判据 分析系统的稳定性。 开环稳定系统
K s(Ts 1)( s 1)
1.试确定开环放大倍数K的临界值Kc与时间常数的关系。
K K G ( j ) H ( j ) 解题思路： j( jT 1)( j 1) 2 (1 T ) j ( 3T ) K K 利用系统临界稳定时的已知条件： G( j ) H ( j ) 2 2 2 1 T 1 1 2 (1 T 2 ) T 2 4 （1）Im(GH)=0, Re(GH)=-1 2 1 T 0 1 G( j ) 1 G( j ) H ( j ) tg 0 [ 180 ] GH a 1, GH 180 (1 T ) a （ 2）