2022年中考数学一轮复习课件：第7讲 一元二次方程及其应用

(A ) A．(x－4)2＝18
B．(x－4)2＝14
C．(x－8)2＝64
D．(x－4)2＝1
4．(2021 河南)若方程 x2－2x＋m＝0 没有实数根，则 m 的值
可以是( D )
A．－1
B．0
C．1
D． 3
5．解方程： (1)x2－4x－5＝0; 解：因式分解，得(x－5)(x＋1)＝0. 所以 x－5＝0，或 x＋1＝0. x1＝5，x2＝－1.
第一轮 知识梳理 第二章 方程与不等式 第7讲 一元二次方程及其应用
知识梳理
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是 2 的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式是 ax2＋bx＋ c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)．
针对训练 1．(1)当 m≠－1 时，关于 x 的方程(m＋1)x2－m＋3x－5＝0 是一元二次方程． (2)已知关于 x 的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0 的 一个根为 0，则 k 的值为 1 ．
解：设这个最小数为 x，则最大数为(x＋8)． 依题意，得 x(x＋8)＝65， 整理得 x2＋8x－65＝0. 解得 x1＝5，x2＝－13 (不合题意，舍去)． 答：这个最小数为 5.
易错点突破(例题) 15．已知关于 x 的一元二次方程(a2－1)x2－2(a＋1)x＋1＝0 的两实数根互为倒数， 求 a 的值．
10．根据下列表格的对应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，
a，b，c 为常数)的一个解 x 的范围是( C )
x
3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
A．3<x<3.23
B．3.23<x<3.24
C．3.24<x<3.25
D．3.25<x<3.26
(2)x2－4x－7＝0. 解：移项，得 x2－4x＝7. 配方，得(x－2)2＝11. 所以 x－2＝± 11，
x1＝2＋ 11，x2＝2－ 11.
6．(2021 贵港)某蔬菜种植基地 2018 年的蔬菜产量为 800 吨，
2020 年的蔬菜产量为 968 吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都
为 x，则年平均增长率 x 应满足的方程为( B )
9．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0. (1)求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根 x1，x2，且 x1＋x2＋3x1x2＝1，求 m 的值． (1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2) ＝4m2＋4m＋1－4m＋8 ＝4m2＋9＞0， ∴无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)解：由根与系数的关系， 得 x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2. 由 x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1， 解得 m＝8.
1 4．已知 x1，x2 是 3x2－x－1＝0 的两个根，则 x1＋x2＝ 3 ，
x1·x2＝ －13 .
5．一元二次方程的应用： 解实际问题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程， 最后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义．
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2．一元二次方程的解法： (1)直接开平方法：如解(x－1)2＝4，得 x1＝3，x2＝－1. (2)配方法：如将 x2＋2x－5＝0 化成(x＋1)2＝6，然后进行求 解． (3)因式分解法：如解 x2－2x＝0，得 x1＝0，x2＝2. (4)公式法：利用求根公式 x＝－b± 2ba2－4ac(b2－4ac≥0)．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或 2 个
一元二次方程的应用．
13．(2019 广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战 略性新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省 5G 基 站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座．
11．如图，在宽为 20 米，长为 32 米的矩形地面上修筑同样 宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 540 平方米，设道路的宽为 x 米，则下列方程正确的是( A )
A．(32－x)(20－x)＝540 B．32×20－20x－30x－x2＝540 C．32×20－20x－30x＝540 D．32×20－20x－30x＋2x2＝540
12．(2021 张家界)对于实数 a，b 定义运算“☆”如下：a☆b
＝ab2－ab，例如 3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程 1☆x＝2 的根的
情况为( D )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
13．(2021 随州)已知关于 x 的方程 x2－(k＋4)x＋4k＝0(k≠0)
2．(2021 常德)解方程：x2－x－2＝0. 解：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0. 所以 x－2＝0，或 x＋1＝0. x1＝2，x2＝－1.
3．如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx－1＝0 的一个解是 x ＝1，则 2 021－a－b＝ 2 020 ．
4．选择适当的方法解方程：x2－7x＋2＝0. 解：a＝1，b＝－7，c＝2. Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×2＝41＞0. x＝－b± 2ba2－4ac＝7±2 41， 即 x1＝7＋2 41，x2＝7－2 41.
2．(1)方程(x－2)2－9＝0 的解是 x1＝5，x2＝－1 ； (2)方程 x2－8x＋7＝0 的解是 x1＝1，x2＝7 ； (3)方程 x2－2x－5＝0 的解是 x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6 ； (4)方程 x2－4x＝12 的解是 x1＝－2，x2＝6 .
3．根的判别式： 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式 Δ＝b2－4ac. (1)当 Δ>0 时，原方程有两个不相等的实数根； (2)当 Δ＝0 时，原方程有两个相等的实数根； (3)当 Δ<0 时，原方程没有实数根； (4)当 Δ≥0 时，原方程有两个实数根．
(1)计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？ (2)按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率． 解：(1)1.5×4＝6(万座)． 答：计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是 6 万座． (2)设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x. 依题意，得 6(1＋x)2＝17.34.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．
5．(2019 广东)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个
实数根，下列结论错．误．的是( D )
A．x1≠x2
B．x21－2x1＝0
C．x1＋x2＝2
D．x1·x2＝2
6．关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两个不相等的实
数根，则实数 m 的取值范围是( A )
11．(2021 玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 有
两个不相等的实数根 x1，x2，则( D )
A．x1＋x2<0
B．x1x2<0
C．x1x2>－1
D．x1x2<1
12．(2020 广州)直线 y＝x＋a 不经过第二象限，则关于 x 的方
程 ax2＋2x＋1＝0 实数解的个数是( D )
16．已知斜边为 5 的直角三角形的两条直角边 a，b 的长是方程 x2－(2m－1)x ＋4(m－1)＝0 的两个根，求 m 的值．
解：由一元二次方程根与系数的关系，得 a＋b＝2m－1，ab＝4(m－1)． 再由勾股定理，可得 a2＋b2＝52，即(a＋b)2－2ab＝25. 把上面两个式子分别代入， 可得关于 m 的方程：(2m－1)2－8(m－1)＝25. 整理，得 m2－3m－4＝0，解得 m＝4 或 m＝－1. 当 m＝4，或 m＝－1，一元二次方程的判别式都大于 0；当 m＝－1 时， ab＝－8，不合题意(因为 a，b 为三角形的边长，所以不能为负数)． 所以 m＝4.
的两实数根为 x1，x2，若x21＋x22＝3，则 k＝
4 5
．
14.若 x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以 x1，x2 为根的一元二次方
程是 x2－3x＋2＝0 ．
15．已知关于 x 的一元二次方程 x2－2(m－1)x＋m2＝0 有实数根． (1)求 m 的取值范围； (2)设此方程的两个根分别为 x1，x2，若 x12＋x22＝8－3x1x2，求 m 的值． 解：(1)由题意，得 Δ＝[－2(m－1)]2－4m2＝ m 为何值时，关于 x 的方程(m－2)x2－(2m－1)x＋m＝0 有两个实数根？
解：∵方程有两个实数根， ∴[－(2m－1)]2－4(m－2)·m≥0，且 m－2≠0， 解得 m≥－14，且 m≠2. ∴当 m≥－14，且 m≠2 时，方程有两个实数根．
4．一元二次方程根与系数的关系： 如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是 x1，x2，那么 x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ac.
A．800(1－x)2＝968
B．800(1＋x)2＝968
C．968(1－x)2＝800
D．968(1＋x)2＝800
7．(2021 南京)设 x1，x2 是关于 x 的方程 x2－3x＋k＝0 的两 个根，且 x1＝2x2，则 k＝ 2 ．
8．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单 循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排 15 场比赛，则八年级 班级的个数为 6 ．
B．a>－4
C．a≥－4 且 a≠0
D．a>－4 且 a≠0
9．若 m，n 是一元二次方程 x2＋2x－2 021＝0 的两个实数根，
则 2m＋2n－mn 的值为 2 017 ．
10．(2021 雅安)已知一元二次方程 x2＋x－2 021＝0 的两根分
别为
m，n，则m1 ＋n1的值为
2
1 021 ．
分析：先利用根与系数的关系，求出 a 的值，再运用 Δ 来判定 a 的取值． 解：∵一元二次方程(a2－1)x2－2(a＋1)x＋1＝0 的两实数根互为倒数， ∴a2－1 1＝1，即 a2－1＝1，解得 a＝± 2. Δ＝b2－4ac＝[－2(a＋1)]2－4≥0. 当 a＝ 2时，b2－4ac＝[－2(a＋1)]2－4≥0； 当 a＝－ 2时，b2－4ac＝[－2(a＋1)]2－4<0. ∴a＝ 2.
A．m<94
B．m≤94
C．m>94
D．m≥49
7．(2021 岳阳)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋6x＋k＝0 有 两个相等的实数根，则实数 k 的值为 9 ．
8．(2021 毕节)已知关于 x 的一元二次方程 ax2－4x－1＝0 有
两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( D )
A．a≥－4
解得 x1＝0.7＝70%，x2＝－2.7(舍去)．
答：2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 70%.
14．(2021 山西)2021 年 7 月 1 日是建党 100 周年纪念日，在本月日 历表上可以用一个方框圈出 4 个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小 数与最大数的乘积为 65，求这个最小数(请用方程知识解答)．
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人． 依题意，得 1＋x＋x(1＋x)＝121， 即(1＋x)2＝121. 解方程，得 x1＝10，x2＝－12(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人．
直通中考 一元二次方程及其解法． 1．(2021 青海)已知 m 是一元二次方程 x2＋x－6＝0 的一个 根，则代数式 m2＋m 的值等于 6 ．
分层闯关
1．(2021 深圳)已知方程 x2＋mx－3＝0 的一个根是 1，则 m 的值为 2 ．
2．(2021 黑龙江)关于 x 的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x
＋5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为( D )
A．0
B．±3
C．3
D．－3
3．(2021 赤峰)一元二次方程 x2－8x－2＝0，配方后可变形为