【冀教数学学九年级(河北)262锐角三角函数的计算
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【解析】(1)∵sin α＝0.501 8， ∴α≈30.119 1°.α≈30°7′9″； (2)∵tan θ＝5，∴θ＝78.690 0°≈78°41′24″.
知识点 2 计算器计算数学问题中三角函数值 11.如图，在 Rt△ ACB 中，∠C＝90°，∠A＝37°，AC＝4，则 BC 的长约为
8．(素养提升题)(2021·衡水质检)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确 定，也随着其变化而变化． (1)试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，52°，65°，88°的正弦值的大小和余弦 值的大小； (3)比较大小：(在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”) 若∠α＝45°，则 sin α________cos α；若∠α＜45°，则 sin α______cos α；若∠α＞ 45°，则 sin α______cos α；
【解析】(1)sin 25°＋cos 65°≈0.422 6＋0.422 6＝0.845 2； (2)sin 36°·cos 72°≈0.587 8×0.309 0≈0.181 6； (3)tan 56°·tan 34°＝1.
10．已知三角函数值，求锐角(精确到 1″). (1)已知 sin α＝0.5018，求锐角 α； (2)已知 tan θ＝5，求锐角 θ.
26．2 锐角三角函数的计算
必备知识·基础练
【易错诊断】 (打“√”或“×”) 1．用计算器求三角函数值：先按下对应的三角函数按键；再依次输入度、分、秒
和转换键；最后按“＝”号键结束．( √ )
2．用计算器求角：①先按下第二功能键(2ndF)；②再按下对应的三角函数按键；
③输入三角函数值；④最后按＝键结束(带度分秒的单位用转换键).( √ ) 3．运用计算器时，都要先按相应的功能键，后输入相关数值．( √ )
2．如图，△ ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A 的
度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( D )
3．若 α 为锐角，且 tan α＝53 ，则有( C )
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
4．已知 sin a＝0.603 1，则锐角 a 的度数是( C )
A．37°5′20″
B．37°8′30″
C．37°5′32″＝90°，BC＝a，AC＝b，且 3a＝4b，则∠A 的度数为( B )
A．53.48° B．53.13° C．53.13′ D．53.48′
∵在 Rt△ ACH 中，sin A＝CAHC ，
∴CH＝AC·sin A＝9sin 48°≈6.69；
(2)∵在 Rt△ ACH 中，cos A＝AAHC ，
∴AH＝AC·cos A＝9cos 48°，
∴在 Rt△ BCH 中，tan B＝CBHH
＝ CH AB－AH
＝ 9sin 48° 8－9cos 48°
≈3.382，∴∠B≈73°32′.
关键能力·综合练
1．下列锐角三角函数值的大小顺序排列正确的是( C )
A．sin 35°<cos 35°<tan 35° B．cos 35°<sin 35°<tan 35° C．sin 35°<tan 35°<cos 35° D．tan 35°<cos 35°<sin 35°
【解析】(1)sin 25°＋sin 46°＞sin 71° sin 25°＋sin 46°＝0.423＋0.719＝1.142， sin 71°＝0.956，∴sin 25°＋sin 46°＞sin 71°； (2)sin α＋sin β＞sin (α＋β)； (3)∵sin α＋sin β＝OAAB ＋OBCB ，sin (α＋β)＝OAAE ， ∵OA＞OB，∴OBCB ＞OBAC ，
(sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( B )
A．2.4 B．3 C．3.2 D．5
12．已知：如图，在△ ABC 中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°. 求：(1)AB 边上的高(精确到 0.01)； (2)∠B 的度数(精确到 1′).
【解析】(1)作 AB 边上的高 CH，垂足为 H，
6．三角函数 sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是( C )
A.cos 43°＞cos 16°＞sin 30°
B．cos 16°＞sin 30°＞cos 43°
C．cos 16°＞cos 43°＞sin 30° D．cos 43°＞sin 30°＞cos 16°
7．(2021·邯郸质检)若锐角 α 满足12
4．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端分别修建了 50 m
长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是( B )
5．如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2 所示的几何
图形，已知 BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点 B 到 CD 的距离为__1__4_.1____ cm(参
＜cos α＜
2 2
，则∠α 的取值范围为
__4_5__°＜___α_＜__6_0_°___．
8．比较大小：sin 40°__＝_____cos 50°.(填“＞”或“＜”或“＝”)
9．计算下列各式： (1)sin 25°＋cos 65°(精确到 0.0 001). (2)sin 36°·cos 72°(精确到 0.0 001). (3)tan 56°·tan 34°.
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
【解析】见全解全析
易错点 忽视角度和函数值的意义不同 [案例]：(1)用计算器计算并验证 sin 25°＋sin 46°与 sin 71°之间的大小关系； (2)若 α，β，α＋β 都是锐角，猜想 sin α＋sin β 与 sin (α＋β)的大小关系； (3)请借助如图的图形证明上述猜想；
【对点达标】 知识点 1 计算器计算一般的三角函数值 1．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：
在哪两个相邻整数之间( B )
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
，显示的结果
2．已知 sin A＝0.981 6，运用科学计算器求锐角 A 时(在开机状态下)，按下的第一
个键是( D )
3．用计算器求 sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是( A )
考数据 sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，结果精确到 0.1 cm，可用科学计算器).
6．一个直角三角形有两条边长分别为 4，5，则较小的锐角约为__3_7_°_或__3_9_°___．
7．用科学计算器计算
5－1 2
__＞____sin 37.5°(比较大小).
∴OAAB
＋OBCB
＞OAAB
＋OBCA
AB＋BC ＝ OA
.
AB＋BC ∵AB＋BC＞AE，∴ OA
＞OAAE
，
∴OAAB ＋OBCB ＞OAAE ，∴sin α＋sin β＞sin (α＋β).
知识点 2 计算器计算数学问题中三角函数值 11.如图，在 Rt△ ACB 中，∠C＝90°，∠A＝37°，AC＝4，则 BC 的长约为
8．(素养提升题)(2021·衡水质检)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确 定，也随着其变化而变化． (1)试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，52°，65°，88°的正弦值的大小和余弦 值的大小； (3)比较大小：(在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”) 若∠α＝45°，则 sin α________cos α；若∠α＜45°，则 sin α______cos α；若∠α＞ 45°，则 sin α______cos α；
【解析】(1)sin 25°＋cos 65°≈0.422 6＋0.422 6＝0.845 2； (2)sin 36°·cos 72°≈0.587 8×0.309 0≈0.181 6； (3)tan 56°·tan 34°＝1.
10．已知三角函数值，求锐角(精确到 1″). (1)已知 sin α＝0.5018，求锐角 α； (2)已知 tan θ＝5，求锐角 θ.
26．2 锐角三角函数的计算
必备知识·基础练
【易错诊断】 (打“√”或“×”) 1．用计算器求三角函数值：先按下对应的三角函数按键；再依次输入度、分、秒
和转换键；最后按“＝”号键结束．( √ )
2．用计算器求角：①先按下第二功能键(2ndF)；②再按下对应的三角函数按键；
③输入三角函数值；④最后按＝键结束(带度分秒的单位用转换键).( √ ) 3．运用计算器时，都要先按相应的功能键，后输入相关数值．( √ )
2．如图，△ ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A 的
度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( D )
3．若 α 为锐角，且 tan α＝53 ，则有( C )
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
4．已知 sin a＝0.603 1，则锐角 a 的度数是( C )
A．37°5′20″
B．37°8′30″
C．37°5′32″＝90°，BC＝a，AC＝b，且 3a＝4b，则∠A 的度数为( B )
A．53.48° B．53.13° C．53.13′ D．53.48′
∵在 Rt△ ACH 中，sin A＝CAHC ，
∴CH＝AC·sin A＝9sin 48°≈6.69；
(2)∵在 Rt△ ACH 中，cos A＝AAHC ，
∴AH＝AC·cos A＝9cos 48°，
∴在 Rt△ BCH 中，tan B＝CBHH
＝ CH AB－AH
＝ 9sin 48° 8－9cos 48°
≈3.382，∴∠B≈73°32′.
关键能力·综合练
1．下列锐角三角函数值的大小顺序排列正确的是( C )
A．sin 35°<cos 35°<tan 35° B．cos 35°<sin 35°<tan 35° C．sin 35°<tan 35°<cos 35° D．tan 35°<cos 35°<sin 35°
【解析】(1)sin 25°＋sin 46°＞sin 71° sin 25°＋sin 46°＝0.423＋0.719＝1.142， sin 71°＝0.956，∴sin 25°＋sin 46°＞sin 71°； (2)sin α＋sin β＞sin (α＋β)； (3)∵sin α＋sin β＝OAAB ＋OBCB ，sin (α＋β)＝OAAE ， ∵OA＞OB，∴OBCB ＞OBAC ，
(sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( B )
A．2.4 B．3 C．3.2 D．5
12．已知：如图，在△ ABC 中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°. 求：(1)AB 边上的高(精确到 0.01)； (2)∠B 的度数(精确到 1′).
【解析】(1)作 AB 边上的高 CH，垂足为 H，
6．三角函数 sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是( C )
A.cos 43°＞cos 16°＞sin 30°
B．cos 16°＞sin 30°＞cos 43°
C．cos 16°＞cos 43°＞sin 30° D．cos 43°＞sin 30°＞cos 16°
7．(2021·邯郸质检)若锐角 α 满足12
4．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端分别修建了 50 m
长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是( B )
5．如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2 所示的几何
图形，已知 BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点 B 到 CD 的距离为__1__4_.1____ cm(参
＜cos α＜
2 2
，则∠α 的取值范围为
__4_5__°＜___α_＜__6_0_°___．
8．比较大小：sin 40°__＝_____cos 50°.(填“＞”或“＜”或“＝”)
9．计算下列各式： (1)sin 25°＋cos 65°(精确到 0.0 001). (2)sin 36°·cos 72°(精确到 0.0 001). (3)tan 56°·tan 34°.
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
【解析】见全解全析
易错点 忽视角度和函数值的意义不同 [案例]：(1)用计算器计算并验证 sin 25°＋sin 46°与 sin 71°之间的大小关系； (2)若 α，β，α＋β 都是锐角，猜想 sin α＋sin β 与 sin (α＋β)的大小关系； (3)请借助如图的图形证明上述猜想；
【对点达标】 知识点 1 计算器计算一般的三角函数值 1．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：
在哪两个相邻整数之间( B )
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
，显示的结果
2．已知 sin A＝0.981 6，运用科学计算器求锐角 A 时(在开机状态下)，按下的第一
个键是( D )
3．用计算器求 sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是( A )
考数据 sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，结果精确到 0.1 cm，可用科学计算器).
6．一个直角三角形有两条边长分别为 4，5，则较小的锐角约为__3_7_°_或__3_9_°___．
7．用科学计算器计算
5－1 2
__＞____sin 37.5°(比较大小).
∴OAAB
＋OBCB
＞OAAB
＋OBCA
AB＋BC ＝ OA
.
AB＋BC ∵AB＋BC＞AE，∴ OA
＞OAAE
，
∴OAAB ＋OBCB ＞OAAE ，∴sin α＋sin β＞sin (α＋β).