2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷

2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．（3分）﹣3的相反数是（）
A．B．C．3D．﹣3
2．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝50°，则∠AED＝（）
A．65°B．115°C．125°D．130°
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
4．（3分）发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（）
A．B．C．D．
5．（3分）一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣6x的图象平行且经过点A（1，﹣3），则这个一次函数的图象一定经过（）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，AC＝6，则点D到AB的距离为（）
A．B．C．2D．3
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，若AE平分∠BED，则BE的长为（）
A．B．C．D．4﹣
8．（3分）如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）（）对．
A．4B．5C．6D．7
9．（3分）已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC、BD相交于点E．若CE＝BC，则阴影部分面积为（）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴没有交点，过A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）四点，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
二．填空题（共4小题）
11．（3分）在实数﹣3，0，π，﹣，中，最大的一个数是．
12．（3分）菱形ABCD的边AB＝6，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．
13．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为．
14．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝，则四边形ABCD 面积的最小值是．
三．解答题（共11小题）
15．（5分）计算：﹣×（﹣）﹣3+|2﹣3|﹣（﹣）0
16．（5分）化简求值：÷（﹣1）+1，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
17．（5分）尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在△ABC的边上找一点E，使S△ADE：S△ABC＝1：4．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．证明：AB＝DF．
19．（7分）某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课
外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为图①中m的值为；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是小时，中位数是小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人
数．
20．（7分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）
21．（7分）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭用水量为x立方米时，应交水费y元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份四月份五月份六月份
交费金额30元34元47.8元
小明家这个季度共用水多少立方米？
22．（7分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”
的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率；
（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC 交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题背景
（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．
问题解决
（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB最小？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．
拓展应用
（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大
值．
2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：（﹣3）+3＝0．
故选：C．
2．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
3．【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．
故选：D．
4．【解答】解：如图所示零件的左视图是．
故选：D．
5．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣6x的图象平行，∴k＝﹣6，
∴y＝﹣6x+b，
把点A（1，﹣3）代入y＝﹣6x+b得﹣6+b＝﹣3，解得b＝3，
∵k＝﹣6＜0，b＝3＞0，
∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限，
故选：C．
6．【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝30°，
∵AC＝6，
∴CD＝AC，
又AC＝6，
∴CD＝2，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BED，
∴∠AEB＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
在Rt△DCE中，CD═3，
∴CE＝＝
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣，
故选：D．
8．【解答】：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，
∴△ABM∽△FDM，△ABE∽△FCE，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△EBM，△FDA∽△FCE，
∴△ABE∽△FDA，
∴图中相似三角形有5对．
故选：B．
9．【解答】解：连接OD、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴的度数为90°，
∴∠DOC＝90°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．
故选：B．
10．【解答】解：令x＝0，则y＝﹣2，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣2），
∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于负半轴，且与x轴没有交点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．【解答】解：∵π＞＞0＞﹣＞﹣3，
∴在实数﹣3，0，π，﹣，中，最大的一个数是π．
故答案为：π．
12．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥DC于点E，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，
∴∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝4cm，
∴AE＝AD•sin60°＝3，
∴菱形ABCD的面积S＝AE×DC＝6×3＝18，
故答案为：18．
13．【解答】解：∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，A（1，m），C（3，m+6），∴B（1，m+6）、D（3，m），
∵B、D在反比例函数图象上，
∴1×（m+6）＝3m，
解得：m＝3，
∴B（1，9），
故反比例函数表达式为：y＝．
故答案为：y＝．
14．【解答】解：如图，将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，AD旋转至AB处，∵AC＝AP，∠CAP＝60°，
∴△APC为等边三角形
∴AP＝CP＝AC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△ABP＝S△APC﹣S△BPC，∵∠BCD＝30°，
∴∠PBC＝360°﹣∠ABP﹣∠ABC，
＝360°﹣∠ADC﹣∠ABC，
＝∠BAD+∠BCD，
＝60°+30°，
＝90°，
∴点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．
连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，∴S△CPB的最大值为×4×2＝8，
∵S△APC＝×4×4sin60°＝8，
∴S四边形ABCD的最小值＝S△APC﹣S△CBP的最大值＝8﹣8．
故答案为：
三．解答题（共11小题）
15．【解答】解：原式＝3﹣×（﹣8）+3﹣2﹣1，＝3+1+3﹣2﹣1，
＝+3．
16．【解答】解：原式＝÷（﹣）+1＝•+1
＝+
＝
当x＝1时，原式＝4．
17．【解答】解：如图，作∠ADE＝∠B，交AC于点E．
点E即为所求．
18．【解答】证明：在矩形ABCD中
∵BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，AE＝BC＝AD，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DF A中
，
∴△ABE≌△DF A（AAS），
∴AB＝DF．
19．【解答】解：（1）接受随机抽样调查的学生人数：12÷30%＝40（人），m%＝10÷40×100%＝25%，
则m＝25，
故答案为：40；25；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是5小时，中位数是6小时，
故答案为：5；6；
（3）1800×＝540（人），
答：该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数为540人．20．【解答】解：（1）如图，
过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x，
∴BC＝BF+FC＝x+25，
在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，tan22°＝，
则＝，
解得：x＝20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME＝BC＝x+25＝20+25＝45．
在Rt△AME中，cos22°＝．
∴AE＝≈＝48m，
即A、E之间的距离约为48m
21．【解答】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤20时，y＝2x，
当x＞20时，y＝20×2+（x﹣20）×2.6＝2.6x﹣12，
由上可得，y＝；
（2）∵x＝20时，y＝40，
∴令30＝2x，得x＝15，
令34＝2x，得x＝17，
令47.8＝2.6x﹣12，得x＝23，
即四月份用水15立方米，五月份用水17立方米，六月份用水23立方米，
15+17+23＝55（立方米），
答：小明家这个季度共用水55立方米．
22．【解答】解：（1）∵标有数字“1”的扇形的圆心角为120°，
∴转出的数字是1的概率是＝；
（2）根据题意列表如下：
﹣2﹣21133﹣2﹣4﹣4﹣1﹣111﹣2﹣4﹣4﹣1﹣111
1﹣1﹣12244
1﹣1﹣12244
3114466
3114466由表可知共有36种等可能结果，其中两次分别转出的数字之和为正数的有24种，则两次分别转出的数字之和为正数的概率是＝．
23．【解答】解：（1）证明：连接OF，
∵OC＝OD，CF＝BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC＝∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG＝90°，
∴∠OFC+∠BFG＝90°，
∴∠BFG+∠B＝90°，
∴∠FGB＝90°，
∴FG⊥AB；
（2）解：连接DF，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10，
∴点D是AB中点，
∴CD＝BD＝AB＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴BF＝CF＝BC＝4，
∴DF＝＝3，
∴S△BDF＝DF×BF＝BD×FG，
∴FG＝＝．
24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）∴
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
设点D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面积等于△OBC的面积，
∴×OB×y＝OB×4，
∴y＝4，
∴点D（0，4）
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵点D关于直线BC的对称点为D′．
∴∠DCB＝∠D'CB＝45°，CD＝CD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴CD'∥OB，
∴点D'的纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴CD＝CD'＝3，
∴点D（0，﹣1）
（4）若点D在点C上方，如图1，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD'＝90°，CD＝CD'，
∴∠CDD'＝45°，
∵∠D'DP＝90°
∴∠HDP＝45°，且PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD'＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD'＝90°，DP＝DD'，
∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD＝CD'＝HD＝HP，
设CD＝CD'＝HD＝HP＝a，
∴点P（a，﹣4+2a）
∴a2﹣3a﹣4＝﹣4+2a，
∴a＝5，a＝0（不合题意舍去），
∴点P（5，6）
若点D在点C下方，如图2，
∵DD'＝DP，∠DCD'＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COB，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴点P（3，﹣4）
综上所述：点P（5，6）或（3，﹣4）．25．【解答】解：（1）问题背景：
如图1，设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，
则∠CA′B＞∠P，
而∠CA′B＝∠CAB，
∴∠BPC＜∠BAC；
（2）问题解决：
如图2，过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，
∵x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，
∴∠APB最大，即cos∠APB最小，
由点B、A的坐标，根据中点公式得，点C的纵坐标为（2+4）＝3，
设点P（x，0），则点C（x，3），
∵点P、B都是圆上的点，
∴CB＝CP，
∴x2+（4﹣1）2＝32，解得：x＝±2（舍去负值），
故点P的坐标为：（2，0）；
（3）拓展应用：
过点B作BH⊥CD于点H，过点A作AM⊥DE于点M，延长AM到点N使MN＝AM，
过点N作DE的平行线l，过点F作FG⊥l于点G，FG交DE于点Q，以AB为直径作⊙F交直线l于点P′，
在梯形ABCD中，AB＝8，CD＝11，则CH＝11﹣8＝3，
∵tan C＝＝＝2，解得：BH＝6＝AD＝AE，
在等腰直角三角形ADE中，S△ADE＝×AD×AE＝18，
∵MN＝AM，
∴S△DEN＝S△ADE＝9，
∵直线l∥DE，
∴S△P′ED＝S△DEN＝9＝S△DEP，
∴从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合，
∵FG⊥l，而直线l∥DE，
∴GF⊥DE，
而∠AEB＝45°，
故△EFQ为等腰直角三角形，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，
∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2﹣2，则FQ＝EF＝，
∴FG＝EQ+QG＝MN+QG＝AM+＝3+＝＜BF，∴⊙F与直线l有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
故sin∠APB的最大值为1．。