2022年四川省成都市龙泉中学高三数学理月考试卷含解析

2022年四川省成都市龙泉中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数满足，且在R上是连续函数，且当时,
成立，即，，，则a、b、c的大小关系是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
构造函数，判断出该函数的奇偶性与单调性，由，，
，并比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】，则函数为偶函数，
构造函数，则函数为奇函数，
当时，，
则函数在上为增函数，
由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，
由于函数在上是连续函数，则函数在上也是连续函数，
由此可知，函数在上为增函数，
且，，，
由中间值法可知，则，
因此，，故选：A. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合问题，考查函数值大小的关系，解题时要充分利用函数单调性与奇偶性之间的关系，难点在于构造新函数，考查函数思想的应用，属于中等题.
2. “”是直线相互垂直的（）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
B
3. 已知集合，，则（）
A． B． C． D． [参考答案：
C
略
4. 定义域为R的函数f(x)满足，则不等式的解为
A. B. C.(1,+∞) D. (2,+∞)
参考答案：
C
5. 函数存在极值点，则实数的取值范围是（）．
A．B．C．或D．
或
参考答案：
C
∵，
恒有解，
∴，
，
，
∴或，
当时，（舍去），∴或，
故选．
6. 若向量相互垂直，则的最小值为
A．6 B．2 C．3
D．12
参考答案：
A
因为，所以，即，所以。

则
，当且仅当取等号，所以最小值为6，选A.
7. 已知，则条件“”是条件“”的（）条件.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
B
8. 已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积
是（）A．B．C．D．
参考答案：
B
如图该几何体可以看作一个正方体与一个直三棱柱组合而成。

9. 若()是所在的平面内的点，且.
给出下列说法：
①；
②的最小值一定是；
③点、在一条直线上；
④向量及在向量的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是…………………………………………………………………………（）个. 个. 个. 个.
参考答案：
A 略
10. 试题设全集U=R ，集合=
A ．
B ．
C{0、
2} D ．
参考答案： C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在x 轴上，抛物线上的点与点F 的距离为3，则抛物线
方程为。

参考答案：
12. 复数z 满足z
（2+i ）=3﹣
6i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 ．
参考答案：
﹣3
【考点】复数的基本概念．
【专题】计算题；数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数z ，即得z 的虚部． 【解答】解：∵复数z 满足z （2+i ）=3﹣6i （i 为虚数单位），
∴z====﹣3i
即复数z 的虚部为﹣3．
【点评】本题考查了复数的概念与代数运算问题，是基础题目． 13. 已知
，若向量与共线，则
.
参考答案：
由
共线，得
14. 若复数
(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝ ▲ ．
参考答案：
-1
15. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方体，其中一个
的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为
的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．
参考答案：
．
16. 将4个半径都是的球体完全装入底面半径是的圆柱形桶中，则桶的最小高度是 .
参考答案：
17. 已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足=3，则弦AB 的中点到准线的距离
为 ．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．
【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．
【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知
AA1=3m，BB1=m
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0
所以AB中点到准线距离为
故答案为
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f (x)＝ex－ax－1.
(1)求f (x)的单调增区间；
(2)是否存在a，使f (x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
参考答案：
解f′(x)＝ex－a，
(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．
(2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．
∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．
又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需a≥e3.
当a＝e3时f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－2,3)上为减函数，
∴a≥e3.
故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单调递减．
略
19. （18分）已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）把函数y=f（x），x∈的最大值记作maxf（x）、最小值记作minf（x），令g（m）=maxf（x）﹣minf（x），若g（m）≤λ恒成立，求λ的取值范围．
参考答案：
考点：函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．
解答：解：（1）当m=0时，f（x）=，此时f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数，
当m≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）证明f（x）是增函数
f（x2）﹣f（x1）==，
∵α＜x1＜x2＜β，
∴，，
则m（x1+x2）﹣2＜0，
2x1x2＜x12+x22，∴2x1x2＜x12+x22＜m（x1+x2）+2，
即2x1x2﹣m（x1+x2）﹣2＜0，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在（α，β）是递增的，
则恒成立，
∴λ≥，
∵，
∴λ≥2．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键．
20. 若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S-n，且2＝a n＋1 (n∈N*)．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若正项等比数列{b n}，满足b2＝2，2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n．（3）对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ·(－1)n＜ (T n＋21)恒成立，
求实数λ的取值范围；
参考答案：
（1）因为4S n＝(a n＋1)2，且a n＞0，由4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，
又4S n＋1＝(a n＋1＋1)2，所以4a n＋1＝4S n＋1－4S n＝(a n＋1＋1)2－(a n＋1)2，
(a n＋1＋a n) (a n＋1－a n)－2(a n＋1＋a n)＝0，因为a n＞0，所以a n＋1＋a n≠0，
所以a n＋1－a n＝2，所以{a n}是公差为2的等差数列，又a1＝1，
所以a n＝2n－1．
（2）设{b n}的公比为q，因为2b7＋b8＝b9，2＋q＝q2，所以q＝－1(舍)或q＝2，
b1＝1，b n＝2n－1．
记A＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)·2 n－1，
2A＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
－A＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n，
A＝(2n－1)·2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)·2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)·2n＋3
所以T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝(2n－3)·2n＋3．
n＝1时，h (n ＋2)＞h(n)，n≥3时，h(n＋1)＜h(n)，
即h(3)＞h(1)，n≥3时，h(n)递减，[h(n)]max＝h(3)＝－3，所以λ＞－3
综上所述，实数λ的取值范围为(－3，)
【说明】等差数列与等比数列的判定，基本量计算，数列求和，求数列的最大项与最小项，数列与不等式综合．
21. （本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求A；
( II)若△ABC的面积．求△ABC周长的最小值．
参考答案：
22. 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（I）求证：AP⊥平面BDE；
(II) 求证：平面BDE⊥平面BDF；
参考答案：
（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，BD?底面ABC，
∴PC⊥BD；
又AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，∴PA⊥BD，又DE⊥AP，BD∩DE=E，
∴AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）由AP⊥平面BDE知，AP⊥DE；又D、F分别为AC、PC的中点，
∴DF是△PAC的中位线，∴DF∥AP，∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，
由BD⊥平面PAC可知，DE⊥BD，DF⊥BD，∠EDF为平面BDE与平面BDF的二面角，又∠EDF=90°，∴平面BDE⊥平面BDF．。