西城区14-15学年上学期九年级期末考试数学试卷及答案汇总

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷
九年级数学
、选择题(本题共32分，每小题4分)下面
各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的•
2015. 1
二次函数y二_(x+1)2一2的最大值是
A •-2
B • -1
2. 如图，四边形ABCD内接于O O, E为CD延长线上一点，如果
3 .
4. / ADE=120 °, 那么/ B等于
A •
130 °
B •
120
C. 80° D• 60°
既是轴对称图形又是中心对称图形的是F列手机软件图标中,
A C
把抛物线y = x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线
2
C • y = x -3 -1
2 D • y=x-3］亠3
5. △ ABC与厶A B C是位似图形，且△ ABC与厶A'B'C 的位似比是1 : 2，如果△ ABC的面积是
3,那么△ A BB'的面积等于
A . 3
B . 6 C. 9 D . 12
2 1
6•如果关于x的一元二次方程x2 -x — m-1=0有实数根，那么m的取值范围是
4
A . m>2 B. m> 3 C. m v 5 D . m< 5
7.如图，在Rt△ ABC 中，/ ACB=90 , AC=12, BC=5, CD 丄AB 于点D，那么
sin • BCD的值是
5 5 1212
A .
B . C. D.—
1213 135
8.如图，在10X10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正
方形，每个小正方形的顶点称为格点•如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形” •设对称轴平行于y轴的抛物线与网
格对角线OM的两个交点为A, B，其顶点为C,如果△ ABC
■
・
F
■
^
■
1
n
h
v
r
r
X
B . 8
C . 14
D . 16
、填空题(本题共 16分，每小题4 分)
9.在平面直角坐标系 xOy 中，点A(—2, n)在反比例函数y=-6的图象上,
x
AB _ x 轴于
点B ,那么△ AOB 的面积等于
10.如图，将△ ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到△ ABC',使AB '
// CB , CB, AC 的延长线相交于点 D ,如果/ D=28°，那么BAC = °
11.如图，点 D ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为 E , AE= 3, DE= 5,
BE=4，要使△ BDEACE ，且点B , D 的对应点为 A , C ,那么线段 CE 的 长应等于 ______________ .
12.在平面直角坐标系 xOy 中，A(-m,0) , B(m,0)(其m ■ 0)，点P 在以点C(3,4) 为圆心，半径等于 2的圆上，如果动点 P 满足.APB 段OP 的长等于 ______ (用含m 的代数式表示)；(2) 为 _________ .
三、解答题(本题共 30分，每小题5分) 13.计算：3tan30 cos 2 45 -2sin 60 .
9
14.解方程：x -4x • 1 = 0 .
15.如图，在O O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC , PD 与O O 相切，切点分别为点 C ,
点D ，连接CD 交AB 于 点E .如果O O 的半径等于3 5 , tan. CPO 二丄
2
是该抛物线的内接格点三角形，
AB=3..2，且点A , B , C 的横坐标X A , x B , x c 满足
X A v X B v x c ，那么符合上述条件的抛物线条数是
16•如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方
形的顶点叫做格点.△ ABC的三个顶点A, B, C都在格点上，将△ ABC绕点A顺时针方向旋转90。

得到△ AB C .
（1 ）在正方形网格中，画出△ABC '；
（2）计算线段AB在旋转到AB •的过程中所扫过区域的面积.
（结果保留n）
17•某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出（800-10a）件.如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元.
18.如果关于x的函数y =ax2（a 2）x a 1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a 的值.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60。

方向上，
在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上.问：灯塔P到环海
路的距离PC约等于多少米？（3取1.732，结果精确到1米）
20. 如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E, F, G分别在AB,
BC, FD 上.
(1) 求证：△ EBFFCD ;
(2) 连接DH，如果BC=12, BF=3，求tanZHDG 的值.
21. 如图，在O O中，弦BC,BD关于直径AB所在直线对称.E为半径连接
AE并延长交O O于点F，连接DF交BC于点M .
(1)请依题意补全图形；
(2)求证：• AOC 二.DBC ;
(3)求弛的值.
BC
22.已知抛物线C：y=x2，2x-3.
抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标抛物线C: y=x2+2x—3A( )B( )(1,0)(0,-3)
变换后的抛物线G
(1)补全表中A, B两点的坐标，并在所给的平面直
角坐标系中画出抛物线C;
(2)将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的丄，可证明得
2
到的曲线仍是抛物线，(记为CJ,且抛物线G的顶点是抛物线C的顶点的对应点，求抛物线G对应的函数表达式.
五、解答题(本题共 22分，第23题7分，第24题8分，第25题7 分)
1 m
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点A(_,2) , B(3,n)在反比例函数y (m 为常
2 x
数)
的图象G 上，
连接AO 并延长与图象 G 的另一个交点为点 C ,过点A 的直线I 与 x 轴的交点为点 D(1,0)，过点C 作CE // x 轴交直线
(1)
(2) (3)
24. 如图，等边三角形 ABC 的边长为4,直线I 经过点A 并与AC 垂直.当点P 在直线I 上运动到某一位
置(点 P 不与点A 重合)时，连接 PC ,并将△ ACP 绕点C 按逆时针 方向旋转60得到△ BCQ ，记点P 的对应点为Q ,线段PA 的长为m ( m .0 ). (1) ①.QBC = ______ ;
②如图1,当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且m =3时，点Q 到直线I 的距离 等于 ；
(2) 当旋转后的点Q 恰好落在直线I 上时，点P , Q 的位置分别记为P 0, Q 0 .在图2
中画出此时的线段 F 0C 及厶BCQ o ，并直接写出相应 m 的值；
(3) 当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且△ PAQ 的面积等于—时，求m 的值.
4
23.
求m 的值及直线I 对应的函数表达式; 求
点E 的坐标； 求证：.BAE =/ACB .
25. 如图1，对于平面上不大于90的/MON，我们给出如下定义：若点P在乙MON的内
部或边界上，作PE _0M于点E, PF _0N于点F，则称PE PF为点P相对于
.MON的“点角距离”，记为d P,. MON .
如图2,在平面直角坐标系xOy中，对于.xOy，点P为第一象限内或两条坐标轴正
半轴上的动点，且满足d P,. xOy =5，点P运动形成的图形记为图形G.
(1 )满足条件的其中一个点P的坐标是___________ ,图形G与坐标轴围成图形的面积
等于 _________ ;
(2) 设图形G与x轴的公共点为点A，已知B(3,4) , M (4,1)，求d M,. AOB的值;
1 2
(3) 如果抛物线y x bx c经过(2)中的A, B两点，点Q在A, B两点之间
2
的抛物线上(点Q可与A, B两点重合)，求当d Q,. AOB取最大值时，点Q 的坐标.
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末
九年级数学试卷参考答案及评分标准
2015.1
、选择题（本题共 32分，每小题4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
B
C
D
D
B
C
、填空题（本题共 16分，每小题4 分）
三、解答题（本题共 30分，每小题5 分）
15•解：连接OC .(如图1)
••• PC , PD 与O O 相切，切点分别为点
■ ■ —L PC , ””，””，”,”,”，””，”， PC=PD ，/ OPC= / OPD . --CD 丄 OP , CD=2CE . ””,，””
1 T tan _ CPO ,
2
9. 3. 10.28. 11.
12. (1) m ； (2) 3.
13.解:
3tan30 cos 45 - 2sin 60
=3
亍T
14.解:
-4x 1=0 .
c =1
2 2
b -4a
c =(「4)
-4 1 1 =12 .,,
七 _ . b 1 2二4ac 4_ .12 x 二
2a
4=2—3 .
原方程的解是为=2 ：, x 2 = 2 -
3 .,,
3分
5分
1分 2分
3分
5分
图1
设 OE=k ，则 CE= 2k , OC = . 5k . ( k 0)
O O 的半径等于3 5 ,
所以线段AB 在旋转到AB 的过程中所扫过区域的面积为 17•解：根据题意，得(a-20)(800 -10a) =8000 . (20< a < 80) 整
理，得 a 2 -100a 2400=0 . 可得(a -40)(a -60) =0 .
解方程，得印=40, a ? =60.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
当色=40 时，800 —10a =800 —10^40=400 (件). 当 a 2 =60时，800—10a =800—10乂60 =200 (件). 因为要使每天的销售量尽量大，所以 a =40 . ,,,,,,,,,,,,, 4分 答：商店计划要每天恰好盈利
8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售 应40 "元
5 ^分
18.解：(1)当a =0时，函数y =2x ，1的图象与x 轴只有一个公共点成立.
，”， 1分
2
(2)当0时，函数y =ax (a 2)x a 1是关于x 的二次函数.
它的图象与x 轴只有一个公共点, 关于x 的方程 ax 2 (a 2)x a
0有两个相等的实数根.
,,,
2分
=(a 2)2 —4a(a 1)=0 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,
••• 5k = 3 5，解得 k =3.
••• CE= 6
♦
5555555555555555555555555555
CD
=2CE = 12 .
16. (1 )画图见图 2.
，”，”，””
2 分
(2)由图可知厶 ABC 是直角三角形，AC=4, BC=3,
所以 AB=5. ,,,,,,,, 3 分
线段AB 在旋转到AB 的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为
90°半径为5.
S
扇形AB B
J n AB 2 4
n 52
25 n .
4
25 n . 4
图2
整理，得3a2 -4 =0 .
解牛彳a
3 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
3
2 =
综上，a 二0或a 二二 .3 .
3
解答题(本题共 20分，每小题5分)
解：如图3，由题意，可得/ PAC=30° / PBC=60° 2分
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
J 八
ZAPB ,/PBC £PAC =30 .
••• / PAC= / APB .
PB=AB=400. ,,,,,,,,,,,
3 分
在 Rt △ PBC 中，/ PCB=90 ° / PBC=60 ° PB=400 , 3
• PC =PB sin. PBC =400
200 3 =346.4 〜346 (米)4 分 2
答：灯塔P 到环海路的距离 PC 约等于346 米. (1) 证明：如图4.
•/正方形 ABCD ，正方形 EFGH ,
• / B=Z C=90 ° / EFG=90 °
BC=CD , GH=EF=FG .
又•••点F 在BC 上，点G 在FD 上，
• / DFC + / EFB=90 ° / DFC+ / FDC=90 ° • Z EFB = / FDC . ,,,,,,,, 1 分 • △ EBFFCD . ,,,,,,,,
2 分
(2) 解：T BF=3, BC=CD=12 , • CF=9, DF 仝CF 2 CD 2「=15 . 由(1)得更二CI .
BF CD BF CF 3 9
BE —_
CD 12
• GH =FG =EF =：；BE 2 BF 2 二15 .,,,,,,,,,,,,,,
4
45
DG =DF -FG 4
tan — HDG
.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
DG 3
(1) 补全图形见图 5 . ,,,,,,,,,,,,,,,,
1 分
(2) 证明：T 弦BC , BD 关于直径AB 所在直线对称，
• Z DBC=2 Z ABC .
,,,,,,,,,,,
2 分
又••• AOC =2 ABC ,
AOC 二 DBC
四、 19
.
20.
21.
Z A=Z D .
又••• ZAOC ZDBC ,
图4
(3)解: BF=BF ，
图5
△ AOE s^ DBM .
OE BM
OA 一 BD .
OC =3OE , OA=OC , BM OE OE _ 1 BD "OA _OC "3 .
弦BC , BD 关于直径AB 所在直线对称, BC=BD .
BM BM 1 —
•
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
BC BD 3
22•解：(1) A(-勺,B( ~2,0) .
”3 分
画图象见图 6. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
3分
（2）由题意得变换后的抛物线 G 的相关点的坐标如下表所示:
抛物线 顶点坐标 与x 轴交点坐标
与y 轴交点坐标
变换后的抛物线C 1
A ^-2,-2) B\-6,0) (2,0) (0,-1.5)
设抛物线C i 对应的函数表达式为
y 二a （x • 2）2 -2 .（ 0）
•••抛物线C i 与y 轴交点的坐标为（0, -1.5）,
3 4a - 2 . 2
解得a =丄.
8
1
2 1 2 1 y (x 2) -2
x -
8 8 2 1 m
23 .解：（1）v 点A （—,2）在反比例函数y （m
为常数）的图象 G 上，
2 x
1 m =汉
2 =1
直线l 经过点A( ,2) , D(1,0),
2
3
m 1
•反比例函数y （m 为常数）对应的函数表达式是 y =—.
x x
设直线l 对应的函数表达式为 y=kxF （k , b 为常数，k z 0）.
1
•••抛物线C i 对应的函数表达式
为 3 x .,,,
2
1 2
y x
8
五、
说明：其他正确解法相应给分.
解答题（本题共 22分，第23题7分，第
24题8分，第 25题7分）
1
l—k+b=2, Ck=/,
二2 解得
k b =0. b
•••直线I对应的函数表达式为y=_4x・4 •，”,，”,，”，2分
1
(2)由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为C(- ，-2) •,,,, 3分
2
••• CE// x轴交直线I于点E,
3
•••点 E 的坐标为E( , -2) . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分作CH 丄BG 于点H，则BH // CE , BCE ZCBH
2
(3)如图7,作AF丄CE于点F ,与过点B的y轴的垂线交于点G , BG交AE于点M ,
A(2-,2) , 5-2，-2) , E(|,-2),
2 2 2
1
点F的坐标为F(丄-2).
2，
CF=EF.
AC=AE.
/ ACE =/AEC•,,,,,,,,,,
点B(3,n)在图象G 上, 3
24.解:
1
B(3,3)，
11 11
G(2,3)，H(匚，3)•
在Rt △ ABG 中,
在Rt △ BCH 中,
CH
tan ZCBH
BH
■A BH =/CBH .
■BCE »ABH .
1
3—
—
2
1 2
3_
3」
2
■ BAE »AMH - ABH =/AEC - ABH , ACB=/ACE-・BCE ,
■ ■ / . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (1 ［①—QBC =
90 ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
②m=3时，点Q到直线I的距离等于
(2)所
画图形
5分
7分
1分
2分
3分
整理，得.3m 2 -4^ 3 =0 .
解得“「3
1
3
■ 3 4.3
心亍或"在0"匚的范围内，均符合题意.，
（3）作BG 丄AC 于点G ,过点Q 作直线I 的垂线交I 于点D ，交BG 于点F .
•/ CA 丄直线I ,
••• / CAP=90 .
易证四边形ADFG 为矩形.
•••等边三角形ABC 的边长为4, 心
1 1 • / ACB=60 , DF =AG 二CG
AC =2 , / CBG CBA =30 . 2 2
•••将厶ACP 绕点C 按逆时针方向旋转 60得到△ BCQ , • △ ACPBCQ .
• AP = BQ = m ，/ FAC=Z QBC=90 . • / QBF=60 .
在 Rt △ QBF 中，/ QFB=90 ，/ QBF =60 , BQ=m ,
QF m 5
分 2
要使△ PAQ 存在，则点P 不能与点A , R 重合，所以点P 的位置分为以下两 种情况：
①如图9,当点P 在（2）中的线段P o A 上（点P 不与点A , P ）重合）时,
可得0E
43
3
,
此时点Q 在直线l 的下方.
S.APQ
= -AP DQ 2
丄 m （2」m ） V . 2 2 4
经检验,
② 如图10,当点P 在（2）中的线段AP 0的延长线上（点P 不与点A , P o 重
A J3
合）时，可得 m
，此时点Q 在直线I 的上方.
3
DQ =QF - DF
m _ 2 .
2
1 爲
S APQ =~AP D^ =-4 , • 1 / 3 补 3 •- . m( m 「2)=
2 2
4
整理，得 3m 2 -4、3m-3 = 0 . 解得m =空 21 （舍负）.
3
经检验，m =乙3 ?!在m •£乜的范围内，符合题意.
”,，
8分
3
3
综上所述，m 3或-、3或 ◎
21
时，△ PAQ 的面积等于 —.
3 3 4
25•解：（1 ）满足条件的其中一个点 P 的坐标是（5,0）；
（说明：点P （x,y ）的坐标满足x ，y =5 , 0< x < 5, 0 < y w 5均可）
（2）如图11，作ME 丄OB 于点E , MF 丄x 轴于点F ,贝U MF
=1，作MD // x 轴，交
OB 于点D ，作BK 丄x 轴于点K .
由点B 的坐标为B （3,4），可求得直线 OB 对应的函数关
系式为
3
3 13 点D 的坐标为D(-,1) , DM =4-二 .
4
4 4
BK 4
OB =5
, sin _ AOB =-
OB 5
4 sin MDE 二sin AOB
二一.
5 /
13,4
13 ME =DM sin MDE =
4 5
5
3分
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
7 丿 J
13 18
d(M , AOB) =ME MF 1 =-
5 5
图形G 与坐标轴围成图形的面积等于
25
_2
_ 图10
1 2
抛物线y x bx c经过A(5,0), B(3,4)两点,
(3)
2
5 5b c, 3 3b c.
b - 2 I ' 解得5
c .
2
•••抛物线对应的函数关系
式为
如图12,作QG丄0B于点G , 设点Q的坐标
为Q（m,n），其中3< m< 5,
QH丄x轴于点
则QH =n 1 2 5 m 2m .
2 2
同（2 ）得
/ / 4
sin QNG =sin ._ AOB =- 5
3 NQ = m
n .
4
3
•••点N的坐标为N(—n,n),
4
” 4 •- QG^NQsi n^QNG =
5
3
(m - n)
4
4 3
• d(Q, AOB)=QG QH m n
5 5
4 2 12 5
=一m —(_一m 2m )
5 5 2 2
1 2 8
=一一m m 1
5 5
1 / A 21
八(m-4)
5 5H .作QN // x轴，交0B于点N .
21
•当m =4 （在3w m< 5范围内）时，d Q,・AOB取得最大值（亠）.
5
此时点Q的坐标为（4, 5）.,,
2
1 …tan /OCE 二tan ^CPO . ””，
2。