湖北省宜昌市第七中学高三数学9月月考试题 文

湖北省宜昌市第七中学2017届高三数学9月月考试题 文
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1、已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ）
A ．{}2,1--
B ．{}2-
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1 2、已知R a ∈，且i
i
a -+-1为纯虚数，则a 等于（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ． 2-
3、给出如下四个命题：
①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“11,2
<+∈∃x R x ”； ④在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件. 其中正确．．
的命题的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4、把函数x x y cos 3sin -
=的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对
称，则m 的最小值是 （ ）
A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
5、设函数⎩⎨
⎧≤-+>=0
,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34
(-f 的值为（ ）
A ． 223
--
B ．
22
3
- C ．2
3-
D ．2
5-
6、已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，且)()2(x f x f =+，当0≤x ≤1时，)1(2)(x x x f -=，则)2
5(-f ＝( )
A ．－12
B ．－14 C. 14 D. 12
7、给定两个向量)4,3(=a ，)1,2(=b ，若)//()(b a b x a -+，则x 的值等于 （ ） A ．
23 B ．1- C ．1 D ．2
3-
8、已知向量a ，b 的夹角为
3
π
，且|a |=2，|b |=1，则向量a 与向量a +2b 的夹角等于（ ） A ． 6π B ． 3π C ． 2
π D ． 56π
9、在△ABC 中，若2·
··AB AB AC BA BC CACB =++u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则△ABC 是( ) A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
10、已知函数cos ()x
x
f x e =
，则函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ． 10x y ++= B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．10x y --=
11、一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在河对岸有一参照物与学生前进方向成30°角，学生前进200 m 后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( ) A ． 50 2m B ． 100 2m C ．100(3＋1)m D ． 50(3＋1)m
12、在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-．若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，
则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(,7]-∞
B ．(,3]-∞
C ．[1,7]-
D ．(,1][7,)-∞-+∞U
二、填空题：（每小题5分，共计20分）
13、已知向量=（-3,1），=（1，-2），则在方向上的投影为 14、关于x 不等式0)1)((2
>--x
e x x 的解集为
15、半圆的直径AB=4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则
•+)(的值是
16、已知函数13)(2
3+-=x ax x f 有且只有一个零点0x ，且00<x ，则实数a 的范围为
三、解答题：（第17题10分，其余各题17分，共计70分） 17、已知函数a a x x f +-=2)(．
(1)（4分）若不等式6)(≤x f 的解集为{}
32≤≤-x x ，求实数a 的值；
(2)（6分）在(1)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
18、设向量)sin ,cos 4(αα=，)cos 4,(sin ββ=，)sin 4,(cos ββ-= （1）（6分）求||+的最大值；
（2）（6分）若与2-垂直，求)tan(βα+的值。

19、已知函数1)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f
(1)（6分）求)(x f 的最小正周期和增区间 (2)（6分）当]4
,6[π
π-
∈x 时，求)(x f 的最大值和最小值，并指出)(x f 取得最值时对应的 x 的值．
20、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（1）（6分）求角C ； （2）（6分）若7,c ABC △=的面积为
33
2
，求ABC △的周长
21、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位： 元/千克)满足关系式2)6(103
-+-=
x x a
y ，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千 克时，每日可售出该商品11千克． (1)（2分） 求a 的值；
(2)（10分） 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品
所获得的利润最大．
22、已知函数2
1()ln 2
f x ax x =
+，其中a ∈R . （1）（5分）求)(x f 的单调区间；
（2）（7分）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.
月考参考答案
一、选择题：
ABCDD ABADB DA 二、填空题：
13、5- 14、}1|{>x x 15、-2 16、a>2 三、解答题：
17、已知函数a a x x f +-=2)(．
(1)若不等式6)(≤x f 的解集为{}
32≤≤-x x ，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤， ∴32a -=-，∴1a =。

┈┈┈┈4分
（2）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，
则，()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-+++=-<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞。

┈┈┈┈┈10分
18、设向量)sin ,cos 4(αα=a ，)cos 4,(sin ββ=，)sin 4,(cos ββ-=c （1）求||+的最大值；
（2）若与2-垂直，求)tan(βα+的值。

解：（1）)sin 4cos 4,cos (sin ββββ-+=+c b
故22)sin 4cos 4()cos (sin ||ββββ-++=+……………………… 3分
β2sin 1517-=
241517=+≤（当且仅当12sin -=β时取“=”）
故||c b +的最大值为24 ……………………………………………… 6分 （2）由)2(c b a -⊥知：
0)sin 8cos 4,cos 2(sin )sin ,cos 4(=+-⋅ββββαα………………… 8分
即 0)sin 8cos 4(sin )cos 2(sin cos 4=++-ββαββα
化简得 0)cos(2)sin(=+-+βαβα ………………………………… 11分 故2)tan(=+βα………………………………………………………… 12分
19、已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．
解： (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1
＝4cos x ⎝
⎛⎭
⎪⎫
32sin x ＋12cos x －1
＝3sin2x ＋2cos 2
x －1 ＝3sin2x ＋cos2x
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ----------------------------------------------2分 所以f (x )的最小正周期为π.---------------------------------4分 令 2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k Z k ∈
即 322322π
πππ+≤≤-k x k Z k ∈ 故 6
3
π
ππ
π+
≤≤-
k x k Z k ∈
所以 增区间为 ]6
,3
[π
ππ
π+
-
k k Z k ∈------------------------6分
(2)因为－π6≤x ≤π
4
，
所以－π6≤2x ＋π6≤2π
3
.------------------------------------8分
当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值2； -----------------------------10分
当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π
6时，f (x )取得最小值－1.--------------------------12分
20、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（1）求C ；
（2）若c ABC △=
，求ABC △的周长． 解：(1)()2cos cos cos C a B b A c +=
由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=
()2cos sin sin C A B C ⋅+=
∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2
C = ∵()0πC ∈， ∴π
3
C =
-------------------------------------------------------6分 （2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅
221
722
a b ab =+-⋅
()
2
37a b ab +-=
1sin 2S ab C =⋅=∴6ab = ∴()2
187a b +-=
5a b +=
∴ABC △周长为5a b c ++=-----------------------------12分
21、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/
千克)满足关系式y ＝
a
x －3
＋10(x －6)2
，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a
2＋10＝11，a ＝2. ----------------------------2分
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y ＝
2x －3
＋10(x －6)2
. 所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x )＝(x －3)
⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2x －3＋10x －62
＝2＋10(x －3)(x －6)
2,
3<x <6.--------------------------4分
从而f ′(x )＝10[]x －62
＋2x －3
x －6
＝30(x －4)(x －6)．
于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x ＝ 所以，当
x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.
---------------------------------11分
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．--------------12分
20.已知函数2
1()ln 2
f x ax x =
+，其中a ∈R . （1）求)(x f 的单调区间；
（2）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.
解：（1）21
(),(0,)ax f x x x
+'=∈+∞. 当0≥a 时，()0f x '>，从而函数)(x f 在),0(+∞上单调递增. --------------1分
当0<a 时，令()0f x '=，解得x =x =此时，()f x 与()f x '的情况如下：
所以，()f x 的单调增区间是；单调减区间是),1
(∞+-a
. ----------------5分
（2）① 当0≥a 时，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2
a f =
. 令
12
a
=-，得2a =-，这与0≥a 矛盾，舍去2a =-. ---------------7分 ② 当10a -≤<时，11≥-a
，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2a f =.
令
12
a
=-，得2a =-，这与10a -≤<矛盾，舍去2a =-. ③ 当1-<a 时，
01<<，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为f .
令1f =-，解得e a =-，适合1-<a . -----------------11分 综上，当)(x f 在(0,1]上的最大值是1-时，e a =-. ---------------12分。