住房分配的数学建模

基于层次分析法的住房分配方案
一 引言
住房分配是一个多指标，多成员的决策问题，是多属性决策（Multiple Attribute Decision Making, 简记为MADM ）在现实中的具体应用。

而解决多属性决策问题关键的环节就是确定各指标的相对权重。

在确定权的方法上目前主要有层次分析法中的最大特征根法、近似计算方法中的幂法、方根法、求积法，加权平方和法以及来自信息论的熵技术等。

一定的原则指导下，寻求一种较为合理、有效的方法对住房分配也就显得十分必要。

层次分析法（AHP)是解决多属性决策的一种行之有效的方法。

本文通过分析住房分配要素的性质和成员在各指标下的数据，利用层次分析法，结合具体实例给出了分配方案需要的排序。

并在文末，检验了方案的合理性，并对个例进行了推广，使这种方法更具有通用性。

二 基本原理和方法
住房分配涉及到很多指标，诸如职称、职务、工作时间、学历、对单位贡献程度、特殊人才、奖励等。

合理分配住房问题，就是根据一定的原则，分配这些指标在住房分配时的权重，实现半定性问题向定量问题的转化。

由于住房分配考虑的指标多半是成员的历史信息，因此每位成员的指标信息是已知的。

规范化各位成员的指标信息，结合指标权重，利用加权和法，给出每位成员的综合得分，从而实现排序的目的。

在计算权重和综合成员得分上都有不同的方法。

我们无法说哪一种方法更好，给出的排序方案更科学，更公正。

本文在求权重时利用了最大特征根法，在综合成员得分时采用了简单加权法，从最终评价中给出综合的排序。

由于定性向定量转化本身都有很大的主观性，因此我们不能从根本上实现最精确的排序。

只能给出一种相对合理的排序结果。

1 指标选取
指标的选择从属性上可以分为三种类型：效益型，成本型，既非效益又非成本型。

指标属性值越大越好的，称为效益型指标；指标值越小越好的称为成本型指标。

无法用大小衡量好坏的属于第三类指标。

在考虑住房分配时更多考虑的是效益型指标，如级别，工作时间，任职时间，学历，科研经费，奖励等。

有时，也可以考虑惩罚性因素，处分扣分。

还有些如爱人单位，家庭负担程度，稳定状况等既不属于效益型又不属于成本型指标。

2 指标数据的处理
针对指标属性的不同类型和各个属性的不同量纲，应用不同的变换对原始数据处理。

使数据变成[]1,0区间的值，进而使数据变的规范化。

具体如下，对效益型指标max
/j
ij ij y y z =，
其中ij y 为第i 个成员在第j 属性下的属性值，max j y 为第j 个属性这一列的最大值；对成本型指标，利用max /1j ij ij y y z -=处理。

由于某种原因造成属性值差别较大的情况，如奖励等则采用统计平均的办法，即设定平均值M ，将方案属性的均值定位于M ，用下式
M M y y y y z j j
j ij ij +---=
--
)00.1(max ，实现归一化，其中，∑=-
=m
i ij j y m y 1
1是属性j 的均值，m 为成员的个数，M 的取值可在75.0~5.0之间。

3 属性权重的确定
根据首次提出层次分析法的美国匹次堡大学Seaty 教授的建议，把关联因素相对重要程度用1~9及其倒数表示相互比较元素的重要程度的反映，找出判断矩阵。

由判断矩阵寻求属性的权重。

判断矩阵的选择有很大的主观性，需要专家组对各属性集中比较各因素的相对比较。

此外，还要对判断矩阵从其应有的性质和一致性作出检验，方能说明各因素间相对客观的权重。

在住房分配中专家组可由住房分配小组代替，依据一定的、统一的原则，对指标体系中各因素的相对重要程度做出比较。

通过对判断矩阵的调整、判断和求解，得出满足一致性的判断矩阵。

在由判断矩阵求权重时常用的有四种方法：最大特征根法，加权平方和法、近似计算权重的方法，还有来自信息论的熵技术。

本文为利用软件MATLAB ，采用了最大特征跟法。

归一化特征向量，即可得出属性指标的具体权重值。

4 决策时的几个假设
（1）每个属性的边际价值是线形的(优劣与属性值大小成比例)，每两个属性都是相互价值独立的。

即住房指标体系下各属性值的大小反映了各成员在该属性下的相对优劣程度，而指标间又是相互独立的，防止一个事实在两个指标中衡量的情况。

（2）属性间的完全可补偿性：方案的某属性无论多差都可与用其它属性来补偿，即在住房各指标体系中，成员的综合得分体现的排序结果是他们各自在各个属性下优劣互补的最终结果。

（3）假设住房分配选择的指标、计算各属性值时采取的量化方法及确定指标的相对重要程度都具有权威性，各成员对此没有异议。

5 方案的产生
根据各成员归一化的属性值和各指标的权重，利用简单加权和法求得各个成员的综合得分，达到排序的目的。

三 决策实例
某院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法，其原则是：“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房，任职相同时再考虑其他条件(如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等)适当加分，从高分到低分依次排队”。

我们认为这种分配方案仍存在不合理性，例如，同档次的排队主要由任职先后确定，任职早在前，任职晚在后，即便是高职称、高学历，或夫妻双方都在同一单位(干部或职工)，甚至有的为单位做出过突出贡献，但任职时间晚，则也只能排在后面。

这种方案的主要问题是“按资排辈”，显然不能充分体现重视人才，鼓励先进等政策。

根据民意测验，80%以上的人认为相关条件为职级、任职时间(为任副处的时间)、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况。

要解决的问题是：
请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案，用你的方案根据下表中的40人情况给出排队次序，并说明你的方案较原方案的合理性。

表1 40个人的基本情况统计表及按原方案排序
(一)模型分析
鉴于原来按任职先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲届有一定的
合理性，现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑。

于是，可以认为相关的8项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的，应有轻重缓急之分。

因此，假设8项条件所起的作用依次为任职时间、工龄、职级、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况。

这样能够符合大多数人的利益。

任职时间早、工龄长、职级高、高职称、双职工、高学历、年龄大、受奖多的人员都能够得到充分的体现。

任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越，需要的是综合实力的优越。

由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：
将决策的时间定为1998年5月，任职时间、工作时间、出生年月均按每个月0.1分计算；职级差为1分，8级(处级)算2分,9级(副处级)算1分；职称每差一级1分，初级算1分，中级2分，高级3分；学历每差一档差1分，中专1分，大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分；爱人情况：院外算1分，院内职工算2分，院内干部算3分；对原奖励得分再加1分。

对40人量化分数如表。

表2 40个人的量化分数表(实力表)
(二)模型建立 1． 建立层次结构：
问题的层次结构分三层，第一层为目标层(O)：综合选优排序；第二层为准则层(C)：相减条件，共有8个因素，依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况，分别记为(1,2,,8)k c k
=L ；第三层为方案层(P)：40个参评人员，依次记为
(1,2,,40)i p i =L 。

2． 确定准则层 (C)对目标层(O)的权重1W ：
根据假设，C 层的8个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等。

因此，构造比较矩阵如下：
A = 12345678123
4
5678
123456781/2123456
71/31/21234561/41/31/2123451/51/41/31/212341/61/51/41/31/21231/71/61/51/41/31/2121/8
1/7
1/6
1/51/41/31/21A c c c c c c c c c c c c c c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
这是一个8阶的正互反矩阵，经计算求得该矩阵的最大特征值为max 8.2883λB ，对应的特征向量归一化处理后为：
[]
10.3313,0.2306,0.1572,0.1059,0.0709,0.0477,0.0327,0.0236T
W =
1.(8.28838)/70.0412C I =-=；查找相应的平均一致性指标1. 1.41R I =
所以， 1.0.0412/1.410.02920.1C R ==< ，通过一致性检验，可以认为分配指标体系的各属性指标在遵从要求原则的前提下给出的权重的方法是可行的。

3． 确定准则层 (P)对准则层(C)的权重2W ：
根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。

由此可以分别构造P 层对准则层(1,2,,8)k C k
=L 的比较矩阵
()
()k k ij N N
B b
⨯=，其中()
()
()(,1,2,,40;1,2,,8)k k i ij
k j
T b
i j k T ===L L 14040
8.38.38.38.38.3 6.5 6.5 3.56.5 6.5 6.5 6.58.3 6.5 6.5 3.56.5
6.5 6.5 6.58.3 6.5 6.5 3.53.5 3.5 3.5
3.58.3
6.5
6.5
3.5B ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L M M M
L
M L ，…… 显然，所有的(1,2,,8)k B k =L 均为一致阵，由一致阵的性质可知，k B 的最大特征
值()
max 40k λ
=，()..0k C R =，其任一列向量都是的特征向量，将其归一化可得P 层对C
层的权重向量，记作
()
()
()()
()1
2340,,,,(1,2,,8)T
k k k k k W
w
w w w k ⎡⎤==⎣⎦
L L ，
记
(1)(2)(8)
2408,,,W W W W ⨯⎡⎤=⎣⎦L ，
即为P 层对C 层的权重，且一致性比率指标为8
()
22
1
..0k k C R C R
===∑。

4． 确定方案层 (P)对目标层(O)的权重W ：
由于C 对O 的权重1W 和P 对C 的权重2W 已求得，则P 对O 的权重为
[]
(1)(2)(8)
()2111240408
,,,,,,[0.0316,0.0301,0.0277,0.0267,0.0285,0.0267,0.0270,0.0288,0.0259,0.0287,0.0258,0.0273,0.0250,0.0264,0.0257,0.0247,
0.0240,0.0252,0.0207,0.0226,0.023T
k W W W W W W W W w w w ⨯⎡⎤=⋅=⋅==⎣⎦
=L L 8,0.0264,0.0216,0.0232,0.0273,0.0224,0.0232,0.0211,0.0260,0.0208,0.0249,0.0265,0.0259,0.0227,0.0242,0.0248,0.0207,0.0214,0.0213,0.0227]T
其组合一致性比率指标为21...0.02920.1C R C R C R =+<B ，因此，组合权重W 可作为目标决策的依据。

5． 综合排序：
由于上式中的(1,2,,40)i w i L 是参评人 i P 对目标层O 层的权重，即就表示参评
人i P 的综合实力指标，按其大小依次排序，就可以得到决策方案。

其中给出的数字只是属性值矩阵对应的前三行和最后的三行，中间省略号为其他32位成员的各个属性值。

表2 40人的排序结果
(三) 结果分析
1．决策中选择的权重符合住房分配的原则，从权重值上可以看出它们是逐渐变小的，而这恰好吻合了分配原则中对各项指标在优先次序上的安排。

2．本文前提只是给出“按资排辈”的原则，只是突出了该具体的实例中的与职务、年龄、工龄等指标在指标体系中权重值相对较大。

根据实际需要的住房分配原则，可以调整它们的次序或相对的比重，还可以扩充、减少考虑的指标。

只要衡量判断矩阵时通过一致性检验，都能说明设定权重的合理性。

因此，利用层次分析法确定住房分配指标权重时具有一定的普遍性和通用性。

3．从实际的排序结果看，排入前5位的来看，他们的职级都是8级，任职都比较早，工作时间都比较早，而这些因素的权重都较大，综合得分较大也是合理的。

与此相反排序在第37、38、39、40位的他们在前四项指标衡量中都较别人低，而其它指标对应的值与别人相比，又没有优势，不能弥补前几项指标衡量中带给自身的劣势，造成总的得分最低。

因此，
整体来看，该模型能较好的满足住房分配的原则。

从大量的多属性决策问题结论上知道无论采用什么决策原则，高层次水平方案总是优先低层次水平方案，同一层次的几个方案采用不同的决策准则，优先次序会有所不同。

限于篇幅，我们没有给出这些不同准则下的综合排序，没有给出更合理的方案。

但层次分析法仍不失是解决住房分配的有效方法。