天津市蓟县2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析

天津市蓟县2019-2020学年中考数学第二次调研试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列哪一个是假命题（）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y=x2﹣4x+2017对称轴为直线x=2
2．2-的相反数是
A．2-B．2 C．1
2
D．
1
2
-
3．为了配合“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元，若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款：
A．140元B．150元C．160元D．200元
4．对于命题“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题的是（）
A．∠1＝50°，∠1＝40°B．∠1＝40°，∠1＝50°
C．∠1＝30°，∠1＝60°D．∠1＝∠1＝45°
5．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC 的度数为（）
A．125°B．75°C．65°D．55°
6．下列说法中，正确的个数共有（）
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠0D．x≠1
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间
2
a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（）
A．
5
3
x
x
≥-
⎧
⎨
>-
⎩
B．
5
3
x
x
>-
⎧
⎨
≥-
⎩
C．
5
3
x
x
<
⎧
⎨
<-
⎩
D．
5
3
x
x
<
⎧
⎨
>-
⎩
10．若二元一次方程组
3,
354
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解为
,
,
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
则-
a b的值为（）
A．1 B．3 C．
1
4
-D．
7
4
11．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）
A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）
12．下列四个几何体中，左视图为圆的是（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________. 14．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．
15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是___________（写出一个即可）．
16．关于x的分式方程2
1
1
x a
x
+
=
+
的解为负数，则a的取值范围是_________.
17．如图，在四个小正方体搭成的几何体中，每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的三视图的面积之和是_____．
18．某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）盆花，
按上规律推断，S与n的关系是________________________________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某中学七、八年级各选派10名选手参加知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a、b.
队别平均分中位数方差合格率优秀率
七年级 6.7 m 3.41 90% n
八年级7.1 7.5 1.69 80% 10%
（1）请依据图表中的数据，求a、b的值；
（2）直接写出表中的m、n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级；所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好.请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
20．（6分）如图所示，直线y=﹣2x+b与反比例函数y=k
x
交于点A、B，与x轴交于点C．
（1）若A（﹣3，m）、B（1，n）．直接写出不等式﹣2x+b＞k
x
的解．
（2）求sin∠OCB的值．
（3）若CB﹣CA=5，求直线AB的解析式．
21．（6分）已知关于x的方程x1+（1k﹣1）x+k1﹣1=0有两个实数根x1，x1．求实数k的取值范围；若x1，x1满足x11+x11=16+x1x1，求实数k的值．
22．（8分）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为¶AB，P是半径OB上一动点，Q是¶AB上的一动点，连接PQ．
（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求¶BQ的长；
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．
23．（8分）如图，在Y ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
求证：△ADE≌△BFE；若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的
位置关系，并说明理由．
24．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
操作发现如图
1，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S1．则S1与S1的数量关系是．猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S1的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？26．（12分）如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D
的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．
27．（12分）如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
参考答案
题目要求的．） 1．C 【解析】 分析：
根据每个选项所涉及的数学知识进行分析判断即可. 详解：
A 选项中，“五边形的外角和为360°”是真命题，故不能选A ；
B 选项中，“切线垂直于经过切点的半径”是真命题，故不能选B ；
C 选项中，因为点（3，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（-3，-2），所以该选项中的命题是假命题，所以可以选C ；
D 选项中，“抛物线y=x 2﹣4x+2017对称轴为直线x=2”是真命题，所以不能选D. 故选C.
点睛：熟记：（1）凸多边形的外角和都是360°；（2）切线的性质；（3）点P （a ，b ）关于y 轴的对称点为（-a ，b ）；（4）抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线：2b
x a
=- 等数学知识，是正确解答本题的关键. 2．B 【解析】 【分析】
根据相反数的性质可得结果. 【详解】
因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2， 故选B ． 【点睛】
本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 . 3．B 【解析】
试题分析：此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设李明同学此次购书的总价值是人民币是x 元，则有：20+0.8x=x ﹣10解得：x=150，即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元． 故选B ．
考点：一元一次方程的应用 4．D
【分析】
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【详解】
“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题为∠1＝∠1＝45°．
故选：D．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．5．D
【解析】
【分析】
延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【详解】
延长CB，延长CB，
∵AD∥CB,
∴∠1=∠ADE=145，
∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
6．C
【解析】
【分析】
根据外接圆的性质，圆的对称性，三角形的内心以及圆周角定理即可解出．
【详解】
（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；
故选：C．
此题考查了外接圆的性质，三角形的内心及轴对称和中心对称的概念，要求学生对这些概念熟练掌握． 7．D 【解析】
试题解析：由题意可知：x-1≠0， x≠1 故选D. 8．C 【解析】 【分析】
①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a ，进而可得出4a+2b=0，结论①错误； ②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-3
c
，再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-
2
3
，结论②正确； ③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确． 【详解】
：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ）， ∴-
2b
a
=1， ∴b=-2a ，
∴4a+2b=0，结论①错误；
②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴a-b+c=3a+c=0， ∴a=-
3
c
． 2
∴-1≤a≤-2
3
，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥-3，
A、不等式组
5
3
x
x
≥-
⎧
⎨
>-
⎩
的解集为x＞-3，故A错误；
B、不等式组
5
3
x
x
>-
⎧
⎨
≥-
⎩
的解集为x≥-3，故B正确；
C、不等式组
5
3
x
x
<
⎧
⎨
<-
⎩
的解集为x＜-3，故C错误；
D、不等式组
5
3
x
x
<
⎧
⎨
>-
⎩
的解集为-3＜x＜5，故D错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．
【解析】 【分析】
先解方程组求出7
4x y -=，再将,,x a y b =⎧⎨=⎩
代入式中，可得解.
【详解】 解：3,354,x y x y +=⎧⎨
-=⎩①
②
+①②，
得447x y -=， 所以74
x y -=
， 因为,
,x a y b =⎧⎨=⎩
所以7
4
x y a b -=-=. 故选D. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b 的值，本题属于基础题型． 11．C 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质y ＝a(x ﹣h)2+k 的顶点坐标是(h ，k)进行求解即可. 【详解】
∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5， ∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)， 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等． 12．A 【解析】 【分析】
根据三视图的法则可得出答案.
解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故符合题意的选项是A.
【点睛】
错因分析 较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（1,4）.
【解析】
试题分析：把A （0,3），B （2,3）代入抛物线
可得b=2，c=3，所以=
，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.
考点：抛物线的顶点.
14．1
【解析】
【分析】
底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.
【详解】
试题解析：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4cm ，腰长是9cm 时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=1cm ．
故填1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.
15．AB=AD （答案不唯一）.
【解析】
已知OA=OC ，OB=OD ，可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．所以添加条件AB=AD 或BC=CD 或AC ⊥BD ，本题答案不唯一，符合条件即可.
16．12a a >≠且
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
【详解】
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x的值再进行分析
17．1
【解析】
【分析】
根据三视图的定义求解即可．
【详解】
主视图是第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，主视图的面积是4，
俯视图是三个小正方形，俯视图的面积是3，
左视图是下边一个小正方形，第二层一个小正方形，左视图的面积是2，
几何体的三视图的面积之和是4+3+2=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
18．S=1n-1
【解析】
观察可得，n=2时，S=1；
n=3时，S=1+（3-2）×1=12；
n=4时，S=1+（4-2）×1=18；
…；
所以，S与n的关系是：S=1+（n-2）×1=1n-1．
故答案为S=1n-1．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）a=5，b=1；（2）6；20%；（3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级.
【解析】
试题分析：（1）根据题中数据求出a 与b 的值即可；
（2）根据（1）a 与b 的值，确定出m 与n 的值即可；
（3）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可．
试题解析：（1）根据题意得：31671819110 6.710{111110
a b a b ⨯++⨯+⨯+⨯+=⨯+++++= 解得a=5，b=1；
（2）七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m=6； 优秀率为111105+==20%，即n=20%； （3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定，
故八年级队比七年级队成绩好．
考点：1.条形统计图；2.统计表；3.加权平均数；4.中位数；5.方差．
20．（1） x ＜﹣3或0＜x ＜1；（2）
255；（3）y=﹣2x ﹣25． 【解析】
【分析】
（1）不等式的解即为函数y=﹣2x+b 的图象在函数y=k x
上方的x 的取值范围．可由图象直接得到． （2）用b 表示出OC 和OF 的长度，求出CF 的长，进而求出sin ∠OCB ．
（3）求直线AB 的解析式关键是求出b 的值．
【详解】
解：（1）如图：
由图象得：不等式﹣2x+b ＞k x
的解是x ＜﹣3或0＜x ＜1； （2）设直线AB 和y 轴的交点为F ．
当y=0时，x=2b ，即OC=﹣2
b ； 当x=0时，y=b ，即OF=﹣b ，∴2222()()2b OC OF b +=-+-5，
∴sin ∠OCB=sin ∠OCF=5OF CF b =-=5=255． （3）过A 作AD ⊥x 轴，过B 作BE ⊥x 轴，则AC=
5AD=5A y ，BC=55B BE y =-，∴AC ﹣BC=52
（y A +y B ）=5-（x A +x B ）5b +=﹣5，又﹣2x+b=k x ，所以﹣2x 2+bx ﹣k=0，∴2A B b x x +=，∴5-×52b
+b=﹣5，∴b=25-，∴y=﹣2x ﹣25．
【点睛】
这道题主要考查反比例函数的图象与一次函数的交点问题，借助图象分析之间的关系，体现数形结合思想的重要性．
21． (2) k≤
54
;(2)-2. 【解析】
试题分析：（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x 2+x 2=2﹣2k 、x 2x 2=k 2﹣2，将其代入x 22+x 22=（x 2+x 2）2﹣2x 2x 2=26+x 2x 2中，解之即可得出k 的值．
试题解析：（2）∵关于x 的方程x 2+（2k ﹣2）x+k 2﹣2=0有两个实数根x 2，x 2，
∴△=（2k ﹣2）2﹣4（k 2﹣2）=﹣4k+5≥0，解得：k≤
， ∴实数k 的取值范围为k≤． （2）∵关于x 的方程x 2+（2k ﹣2）x+k 2﹣2=0有两个实数根x 2，x 2，
∴x 2+x 2=2﹣2k ，x 2x 2=k 2﹣2．∵x 22+x 22=（x 2+x 2）2﹣2x 2x 2=26+x 2x 2，
∴（2﹣2k ）2﹣2×（k 2﹣2）=26+（k 2﹣2），即k 2﹣4k ﹣22=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k 的值为﹣2．
考点：一元二次方程根与系数的关系,根的判别式.
22．（1）90,102︒；（2）
103
π；（3）251002100π- 【解析】
【分析】
（1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；
（2）先判断出∠POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（3）先在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210) ＝2( 10 - O P ) ，解得OP ＝10210- ，最后用面积的和差即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵P 是半径OB 上一动点，Q 是¶AB 上的一动点，
∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，
此时，∠POQ ＝90°，PQ ＝22102+=OA OB ， 故答案为：90°，102 ；
（2）解：如图，连接OQ ，
∵点P 是OB 的中点，
∴OP ＝12OB ＝12
OQ ． ∵QP ⊥OB ，
∴∠OPQ ＝90°
在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP ＝
OP 12=OQ ， ∴∠QOP ＝60°，
∴l BQ 6010101803
ππ=⨯= ； （3）由折叠的性质可得，,
102''===BP B P AB AB ， 在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210)- ＝2( 10 - O P ) ,
解得OP ＝10210-，
S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S △AOP ＝290110210(10210)2510021003602
ππ⨯-⨯⨯⨯-=-+.
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键． 23．（1）见解析；（1）见解析．
【解析】
【分析】
（1）由全等三角形的判定定理AAS 证得结论．
（1）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E 是边DF 的中点，∠1=∠1；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC ，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE ⊥DF ．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ．
又∵点F 在CB 的延长线上，
∴AD ∥CF ．
∴∠1=∠1．
∵点E 是AB 边的中点，
∴AE=BE ，
∵在△ADE 与△BFE 中，12DEA FEB AE BE
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△ADE ≌△BFE （AAS ）．
（1）CE ⊥DF ．理由如下：
如图，连接CE ，
由（1）知，△ADE ≌△BFE ，
∴DE=FE ，即点E 是DF 的中点，∠1=∠1．
∵DF 平分∠ADC ，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠1．
∴CD=CF ．
∴CE ⊥DF ．
24．解：（1）①DE ∥AC ．②12S S =．（1）12S S =仍然成立，证明见解析；（3）3或2．
【解析】
【详解】
（1）①由旋转可知：AC=DC ，
∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=20°．∴△ADC 是等边三角形．
∴∠DCA=20°．∴∠DCA=∠CDE=20°．∴DE ∥AC ．
②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．
由①可知：△ADC 是等边三角形, DE ∥AC ，∴DN=CF,DN=EM ．
∴CF=EM ．
∵∠C=90°，∠B =30°
∴AB=1AC ．
又∵AD=AC
∴BD=AC ． ∵1211S CF BD S AC EM 22
=⋅=⋅， ∴12S S =．
（1）如图，过点D 作DM ⊥BC 于M ，过点A 作AN ⊥CE 交EC 的延长线于N ， ∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，
∴BC=CE ，AC=CD ，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM ，
∵在△ACN 和△DCM 中，ACN DCM CMD N AC CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△ACN ≌△DCM （AAS ），
∴AN=DM ，
∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S 1=S 1；
（3）如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，
所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，
此时S △DCF1=S △BDE ；
过点D作DF1⊥BD，
∵∠ABC=20°，F1D∥BE，∴∠F1F1D=∠ABC=20°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=1
2
∠ABC=30°，∠F1
DB=90°，∴∠F1DF1=∠ABC=20°，
∴△DF1F1是等边三角形，
∴DF1=DF1，过点D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=
1
2
×20°=30°，BG=
1
2
BC=
9
2
，
∴BD=33
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF1=320°-150°-20°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF1，
∵在△CDF1和△CDF1中，
12
12
DF DF
CDF CDF
CD CD
⎧
⎪
∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△CDF1≌△CDF1（SAS），
∴点F1也是所求的点，
∵∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
1
2
×20°=30°，
又∵BD=33，
∴BE=
1
2
×33÷cos30°=3，
∴BF1=3，BF1=BF1+F1F1=3+3=2，
故BF的长为3或2．
25．（1）1；（3）；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．
【解析】
试题分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到30﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；
（3）由于根据（1）得到x≤1，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；
（3）首先把函数变为y==，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．
试题解析：（1）设一次购买x只，则30﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=1．
答：一次至少买1只，才能以最低价购买；
（3）当10＜x≤1时，y=[30﹣0.1（x﹣10）﹣13]x=，当x＞1时，y=（16﹣13）x=4x；
综上所述：；
（3）y==，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
②当45＜x≤1时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当x=46时，y1=303.4，当x=1时，y3=3．∴y1＞y3．
即出现了卖46只赚的钱比卖1只赚的钱多的现象．
当x=45时，最低售价为30﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．
考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；分类讨论．
26．39米
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥CD，垂足为点E，在Rt△ADE中，利用三角函数求出DE的长，在Rt△ACE中，求出C E的长即可得.
【详解】
解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，
由题意得，AE= BC=28，∠EAD＝25°，∠EAC＝43°，
在Rt△ADE中，∵tan
DE EAD
AE
∠=，∴tan25280.472813.2
DE=︒⨯=⨯≈，
在Rt △ACE 中，∵tan CE EAC AE
∠=，∴tan43280.932826CE =︒⨯=⨯≈， ∴13.22639DC DE CE =+=+≈（米），
答：建筑物CD 的高度约为39米．
27．（4）4；（2）
35；（4）点E 的坐标为（4，2）、（53，103
）、（4，2）． 【解析】 分析：（4）过点B 作BH ⊥OA 于H ，如图4（4），易证四边形OCBH 是矩形，从而有OC=BH ，只需在△AHB 中运用三角函数求出BH 即可．
（2）过点B 作BH ⊥OA 于H ，过点G 作GF ⊥OA 于F ，过点B 作BR ⊥OG 于R ，连接MN 、DG ，如图4（2），则有OH=2，BH=4，MN ⊥OC ．设圆的半径为r ，则MN=MB=MD=r ．在Rt △BHD 中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D 与点H 重合．易证△AFG ∽△ADB ，从而可求出AF 、GF 、OF 、OG 、OB 、AB 、BG ．设OR=x ，利用BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2可求出x ，进而可求出BR ．在Rt △ORB 中运用三角函数就可解决问题．
（4）由于△BDE 的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t 的方程就可解决问题．
详解：（4）过点B 作BH ⊥OA 于H ，如图4（4），则有∠BHA=90°
=∠COA ，∴OC ∥BH ． ∵BC ∥OA ，∴四边形OCBH 是矩形，∴OC=BH ，BC=OH ．
∵OA=6，BC=2，∴AH=0A ﹣OH=OA ﹣BC=6﹣2=4．
∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，
∴tan ∠BAH=BH HA
=4，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4．
（2）过点B 作BH ⊥OA 于H ，过点G 作GF ⊥OA 于F ，过点B 作BR ⊥OG 于R ，连接MN 、DG ，如图4（2）．
由（4）得：OH=2，BH=4．
∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ．
设圆的半径为r ，则MN=MB=MD=r ．
∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．
∵BM=DM ，∴CN=ON ，∴MN=12
（BC+OD ），∴OD=2r ﹣2，∴DH=OD OH -=24r -． 在Rt △BHD 中，∵∠BHD=90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．
解得：r=2，∴DH=0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD=AD ．
∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD=90°，即DG ⊥AB ，∴BG=AG ．
∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF=12AD=2，GF=12
BD=2，∴OF=4，
∴
同理可得：，∴BG=
12．
设OR=x ，则x ．
∵BR ⊥OG ，∴∠BRO=∠BRG=90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，
∴（2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．
解得：，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2）2=365，∴
在Rt △ORB 中，sin ∠BOR=BR OB
35． 故答案为35
． （4）①当∠BDE=90°时，点D 在直线PE 上，如图2．
此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t ，OP=t ． 则有2t=2．
解得：t=4．则OP=CD=DB=4．
∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴
DE OC =BD BC =12，∴DE=2，∴EP=2， ∴点E 的坐标为（4，2）．
②当∠BED=90°时，如图4．
∵∠DBE=OBC ，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE ∽△OBC ，
∴BE
BC =2DB BE OB ∴，，∴． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP=∠BOC ．
∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE ∽△BCO ，
∴OE
OB =OP BC
，2t ，∴t ．
∵OE+BE=OB=255
，∴t+
5
5
t=25．
解得：t=5
3
，∴OP=
5
3
，OE=
55
，∴PE=22
OE OP
-=
10
3
，
∴点E的坐标为（510
33，）．
③当∠DBE=90°时，如图4．
此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．
则有OD=PE，EA=22
PE PA
+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．
在Rt△DBE中，cos∠BED=BE
DE
=
2
2
，∴DE=2BE，
∴t=22
（t﹣22）=2t﹣4．
解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（4，2）、（510
33，）、
（4，2）．
点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．。