江西省吉安一中2013-2014学年高一下学期第一次段考数学试题 Word版含答案

江西省吉安一中2013-2014学年高一下学期第一次段考
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1. 在△ABC 中，,,104
6
A B a π
π
==
=，则b ＝（ ）
A.
B.
C.
D. 2. 已知等比数列{}n a 满足：251
2,4
a a ==，则公比q 为（ ） A. 12
-
B.
12
C. －2
D. 2
3. 《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。

（不作近似计算）（ ）
A.
1
2
B.
815
C.
1629
D.
1631
4. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a =+=，则1a ＝（ ） A. 13
-
B.
13
C. 19
-
D.
19
5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 的形状为（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
6. 由正数组成的等比数列{}n a 满足：489a a =，则57,a a 的等比中项为（ ） A. ±3
B. 3
C. ±9
D. 9
7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为（ ）
A. 16π
B.
493
π
C.
473
π
D. 15π
8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =（ ） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1
(1)
2
(1n m n m n
m n m
b a a a
-+-+-+=+++，n c =(1)1m n a -+·(1)2(1)(,)m n m n m a a m n N -+-++⋅⋅∈，则以下结论一定正确的是（ ）
A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m
q B. 数列{}n b 为等比数列，公比为2m
q
C. 数列{}n c 为等比数列，公比为m
m q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为2
m q
10. 设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin B
A
的取值范围是（ ）
A. (0,)+∞
B. 10,
2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C. 11,2
2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪
⎪
⎝⎭
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若2sin ,4c a C bc ==，则△ABC 的面积等于__________。

12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51010,30S S ==，则15S ＝__________。

13. 若数列{}n a 满足：1111
,(2)2(1)
n n n n a a a a a n n n --=-=≥-，则该数列的通项公式n a ＝__________。

14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C 等于__________。

15. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
745
3
n n A n B n +=+，则使得
n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是__________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c
，且1,2a b B A ===。

（1）求cos A 的值；（2）求c 的值。

17. （本小题满分12分）
吉安一中新校区正在如火如荼地建设中，如图，某工地的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，工地的两个出入口设置在点A 及点C 处，工地中有两条笔直的小路AD 、DC ，长度分别为300米、500米，且DC 平行于OB 。

求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）。

18. （本小题满分12分）
设等差数列{}n a 满足29a =，且15,a a 是方程2
16600x x -+=的两根。

（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T 。

19. （本小题满分12分）
某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为(1)n -千元时多卖出
()2n
b
n N +∈件。

（1）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；
（2）当10,4000a b ==时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？
20. （本小题满分13分） 已知首项为
3
2
的等比数列{}n a 不是递减数列，其前n 项和为n S ，且33554,,S a S a S a +++成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
()n n n
T S n N S +=-
∈，求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值。

21. （本小题满分14分）
设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列(0)d ≠，n S 是其前n 项的和。

记
2
,n
n nS b n N n c
+=
∈+，其中c 为实数。

（1）若0c =，且124,,b b b 成等比数列，证明：2
(,)nk k S n S k n N +=∈；
（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =。

【试题答案】
1-5 ABCDB
6-10 ABCDC 11. 1
12. 60
13.
31
n
n - 14.
23
π 15. 5
16. （1）在△ABC
中，由正弦定理得1sin sin 2A A =
，故cos 2
A =。

（2）由（1）知6
A π
=
，故,3
2
B C π
π
=
=。

因此sin 2sin a C
c A
=
=。

17. 设该扇形的半径OA 为r ，连接CO ，则∠CDO ＝60°。

在△CDO 中，
2222cos CD DO CD DO CDO CO +-⋅⋅∠=
即2
2
21
500(300)2500(300)2
r r r +--⨯⨯-⨯=。

解得4900
44511
r =
≈（米）。

答：该扇形的半径OA 为445米。

18. （1）153216a a a +==，所以1d =-，故11n a n =-+。

（2）数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意得， 当11n ≤时，212122
n n T S n n ==-
+。

当12n ≥时，211121
211022
n n T S S n n =-+=-+。

综上所述，
22121
,11,22121110,12.22
n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 19. （1）设0S 表示广告费为0元时的销售量，由题意知
1211021
,,,2
22
n n n b
b b
S S S S S S --=
-=
-=， 将上述式子相加，得
1
1
211122122
2212
n n n n
b b
b S b b b +⎛⎫- ⎪⎛
⎫
⎝⎭
=+
+++=⋅=- ⎪⎝⎭
-即为所求。

（2）设当10,4000a b ==时，获利为n T 元，
由题意知，1
10100040000(2)10002n n n
T S n n =-=-
-， 欲使n T 最大，则11220
240n
n n n
n n T T T T +-⎧≥≥⎧⎪⇒⎨⎨≥≤⎪⎩⎩
，易知5n =，此时57875S =。

答：厂家应该生产7875件产品，做5千元的广告，才能获利最大。

20. （1）设{}n a 的公比为q 。

由335544,,S a S a S a +++成等差数列，得
55334455S a S a S a S a +--=+--。

即534a a =，则2
5314
a q a =
=。

又{}n a 不是递减数列且132a =
，所以12
q =-。

故1
1313(1)222n n n n
a --⎛⎫
=⨯-=-⋅
⎪
⎝⎭。

（2）由（1）得11,121121,.2n
n n n
n S n ⎧+⎪
⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎪-⎪⎩为奇数，为偶数
当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，所以13
12
n S S <≤=， 故11113250236
n n S S S S <-
≤-=-=。

当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以23
14
n S S =≤<， 故221134704312
n n S S S S >-
≥-=-=-。

综上，对于n N +∈，总有715
126
n n S S -≤-≤， 所以数列{}n T 最大项的值为56，最小值的值为712
-。

21. 由题设，1(1)
2
n n n S na d -=+。

（1）由0c =，得12
n n S n b a d n -=
=+。

又因为124,,b b b 成等比数列，所以2214b b b =，
即2
322d a a a d ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，化简得2
20d ad -=。

因为0d ≠，所以2d a =。

因此对于所有的m N +∈，有2
m S m a =。

从而对于所有的,k n N +∈，有2222
()nk k S nk a n k a n S ===。

（2）设数列{}n b 的公差为1d ，则11(1)n b b n d =+-， 即
112(1),n
nS b n d n N n c +=+-∈+，代入n S 的表达式，整理得，对于所有的n N +∈， 有3211111111()22d d n b d a d n cd n c d b ⎛⎫⎛⎫
-
+--++=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭。

令1111111
,,()22
A d d
B b d a d D c d b =-
=--+=-， 则对于所有的n N +∈，有32
1An Bn cd n D ++=。

（*）
在（*）式中分别取1,2,3,4n =，得
1111842279364164A B cd A B cd A B cd A B cd ++=++=++=++，
从而有
1730A B cd ++= ①，11950A B cd ++= ②，12150A B cd ++=
③，
由②③得10,5A cd B ==-，代入方程①，得0B =，从而10cd =。

即11111
0,022
d d b d a d -
=--+=，10cd =。

若10d =，则由11
02
d d -
=，得0d =，与题设矛盾，所以10d ≠。

又因为10cd =，所以0c =。