Atiken加速一般迭代和牛顿迭代法

第二次上机实验报告实验一：
.用不动点迭代法求
的根
发散的迭代格式：
,其中k=0，1，2……
收敛的迭代格式：
,其中k=0，1，2……
当使用第二种格式迭代，且精度为10^(-12)时，程序如下：#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <math.h>
using namespace std;
#define h 0.000000000001
double f(double x) {
double f1 = pow(x + 1, 1.0 / 3);
return f1;
}
int main() {
double x1, x2;
int n=0;
cout<< "input first data:" <<endl; cin>> x1;
x2 = f(x1);
while (fabs(x2 - x1) > h) {
n++;
x1 = x2;
cout<<setprecision(14) << x2 <<endl; x2 = f(x1);
}
cout<< "result:"
<<endl
<<setprecision(14) << x2
<<endl;
cout<< n
<<endl;
return 0;
}
输入初值为3的时候，结果如下：
对迭代格式使用Aitken加速，观察其收敛散性质变化对迭代格式一使用Aitken加速，收敛
对迭代格式二使用Aitken加速，收敛速度变快
程序如下：
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<math.h>
#defineh 0.000000000001
usingnamespacestd;
double f(doublex) {
double f1 = pow(x,3)-1;
return f1;
}
int main() {
double x0,x1, x2;
int n = 0;
cout<<"please input the first number:"<<endl; cin>> x0;
x1 = f(x0);
while (fabs(x0-f(x0))>h) {
n++;
x2 = f(x1);
x0 = x2 - (x2 - x1)*(x2 - x1) / (x2 - 2 * x1 + x0); x1 = x2;
cout<<setprecision(14) << x0 <<endl;
}
cout<<"result:"
<<endl
<<setprecision(14)
<<x0
<<endl;
cout<< n <<endl;
return 0;
}
对迭代格式二作Aikten加速迭代时，只需将函数f(x)替换为。

初值为3的运行结果如下：
迭代格式一：
迭代次数：34
收敛于1.3247179572448
迭代格式二：
迭代次数：3
收敛于：1.3247179572448
实验二：
.
=0,分析其有根区间；
．
,取
=3.5,1,-0.5进行计算
对比直接计算与Aitken加速的结果
.设计更多的
,采用更多的初值，重复
的操作。

1. 因为
且
，
所以函数
的有根区间为
，
和
2.
=3.5，1，-0.5时的一般迭代运行结果分别如下：
三者迭代次数稍有差别，但是最后的收敛结果都收敛于同一个根。

=3.5，1，-0.5时的Aitken加速迭代运行结果分别如下：
显然Aitken加速比一般迭代法收敛更加迅速，且当初值选择恰当时，收敛的值也在初值附近。

3.
取
=4，3.5，1，0.5，-0.5，-1，-3
对于
，
=4，3.5，1，0.5，-0.5，-1，-3
一般迭代法：
=4：
=3.5
=1
=0.5
=-0.5
=-1
=-3
Aitken加速法：=4
=3.5
=1
=0.5
=-0.5
=-1
=-3
结论：初值的选择对一般迭代法的最终结果影响较大，较大的初值有可能会导致一般迭代法发散。

对于
：
一般迭代法：
=4
发散=3.5
=1
=0.5
=-0.5
溢出
=-1
溢出
=-3
溢出
Aitken加速法：=4
=3.5
=1
=0.5
=-0.5
=-1
=-3
结论：同上，Aitken收敛速度更快，一般迭代法对初值敏感。

通过以上两个实验，你对Aitken加速有什么样的认识？
1. Aitken加速收敛速度远高于一般迭代法
2. Aitken加速对初值不敏感
3. Aitken加速可以使部分一般迭代法中发散的变得收敛
继续阅读。