数学丨天津市部分区2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷及答案

2022高二天津市蓟州区第一学期期中练习
一、选择题（每小题4分，共36分）
1.在空间直角坐标系中，已知点),3,6,4(,5,2,2B A ）
（则线段AB 的长度是 A. 62 B.34 C.24 D.4
2.已知圆心为（1，-1），半径为2的圆的方程为
A.2)1()1(22=++-y x
B.2)1()1(22=-++y x
C.4)1()1(22=++-y x
D.4)1()1(22=-++y x
3.在空间直角坐标系Oxyz 中，点)3,2,1(-A 在坐标平面Oyz 的射影坐标是
A.（0，-2,3）
B.（1,0,3）
C.（1，-2,0）
D.（1,0,0）
4.两条平行直线043:,1043:21=+=+y x l y x l 之间的距离为 A.5
2 B.2 C.52 D.4 5.设R a ∈,直线,1:1=+y ax l 与直线112:2-=++
y a x l ）（垂直，则=a A.-2 B.1 C.-2或1 D.31-
6.若过点)1,2(P ,且与圆122=+y x 相切的直线方程为
A.052=-+y x
B.1052==-+y y x 或
C.0534=--y x
D.10534==--y y x 或
7.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点B 到直线AC 1距离是 A.33 B. 31 C.36 D.3
2 8.点)1,2(--P 到直线)(,042)1()31(:R y x l ∈=--+++λλλλ的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为 A.02;13=-+y x B.
04311=-+y x ； C. 013213=+-y x ； D.013211=+-y x ；
9.已知直线:1l x y -=与圆22:2210x y x y Γ+-+-=相交于,A C 两点, 点,B D 分别在圆Γ上运动, 且位于直线l 两侧, 则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）
A. 30
B.302
C.51
D. 512
二．填空题（每小题4分，共24分）
10.已知空间向量)2,1,1(),3,2,1(-=-=b a ，则
b b a ⋅+）（2= . 11.已知点P （1,2）到直线0134=+-y x l ；的距离为 .
12.设空间向量)1,1,0(),3,2,1(-==b a ，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为 。

13.若圆422=+y x 与圆012442
2=-+-+y x y x 的公共弦的长为___________ 14.直三棱柱111C B A ABC -中，
90=∠BCA ，11,F D 分别是1111C A B A ，的中点，1CC CA BC ==,则11AF BD 与所成角的余弦值为
15. 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的
距离为
455
，则圆C 的方程为__________. 三．解答题（本大题满分60分）
16.（本小题满分12分）如图，棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E,F,G 分别是11,BB BD DD ，的中点，
（1）求证：CF EF ⊥;
（2）求点G 到平面EFC 的距离。

17.（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点()()()2,4,4,6,5,1A B C --.
(1)求AB边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程.
18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点
D ，
E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线
段AD 的中点，4PA AC ==，
2AB =．
（1）求证：MN ⊥平面BDE ；
（2）求平面P AC 与平面EMN 所成角的余弦值。

19.（本小题满分12分）已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于M,N 两点，若CMN △为直角三角形，求直线2l 的方程；
20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，且3PA AB ==，2AC =，E 是棱PD 的中点.
（1）求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；
（2）在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面ACE 所成角的余弦
M 的位置；若不存在，请说明理由.
天津市蓟州区第一学期期中练习
参考答案：
一．ACABD DCCA
二．10.5；11.51；12.），，（2
1210-;13.22;14.1030；15.22(2)9.x y -+= 三．
16.解析：建立以D 为原点，分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴，.则E (0,0,1),F (1,1,0),C (0,2,0),G (2,2,1) (1)00)1()1(111),0,1,1(),1,1,1(=⨯-+-⨯+⨯=⋅-=-=CF EF CF EF ,
CF EF CF EF ⊥⊥∴, (2))1,2,0(-=∴CE .设平面CEF 的法向量为)(z y,x,=n ，则有,,CF CE ⊥⊥n n (1,1,2),1,002,00=∴=⎩
⎨⎧=-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n n n y y x z y CF CE 令即， )1,0,2(=∴CG ,所以点G 到平面CEF 的距离为：
332|211211012|||
222=++⨯+⨯+⨯=⋅=|n |n CG d
17.（1）线段AB 的中点为)1,1(-D ，
则中线CD 1
51)1(--=--x y ，即230x y --=. （2）设两坐标轴上的截距为a,b ， 若a=b =0则直线经过原点，斜率40220k -=
=---， 直线方程为2y x =-，即20x y +=；
若0a b =≠，则设直线方程为1x y a a
+=，即0x y a +-=， 把点(2,4)A -代入得240a -+-=，即2a =，直线方程为20x y +-=；
综上，所求直线方程为20x y +=或20x y +-=
18.如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角
坐标系．依题意可得
(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,4)，(0,0,2)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)M ，(1,2,0)N ．
（1）证明：DE =(0,2,0)，DB =(2,0,2)-.设(,,)x y z =n ，为平
面BDE 的法向量，
则00
DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN =（1，2，1-），可得0MN ⋅=n .
因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE .
（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的法向量，
则2200
EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n .
设平面PAC 与平面EMN 所成角为θ，21214||||,||,cos |cos 212121=⋅=><=n n |n n n n θ 所以，平面PAC 与平面EMN 所成角的余弦值为
21
214. 19.（1） 设圆心坐标为(),a b ，则()()()()222241
62664b a a b a b -⎧=⎪-⎨⎪-+-=-+-⎩
，解得：11a b =⎧⎨=-⎩， ∴圆的半径()()22
6452r a b =-+-=， ∴圆C 的方程为：()()221150x y -++=.
（2）CMN △为直角三角形，CM CN =，CM CN ∴⊥，
则圆心C 到直线2l 的距离252
d r ==； 当直线2l 斜率不存在，即2:6l x =时，满足圆心C 到直线2l 的距离5d =；
当直线2l 斜率存在时，可设()2:246l y k x -=-，即6240kx y k --+=，
21624
51k k d k +-+∴==+，解得：12
5k =，
21248:055l x y ∴-+=，即125480x y -+=； 综上所述：直线2l 的方程为6x =或125480x y -+=.
20.（1）以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系，则(000)A ，，，(030)B ，，，(200)C ，，，(230)D -，，，(003)P ，，，33(1)22
E -，，.设平面AEC 的法向量为()x y z n =，，.
⊥33(1)(200)22
AE AC =-=，，，，，， ⊥00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3302220.
x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，1 不妨取1y =，得(011)n =，，
又(203)PC =-，，.
设直线PC 与平面AEC 所成的角为α，
则326sin cos 26PC αPC PC n
n n ⋅=<==⋅>，，
即直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为32626
． （3）假设在线段PB 上(不含端点)存在一点M ，使得平面MAC 与平面ACE 所成角的余弦值为1010
.连接AM MC ，.设(01)PM PB λλ=<<， 得(0333)M λλ-，，. 设平面MAC 的法向量为()x y z m =，，.
⊥(0333)(200)AM λλAC =-=，，，，，，
⊥00m AM m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3(33)020.y z x λλ+-=⎧⎨=⎩
， 不妨取1z =，得1(011)λ
m =-，， 设平面MAC 与平面ACE 所成角为θ，
则cos cos 102θm n
m n m n ⋅=<===⋅⋅>，.
化简得29920
λλ-+=， 解得13λ=，或23
λ=. ⊥二面角M AC E --的余弦值为
10，
⊥13
λ=. ⊥在线段PB 上存在一点M ，且13PM PB =
，使得二面角M AC E --。