导数和微分的概念

一元函数微分学
§1 导数和微分的概念
基本概念
1. 导数定义
00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=∆∆=∆-∆+→→∆→∆ 0|)()(00x x dx
dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握
函数在某点可导即上述极限存在，极限存在⇔左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导，
)(lim
00x f x y x --→∆'=∆∆， )(l i m 00x f x y x ++→∆'=∆∆ 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。

2. 导函数)(x f ',dx
dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导
3. 可导与连续的关系
可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导）
4. 导数的几何意义
切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)()
(1000x x x f y y -'-
=- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义
微分的几何意义
6. 微分与导数的关系
)(x f 在x 处可微⇔)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('=
同时 dx x f dy x x )(|00'==。

§2 导数与微分的计算
基本概念
1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页）
2. 导数（微分）四则运算公式
)()())()((x g x f x g x f '±'='±，
)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，
特别地 )())((x f k x kf '='，
)
()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 )
()())(1(2x f x f x f '-='。

后面两个公式不要记错。

3. 复合函数的求导法则
如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合
4．高阶导数（计算同一阶导数）。

§3 中值定理
基本概念
1. 罗尔定理
若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 。

罗尔定理的几何解释
2. 拉格朗日中值定理
若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则至少存在一点ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，
或 )))((()()(a b
a b a f a f b f --+'=-θ )10(<<θ。

拉格朗日中值定理的几何解释
罗尔定理 是拉格朗日中值定理的特殊情形
3. 拉格朗日中值定理的推论1
若函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，则)(x f 在区间I 上是一个常数。

4. 拉格朗日中值定理的推论2
若函数)(x f ，)(x g 在区间I 上每一点导数都相等，则这两个函数在区间I 上至多相差一个常数。

§4 导数的应用
基本概念
1. 罗比达法则：若函数)(x f ，)(x g 满足
（1）)(0)(lim )(lim 0
0∞==→→或x g x f x x x x ； （2）在极限点附近，)(x f '，)(x g '都存在，且0)(≠'x g ；
（3）)
()(lim 0x g x f x x ''→存在或为无穷大。

则有)
()(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x ''=→→。

注（1） 罗比达法则运用的条件：00或∞
∞型不定式； （2）每次使用看之前是否能够化简或等价无穷小代换；
（3）只要符合罗比达法则条件，可多次使用。

2. 函数的单调性
用函数的一阶导数的符号判定单调性
3． 极值的概念 极值是局部性质
4. 极值存在的必要条件，驻点
5. 极值存在的充分条件
第一充分条件（用一阶导数即单调性来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）
设函数)(x f 在点0x 的邻域内可导（可在点0x 不可导，但连续），当),(00x x x δ-∈时，0)(>'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x f ，则函数)(x f 在点0x 处取得极大值；当),(00x x x δ-∈时，0)(<'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(>'x f ，则函数)(x f 在点0x 处取得极小值；当),(00δδ+-∈x x x 时，)(x f '不变号 ，则)(x f 在0x 处不是极值。

第二充分条件（用二阶导数来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）
设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取得极大值；当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取得极小值。

两个充分条件各有利弊，第一条件对函数的要求较低，结论直观上非常好理解，而第二条件对函数要求较高（二阶导数要存在），运用较方便。

6. 函数的最值 最值是整体性质
若)(x f 在),(b a 内可导，且0x 点是)(x f 在),(b a 内唯一驻点，若0x 是)(x f 的极小（大）值点，则0x 必是)(x f 的最小（大）值点。

此结论在实际中非常有用。

7. 函数的凹凸性及其判定，拐点
若函数)(x f 在区间I 上0)(>''x f ，则)(x f 在区间I 上是凹的；若函数)(x f 在区间I 上0)(<''x f ，则)(x f 在区间I 上是凸的。

用函数的二阶导数的符号判定凹凸性，在连续曲线上，凹凸部分分界点称为曲线的拐点。

8. 曲线的渐近线
垂直渐近线 ：当0x x →（+→0x x 或-→0x x ）时，有∞→)(x f ，称0x x =是曲线的垂直渐近线；
水平渐近线：当∞→x （+∞→x 或-∞→x ）时，有c x f →)(，称c y =是曲线的水平渐近线。