2021年高三上学期期末摸底考试(数学理)

2021年高三上学期期末摸底考试（数学理）
xx年1月本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷第1至2页，第II卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．
1．已知集合，，那么等于
A．B．
C．D．
2．复数等于
A．B．C．D．
3．已知向量，，且，那么等于
A．B．C．D．
4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于A．
B．
C．
D．
5．已知，那么“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．如右图，设，两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（其中，，精确到）
A．B．
C．D．
7．过圆上一点的切线方程是
A．B．C．D．
8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上. 9．在二项式的展开式中，含的项的系数是___________.
10．已知，满足不等式组那么的最小值是___________.
11．如图，已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，，圆的半径是，那么
12．已知数列{} 是公差为正数的等差数列，且，，那么数列{}的前项的和
13．下面四个命题：
①已知函数且，那么；
②一组数据，，，，的平均数是，那么这组数据的方差是；
③已知奇函数在为增函数，且，则不等式的解集；
④在极坐标系中，圆的圆心的直角坐标是.
其中正确的是___________________.
14．直线与椭圆交于不同的两点，，过点，作轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是，直线l的斜率存在且不为0，那么直线l的斜率是___________.
三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
16．（本小题共13分）如图，四边形是矩形，平面，四边形是梯形，，
，点是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）.
（Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.
18．（本小题共13分）已知函数，在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
19．（本小题共14分）已知数列中，，，是数列的前项和，且，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是数列的前项和，
且对一切都成立，求实数取值范围.
20．（本小题共14分）已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且抛物线上一点到点F的距离是3.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若k > 0，且，求k的值.
（Ⅲ）过A，B两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q，求证：.
(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)
摸底考试参考答案
xx、1 一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．B 8．B
二、填空题
9．6 10．3 11．2 12．25
13．②，④14．
三、解答题
15．解：（Ⅰ）因为，
所以. ………………………….. 3分
所以………………………….. 5分
又因为，
所以.
所以函数的最小正周期是；最大值是. ………………………….. 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，
所以. ………………………….. 9分
所以当，即时，函数有最大值是；
当，即时，函数有最小值是.
所以函数在区间上的最大值是，最小值是. ………………………. 13分
16．（Ⅰ）证明：连结，交于点，∴点是的中点.
∵点是的中点，
∴是的中位线. ∴
∵平面，平面，
∴平面. ………………………….. 5分（Ⅱ）解：以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
……………….. 4分∴，，，，
∴，，.
设平面的法向量，
∴，.
∴
令，则，.
∴.
又是平面的法向量，
∴如图所示，二面角为锐角.
∴二面角的余弦值是………………………….. 13分
17．解：（Ⅰ）设表示“甲选手的演出序号是1”，
所以
所以甲选手的演出序号是1的概率为………………………….. 3分（Ⅱ）设表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，
表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”.
所以
所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为……………………….. 6分（Ⅲ）的可能取值为，，，，，，……………………….. 7分
所以，，，
，，.
(10)
分
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
………………….. 12分
所以
254121
012345
7212172121
EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
………………….. 13分
18．解：（Ⅰ）因为函数，
所以定义域为，. ……………………….. 2分
因为在点处的切线与直线平行，
所以，即. ……………………….. 4分
所以
所以 ……………………….. 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ），令，得.
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数上单调递增.
所以①若时，函数的最小值是；
②若时，函数上单调递增，所以函数的最小值
是 ………………….. 13分
19．解：（Ⅰ）因为，，
所以 …………………….. 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， 所以
所以
所以
所以当时，
所以，，，，
所以
所以，.
因为满足上式，
所以，. ………………………….. 6分
（Ⅲ）当时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫=
==- ⎪⋅+++⎝⎭
………………………….. 7分 又，
所以
………………………….. 9分
所以 ……………………….. 10分 因为对一切都成立，
即对一切都成立.
所以. ……………………….. 12分
因为，当且仅当，即时等号成立.
所以.
所以
所以…………………….. 14分20．解：（Ⅰ）因为点在抛物线上，
所以.
因为点到抛物线的焦点的距离是，
所以点到抛物线的准线的距离是
所以
所以
所以，或……………………….. 3分
因为，
所以. .. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
因为直线经过点，
所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率是.
所以直线的方程是，即.
所以联立方程组消去，得………………………..5分
所以
因为，且
所以…………………….. 7分
所以
所以
所以（舍负）
所以的值是………………….. 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组得
设，，
所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=-- …………………….. 9分
由，所以
所以
所以切线的方程是，
切线的方程是 ………………………….. 11分
所以点的坐标是，
所以
所以 ………………………….. 14分37916 941C 鐜28008 6D68 浨[34790 87E6 蟦36130 8D22 财32835 8043 聃27031 6997 榗*34344 8628 蘨32111 7D6F 絯 23543 5BF7 寷32558 7F2E 缮36938 904A 遊23459 5BA3 宣。