高三数学上学期摸底调研考试试题 理试题

制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

z
C 1
B 1
A 1
2021届ncs0607摸底调研考试 数学(理科)参考答案及评分HY
一、选择题
二、填空题
13. 19 14. 100 15. 1
2
16. 3410x y
三、解答题
17．解：〔I cos sin 3sin cos sin sin C
AB A A C C A
tan 33
C C
………………………………6分
〔II 〕331
3
33sin 34244
ABC
S
AC BC C AC BC AC BC
222
22
2cos 7
AB AC BC AC BC C
AC BC AC
BC
2
2
2
7
()3AC BC AC BC
AC
BC AC BC 4AC BC .………12分
18.解：〔Ⅰ〕证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连结ME ．
因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，M 是AB 中点，所以侧面B B 1C 1C 为矩形，
ME 为△ABC 1的中位线，所以 ME// AC 1．…………………………4分 因为 ME 平面B 1CM ， AC 1
平面B 1CM ，所以 AC 1∥平面B 1C …………6分
〔II 〕
1
,AC
BC CC ABC 平面,故如图建立空间直角坐标系
1(033),(300),(030),(000)B A B C ，，，，，，，，,BA 1
3
BM
BA 1
(1,1,0),(0,3,0)(1,1,0)(1,2,0)3
BM
BA CM CB BM ………8分
令平面1B MC 的法向量为(,,)n
x y z
由
10
n CB n CM
，得020y z x y 设1z
所以(2,1,1)n
,11
(3,0,0)C A CA ………10分
设直线11C A 与平面1B MC 所成角为
1111||
66sin
3
||||
3411C A n C A
n 故当2BM
时，直线11C A 与平面1B MC …………12分
19.解：〔Ⅰ〕由题知第一组的频率为0.0210
0.2、人数为100
2000.5
，故1000n
第二组的频率为1(0.020.0250.0150.01)100.3
195
0.6510000.3
p
. …………………………6分
〔Ⅱ〕由题知60a ，故抽取的6人中体能成绩在[70,80)岁的4人，体能成绩在[80,90)岁的2人，那
么X 的可能取值为0,1,2，
2426
6
(0)
15
C P X C ,1142
26
8
(1)
15
C C P X C ,1142
26
8
(1)
15
C C P X C ………9分
分布列为：
608121
2
()
153
E X ………………………………12分 20.解：〔I 〕因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b c
2132
S a ,6,3a
b
故椭圆C 的方程为
2
2163
x y ， ……………4分
〔Ⅱ〕圆E 的方程为2
2
2x
y ,设O 为坐标原点
当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 方程为2x ，
那么2)A B ，
所以2AOB
……………6分
所以AB 为直径的圆过坐标原点 当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y
kx
m ，设1122
,,,A x y B x y
因为直线与相关圆相切，所以22
2211m m d
k k 2
22
2m k
联立方程组2
21
6
3
x y
kx m y 得2
2
2()6x
kx
m ,
即222
(1
2)4260k x kmx
m , …………7分 22
22
2
2
2
164(12)(26)
8(63)
8(41)
0k m k m k m k ,
122
2
12
241226
12km x x k m x x k
……………9分 22
222
2
2
121212
122
2
(1)(26)
4(1)()
1212k m k m x x y y k x x km x x m
m k k 222
366012m k k
OA OB ………………… 11分
所以AB 为直径的圆恒过坐标原点O .………………………… 12分
21.解：〔I 〕依题意()
ln f x x ax ，那么1
'()
f x a x
由函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴得：'(1)10f a
∴1a
………………………………………………………………………2分
所以
1'()x
f x x
因为函数()f x 的定义域为(0,)
由'()
0f x 得01x ，由'()0f x 得1x ，即函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,
)单调递
减 ()=(1)1f x f 极大值 ,没有极小值 ………………………5分
〔II 〕依题意得212
121
21
21
ln ln y y x x x x k
x x x x ，
证
212
111x x k
x x ，即证2
12
211
ln ln 1
1x x x x x x
因2
1
0x x ，即证
2
1
22
1
2
1
1
ln
x x x x x x x x
令
21
x t x 〔1t 〕
，即证1
1ln 1t t t
〔1t
〕 ……………………… 8分
令1
()ln 1h t t
t
〔1t 〕那么2
2
111'()t h t t
t t 0
∴()h t 在〔1，+〕上单调递增，
∴()
(1)h t h =0，即1ln 1
t t
〔1t 〕①
同理可证：ln 1t t ② 综①②得11
ln 1t
t t
〔1t
〕
，…………………11分 所以
2
1
2
1
11x x k
x x ……………………… 12分 22．〔I 〕证明：因为DE BE 于E ，所以90AED CEB
又因为90CEB
CBE
所以AED
CBE
又因为BE 平分ABC ，所以DBE CBE ，
所以AED DBE
又因为A A ,所以AED ∽ABE ,所以AE
AD
AB AE
故：2
AE
AD AB ………………5分
〔II 〕解：由2
AE AD AB 可得：AE 是以BD 为直径的圆的切线
取BD 中点O 连EO 那么OE
AC ，又因为BC AC ，所以OE ∥BC ，所以
AE AO
EC OB
又因为223AE AB AD
，所以4
33DB
，所以2
33
AD DO
OB
， 所以1EC ………………10分
23. (I)设(x 1，y 1)为圆上的点，在变换下变为C 上点(x ，y )，……………………2分
依题意得：圆2
2
4x y 的参数方程为
22x cost y
sint
(t 为参数)…………………3分
所以C 的参数方程为
2x cost y
sint
(t 为参数)．…………………………………5分
(II)由2
21
4220
x y x y 解得
20
x y
或者
0 1.
x y
…………………………………6分
所以P 1(2，0)，P 2(0，1)，那么线段P 1P 2的中点坐标为1(1,)2
，所求直线的斜率k ＝2，于是所求直线方程为12(1)2
y
x ，并整理得423x
y ………………………8分
化为极坐标方程，423cos sin
，即
342cos
sin
.………………10分
24.解: 532
2131()
3222
512
2
x x f x x x x
x
〔I 〕当32x
时，即
5
02
x ，求交集得 当3122x 时，即1302x ，求交集得11
62x 当12x 时，即502x ，求交集得15
22
x
综上所述，15
62
x ………………………………………6分
日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

〔II 〕因为5322131()32225122x x f x x x x x , 所以当1(
,)2x 时,函数()f x 单调递减, 当1(,)2
x 时,函数()f x 单调递增. 所以当12x 时,函数1()22
f 小 所以只需2532m m 解得123m …………………………………10分
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。