常微分方程第六讲：一阶隐式微分方程.ppt

dp 1 p x 或者 . dx 2
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x2
将p x 代入方程 y 2 x p 得到特解 1 y - x. 2
x
2
2
(p )2
dp 1 由方程 知 dx 2
于是原方程的通解为
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1 p x C , 2
1 x2 1 y 2 x ( x C ) ( x C )2 2 2 2 1 2 2 x C x C . 4
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dp 若只能从关于 的方程求得通积分 dx G (p ,x ,C ) 0, y f (x ,p ) 则可通过联立方程 ， G (p ,x ,C ) 0
再消去p ，得到原方程的通积分。
dp 若只能从关于 的方程求得解 dx x (p ,C ),
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y '2 (3x y) y ' 3xy 0.
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若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解 出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。
本节主要介绍三种类型隐式微分方程 的求解方法。
（1）不含 y （或 x）的方程 （2）可解出 x 的方程
（3）可解出 y 的方程
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** 借助于一些变量代换，将隐式形式的 方程化为参数形式方程。
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作业：P46 T1（2）（4）（6）
(8)
(10)
T2.求一曲线，使它上面的每一点的切线与两坐标 轴所围城的三角形的面积都等于2。
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p
p dy
p dy
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整理得
dp p . dy p 1
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用分离变量法求解上式得 y p l n p C ,
则原方程有参数形式的通解 1 ln p x p . y p ln p C (p 为参数)
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dp 由 0 得到p C ,从而有通解 dx y C x (C ).
取x / (p ) 0 与（3）联立有 x / (p ) 0 . y x p (p )
由于 // (p ) 0,则x / (p ) 0 存在隐
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2
(t为参数)
2
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上式消去参数得通积分
x (y ) 1.
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例2： 求方程x3 y '3 3xy ' 0的通解.
若方程（1）不含 x，即 则完全类似求解。
F ( y, y / ) 0,
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例3： 求解方程y 2 (1- y ') (2 y ') 2 .
Ex6： x ( y xy ') y( y ') .
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小结
F ( x, y, y / ) 0
（1）可解出 y 的方程
（2）可解出 x 的方程
** 借助于一些变量代换 y / p ，可将 隐式形式的方程化为显式方程。 （3）不含 x （或 y）的方程
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3、若可从方程（1）解出 y，即
y f (x ,y / ).
(2)
于是（2）等价于 解法： 引入参数 p y / , y f (x ,p ) . / y p
对y f (x ,p )关于x 求导，得
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dp p fx (x ,p ) fp (x ,p ) . dx
2
/ F ( x , y ) 0. 1、若方程（1）不含y，即
若原方程可表示为参数形式 x (t) , / y (t) (t为参数)
那么 dx (t )dt ,
/
dy (t )dx (t ) (t )dt ,
/
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p
dy
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这个方程可化为显式形式，用前面类 似的方法能求出（1）的解。
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例4 求方程y (x ln y / ) 1的通解. 1 解 由原方程解出x 得：x / ln y / .
y
dy 1 令 p ,即有 x ln p . dx p
两端关于y 求导得 1 1 dp 1 dp , dx/dy= 2
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习题选讲
Ex1： y xy 'ln x ( xy ') .
2
Ex2：
y ln(1 y '2 ).
2 2
Ex3： y ' 2 yy 'cot x y Ex4：
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y ' x (1 y ')
3 3 3 2 2 2
Ex5： y ' y ' y ' 1 0.
则原方程有参数形式的通解 x (p ,C ) . y f ( (p ,C ), p ) (p为参数)
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例6 求方程y 2 xy
x2
2
(y )2 的通解.
解
令y / p ,原方程写为
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y 2 xp (p )2 . 2 两端关于x 求导得 dp dp p 2 p x 2x 2p , dx dx dp 化简得 （p x ） (1 2 ) 0, dx
函数p p (x ),代入（3）即得到特解 y xp (x ) (p (x )).
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关于克莱洛方程y xy (y ) ，我们有
（1）克莱洛方程的通解由原方程的y/ 换成 任意常数得到，即为 y xC (C ).
（2）克莱洛方程的特解为参数形式 x / (p ) 0 . （p 为参数） y x p (p )
/ /
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dp 从上式解出 ,若能求得解 dx p p (x ,C ),
则（2）有通解 y f (x ,p (x ,C )).
这里p = p(x,C)只能代入
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y = f(x,p),不能代入y/ = p.
例5：解方程y - ( y ')5 - ( y ')3 y ' 5 0.
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y
/
cott,
4
x cos(t) 原方程可表示为参数形式 / . y cot(t) 那么 d x si n (t) d t,
d y cos(t) d t, 从而 y si nt C .
故得原方程参数形式的解 x cos(t) . y sin (t)d t C
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2、若可从方程（1）解出 x，即
x f (y ,y / ).
解法：
(4)
引入参数 p y / , 于是（4）等价于
x f (y ,p ) . / y p 对x f (y ,p )关于y 求导，得 1 dp / / fy (y ,p ) fp (y ,p ) .
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例7
求方程y xy (y ) 的通解. (此方程称为克莱洛方程)
解
令y / p ,原方程写为
y xp (p ). （3）
若(p )二次可微且 / / (p ) 0, (3)两端 关于x 求导得
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dp dp / p p x p (p ) , dx dx dp / 化简得 （ (p ) x ） 0, dx
从而
y (t) / (t)d t C .
3
故得原方程参数形式的解 x (t) . / (t)d t C y (t) (t为参数)
2 2 2 求方程 ( y ) ( x 1) x 0的通解. 例1
解： 设x cost,代入原方程
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此时，这个参数形式的特解又称为方 程的p积分曲线。而x / (p ) 0可直接 由（3）两端关于p求导得到。
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例8
求解方程y xy 1 y '2 .
y 1 . 思考： 求解方程x 2 y ' ( y ')
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第六讲 一阶隐式方程的解法
前面讨论的方程都是可解出一阶导数的
微分方程，即显式方程（ y / f (x ,y )）
一阶隐式微分方程是指
F (x ,y ,y / ) 0
(1)
若能从(1)解出 y 的一阶导数，那么会得到一 个或几个显式方程，用前面的办法求解。
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例1: 试求解微分方程：