2016-2017学年北京市石景山区八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年北京市石景山区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题
意的．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，5）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一．下面是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断（）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形也是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
3．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
4．（3分）如图，在▱ABCD中，E是BC边的中点，F是对角线AC的中点，若EF＝5，则DC的长为（）
A．2.5B．5C．10D．15
5．（3分）在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）
A．对角线相等B．两组对边分别平行
C．两组对边分别相等D．对角线互相平分
6．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）关于x的一次函数y＝kx+k2+1的图象可能正确的是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m≤1且m≠0D．m≥﹣1且m≠0 9．（3分）把直线y＝﹣5x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）
A．m＜4B．m＞1C．1＜m＜7D．3＜m＜4 10．（3分）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是．
13．（3分）请写出一个图象过点（0，1），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数的表达式：（填上一个答案即可）．
14．（3分）已知一次函数y＝kx+2（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，点B，若OB＝2OA，则k的值是．
15．（3分）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行．直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图1中的点A的坐标为，图2中b的值为．
16．（3分）已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业：
老师说甲、乙同学的作图都正确．
则甲的作图依据是：；
乙的作图依据是：．
三、解答题（本题共52分，第17-24题，每小题5分；第25-26题，每小题5分）解答应
写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（5分）用适当的方法解方程：x2+4x﹣1＝0．
18．（5分）如图，矩形ABCD，E为射线CD上一点，连接AE，F为AE上一点，FC交AD 于点G，F A＝FG．求证：FE＝FC．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE＝AF．求证：四边形ABCD是菱形．
20．（5分）已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
21．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F＝60°，BE＝2，求AB的长．
22．（5分）列方程或方程组解应用题：
某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
23．（5分）为进一步加强中小学生近视眼的防控工作，某地区教育主管部门对初二年级学生的视力进行了一次抽样调查，经数据分组整理，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
某地区初二学生视力抽样调查频数分布表
请根据以上信息解答下列问题：
（1）表中的a＝，b＝；
（2）在图中补全频数分布直方图；
（3）若视力在5.0以上（含5.0）均属正常，根据抽样调查数据，估计该地区6200名初二年级学生视力正常的有人．
24．（5分）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图象所示．求从关闭进水管起需要多少分钟该容器内的水恰好放完．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝mx（m≠0）与直线l2：y＝ax+b （a≠0）相交于点A（2，4），直线l2与x轴交于点B（6，0）．
（1）分别求直线l1和l2的表达式；
（2）过动点P（0，n）且垂直于y轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D 左方时，请直接写出n的取值范围．
26．（6分）在矩形ABCD中，AD＝12，DC＝8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE＝∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．
（1）如图1，若FG＝8，则∠CFG＝°；
（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图2中补全图形并求BG的长；
（3）过点E作EH∥CF交射线CB于点H，请探究：当BG为何值时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．
2016-2017学年北京市石景山区八年级（下）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题
意的．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，5）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【解答】解：点P（﹣1，5）在第二象限．
故选：B．
2．（3分）剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一．下面是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断（）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形也是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【考点】P9：剪纸问题．
【解答】解：既是轴对称图形也是中心对称图形，
故选：C．
3．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：A．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，E是BC边的中点，F是对角线AC的中点，若EF＝5，则DC的长为（）
A．2.5B．5C．10D．15
【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质．
【解答】解：∵E是BC边的中点，F是对角线AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2EF＝10，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴CD＝10．
故选：C．
5．（3分）在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）
A．对角线相等B．两组对边分别平行
C．两组对边分别相等D．对角线互相平分
【考点】L5：平行四边形的性质．
【解答】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项C、B、D正确．A错误．
故选：A．
6．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】W2：加权平均数；W7：方差．
【解答】解：因为3.6＜5.4＜7.2＜8.5，
所以甲最近几次选拔赛成绩的方差最小，
所以要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择甲．
故选：A．
7．（3分）关于x的一次函数y＝kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．
C．D．
【考点】F3：一次函数的图象．
【解答】解：令x＝0，则函数y＝kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选：C．
8．（3分）关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m≤1且m≠0D．m≥﹣1且m≠0【考点】AA：根的判别式．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，
∴△≥0且m≠0，
∴4+4m≥0且m≠0，
∴m≥﹣1且m≠0，
故选：D．
9．（3分）把直线y＝﹣5x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）
A．m＜4B．m＞1C．1＜m＜7D．3＜m＜4
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
【解答】解：直线y＝﹣5x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣5x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故选：B．
10．（3分）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（）
A．B．
C．D．
【考点】E6：函数的图象．
【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；
③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
结合图象可得C选项符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）点P（﹣3，2）到x轴的距离是2．
【考点】D1：点的坐标．
【解答】解：点P（﹣3，2）到x轴的距离是2．
故答案为：2．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是x≠1．
【考点】62：分式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
13．（3分）请写出一个图象过点（0，1），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数的表达式：y＝﹣x+1（填上一个答案即可）．
【考点】F5：一次函数的性质．
【解答】解：设该一次函数解析式为y＝kx+b，
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜0，取k＝﹣1．
∵一次函数图象过点（0，1），
∴1＝b．
故答案为：y＝﹣x+1．
14．（3分）已知一次函数y＝kx+2（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，点B，若OB＝2OA，则k的值是2或﹣2．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：∵y＝kx+2，
∴当y＝0时，x＝，当x＝0时，y＝2，
∵一次函数y＝kx+2（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴OA＝||，OB＝2，
∵OB＝2OA，
∴2＝2×||，
解得，k＝2或k＝﹣2，
故答案为：2或﹣2．
15．（3分）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行．直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图1中的点A的坐标为（1，0），图2中b的值为5．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【解答】解：直线y＝x﹣3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝﹣3，
即直线y＝x﹣3与坐标轴围成的△AEF为等腰直角三角形，
∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，
由图2可得，t＝2时，直线l经过点A，
∴AO＝3﹣2×1＝1，
∴A（1，0），
由图2可得，t＝12时，直线l经过点C，
∴当t＝+2＝7时，直线l经过B，D两点，
∴AD＝（7﹣2）×1＝5，
∴等腰Rt△ABD中，BD＝5，
即当a＝7时，b＝5．
故答案为：（1，0），5．
16．（3分）已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业：
老师说甲、乙同学的作图都正确．
则甲的作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
乙的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【考点】LC：矩形的判定；N3：作图—复杂作图．
【解答】解：甲的作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
乙的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是
矩形．
故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
三、解答题（本题共52分，第17-24题，每小题5分；第25-26题，每小题5分）解答应
写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（5分）用适当的方法解方程：x2+4x﹣1＝0．
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0
∴x2+4x+4＝1+4
∴（x+2）2＝5
∴x+2＝±
，
18．（5分）如图，矩形ABCD，E为射线CD上一点，连接AE，F为AE上一点，FC交AD 于点G，F A＝FG．求证：FE＝FC．
【考点】LB：矩形的性质．
【解答】证明：如图，
∵F A＝FG，
∴∠2＝∠1．
∵∠3＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∴∠E＝90°﹣∠2，∠4＝90°﹣∠3．
∴∠E＝∠4．
∴FE＝FC．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE＝AF．求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】KF：角平分线的性质；L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定．
【解答】证明：连接AC，如图1．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE＝AF，
∴∠2＝∠1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠1．
∴∠DAC＝∠2，
∴DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形．
20．（5分）已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
【考点】AA：根的判别式．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程为一元二次方程，
∵△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣1）＝1＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，
∴m＝1或m＝﹣1．
21．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F＝60°，BE＝2，求AB的长．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠F＝∠1，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠2＝∠1，
∴∠F＝∠2，
∴AB＝BF，
∴BF＝CD；
（2）解：∵AB＝BF，∠F＝60°，
∴△ABF为等边三角形，
∵BE⊥AF，∠F＝60°，
∴∠BEF＝90°，∠3＝30°．
在Rt△BEF中，设EF＝x，则FB＝2x，
∴EB＝x＝2，
∴x＝2，
∴AB＝BF＝4．
22．（5分）列方程或方程组解应用题：
某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【解答】解：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，
由题意，得x（x﹣5）＝6（x+x﹣5），
解得：x1＝2（舍去），x2＝15．
则乙队单独完成这项工程需要15﹣5＝10个月．
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
23．（5分）为进一步加强中小学生近视眼的防控工作，某地区教育主管部门对初二年级学生的视力进行了一次抽样调查，经数据分组整理，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
某地区初二学生视力抽样调查频数分布表
请根据以上信息解答下列问题：
（1）表中的a＝60，b＝0.30；
（2）在图中补全频数分布直方图；
（3）若视力在5.0以上（含5.0）均属正常，根据抽样调查数据，估计该地区6200名初二年级学生视力正常的有3100人．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．【解答】解：（1）总人数c＝10÷0.02＝500人，
a＝500×0.12＝60，b＝＝0.30．
故答案为60，0.30．
（2）条形图如图所示，
（3）6200×＝3100人．
答：估计该地区6200名初二年级学生视力正常的有3100人．
故答案为3100．
24．（5分）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图象所示．求从关闭进水管起需要多少分钟该容器内的水恰好放完．
【考点】E6：函数的图象．
【解答】解：由函数图象得：
进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5升
设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得
20+8（5﹣a）＝30，
解得：a＝，
故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷＝8分钟．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝mx（m≠0）与直线l2：y＝ax+b （a≠0）相交于点A（2，4），直线l2与x轴交于点B（6，0）．
（1）分别求直线l1和l2的表达式；
（2）过动点P（0，n）且垂直于y轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D 左方时，请直接写出n的取值范围．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在l1：y＝mx上，
∴2m＝4，
∴m＝2，
∴直线l1的表达式为y＝2x，
∵点A（2，4）和B（6，0）在直线l2：y＝ax+b上，
∴，
解得，
∴直线l2的表达式为y＝﹣x+6；
（2）由图象得：当点C位于点D左方时，n的取值范围是：n＜4．
26．（6分）在矩形ABCD中，AD＝12，DC＝8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE＝∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．
（1）如图1，若FG＝8，则∠CFG＝90°；
（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图2中补全图形并求BG的长；
（3）过点E作EH∥CF交射线CB于点H，请探究：当BG为何值时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．
【考点】LO：四边形综合题．
【解答】解：（1）如图1中，作FH⊥CG于H．
在Rt△FGH中，FG＝8，FH＝CD＝8，
∴GH＝＝8，
∴FH＝GH，
∴∠GFH＝45°，
∵∠AFH＝90°，
∴∠AFG＝∠DFC＝45°，
∴∠GFC＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
故答案为90°．
（2）补全图形，如图2所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝12，∠D＝90°．
∵△GFC是等边三角形，
∴GC＝FC，∠1＝60°，
∵∠2＝∠3，
∴∠3＝60°，
在Rt△CDF中，DC＝8，
∴FC＝，
∴GC＝FC＝，
∴BG＝12﹣．
（3）解法一：过点F作FK⊥BC于点K，如图3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠5＝∠ABC＝90°，AD∥BC．
∴∠1＝∠3，∠2＝∠AFG．
∵∠3＝∠AFG，
∴∠1＝∠2．
∴FG＝FC．
∴GK＝CK．
∵四边形FHEC是平行四边形，
∴FG＝EG．
∵∠2＝∠4，∠FKG＝∠5＝90°，
∴△FGK≌△EGB．
∴BG＝GK＝KC＝＝4，
∴当BG＝4时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．解法二：如图4．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABG＝90°，AD∥BC．
∴∠1＝∠3，∠2＝∠AFG．
∵∠3＝∠AFG，
∴∠1＝∠2．
∴FG＝FC．
∵四边形FHEC是平行四边形，
∴CG＝HG，FG＝EG，HE＝FC．
∴EG＝EH．
又∵∠ABG＝90°，
∴BG＝BH＝x．
∴CG＝HG＝2x．
∴x+2x＝12．
∴x＝4．
∴当BG＝4时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．。