高考数学一轮复习 选修部分 不等式选讲 第二节 不等式的证明学案 文 选修45

第二节不等式的证明
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法．
2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．
知识点一不等式证明的常见方法
1．综合法：从命题的已知条件出发，利用________、已知的______及______，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．
2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的________，利用已知的一些______，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或______________)．
3．反证法：首先假设要证明的命题是________，然后利用______，已有的______、______，逐步分析，得到和____________
(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论________，从而原来的结论正确．
4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当____(或______)使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值______，反之，把分母缩小，则分式的值______．
答案
1．公理定义定理
2．充分条件定理一个明显的事实
3．不正确的公理定义定理命题的条件不成立
4．放大缩小缩小放大
1．判断正误
(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．( )
(2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( )
答案：(1)×(2)√
2．若m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2
＋1，则m 与n 的大小关系为________． 解析：∵n －m ＝a ＋b 2
＋1－a －2b ＝b 2
－2b ＋1＝(b －1)2
≥0，∴n ≥m . 答案：n ≥m
3．已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9
a ＋
b .
证明：∵a >0，b >0，
∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b
≥5＋2
b a ×4a b ＝9.∴1a ＋4b ≥9
a ＋b
. 知识点二 柯西不等式
1．设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．
2．若a i ，b i (i ∈N *
)为实数，则(∑i ＝1
n
a 2i )(∑i ＝1
n
b 2
i )≥(∑i ＝1
n
a i
b i )2
，当且仅当b 1a 1＝b 2
a 2＝…＝
b n a n
(当a i ＝
0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．
3．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β
|，当且仅当α，β共线时等号成立．
4．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2
＋b 2
＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2
＋n 2
的最小值是________． 解析：根据柯西不等式(ma ＋nb )2
≤(a 2
＋b 2
)(m 2
＋n 2
)，得25≤5(m 2
＋n 2
)，m 2
＋n 2
≥5，m 2
＋n 2
的最小值为 5.
答案： 5
5．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 解析：(a ＋b ＋c )2
＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2
≤(12
＋12
＋12
)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
时，等号成立．
∴(a ＋b ＋c )2
≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 答案： 3
热点一比较法证明不等式
【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b)．
【证明】因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b
(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 1
2
－b
1
2
)(a
3
2
－b
3
2
)，因为a≥0，b≥0，所以
不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 1
2
－b
1
2
与a
3
2
－b
3
2
同号，所以(a
1
2
－b
1
2
)(a
3
2
－b 3
2
)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).
设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解：(1)由|2x－1|<1，得－1<2x－1<1，解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}．
(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故ab ＋1>a＋b.
热点二分析法、综合法证明不等式
【例2】(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋1
x2－2xy＋y2
≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
【证明】(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋
1
x2－2xy＋y2
－2y＝2(x－y)＋
1
x－y2
＝(x
－y)＋(x－y)＋
1
x －y2
≥
33
x－y2
1
x －y2
＝3，所以2x＋
1
x2－2xy＋y2
≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2
＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2
＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤
a 2＋
b 22
＋
b 2＋
c 22
＋
c 2＋a 2
2
＝a 2＋b 2＋c 2
(当
且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立.
设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2
b ＋b 2
c ＋c
2
a
≥1.
证明：(1)由a 2
＋b 2
≥2ab ，b 2
＋c 2
≥2bc ，c 2
＋a 2
≥2ac 得a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2
＝1，即a 2
＋b 2
＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋
ca ≤13
.
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即
a 2
b ＋b 2
c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1. 热点三 放缩法证明不等式
【例3】 设a ，b ，c 均为正实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .
【证明】 ∵a ，b ，c 均为正实数，
∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b
，当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1
b ＋c
，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a
，当且仅当c ＝a 时等号成立； 三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，
当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立.
设s ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n
n ＋
，求证：12n (n ＋1)<s <1
2
n (n ＋2)．
证明：由已知条件可知s >1×1＋2×2＋3×3＋…＋n ×n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝1
2n (n
＋1)，s <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋
n ＋n ＋
2
＝12[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)]＝12n (n ＋2)，∴1
2
n (n ＋1)<s <1
2
n (n ＋2)．
热点四 柯西不等式的应用 【例4】 已知x ，y ，z 均为实数．
(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2
＋y 2
＋z 2
的最小值．
【解】 (1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2
≤(12
＋12
＋12
)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝1
3
，z ＝0时取等号．
(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2
≥187，当且仅当x ＝y 2
＝
z
3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2
有最小值187
.
(1)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2
＋y 2＋z 2
＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.
(2)已知x 、y 、z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9
z
的最小值为________．
解析：(1)由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12
＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2
，∴(x ＋2y ＋
3z )2
≤14，则x ＋2y ＋3z ≤14，又x ＋2y ＋3z ＝14，∴x ＝y 2＝z 3，因此x ＝1414，y ＝147
，z
＝
31414，于是x ＋y ＋z ＝314
7. (2)法1：利用柯西不等式．
由于(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥
⎝
⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36.
所以1x ＋4y ＋9
z
≥36.
当且仅当x 2
＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12
时，等号成立．
法2：1x ＋4y ＋9z ＝1x (x ＋y ＋z )＋4y (x ＋y ＋z )＋9z
(x ＋y ＋z )＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫z x ＋9x z ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36，当且仅当y ＝2x ，z ＝3x ，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．
答案：(1)314
7 (2)36。