摘录怀特海的《教育的目的》第六章

摘录怀特海的《教育的目的》第六章
几何课程教学的五个阶段，是如何体现数学教学的思想的？
怀特海说，他把几何学习的过程分为五个阶段，在教学实践中并不一定要按照这个顺序来进行的。

第一个阶段是全等的学习。

我们对全等的认识，实际上取决于我们的一些判断，即当外部环境发生变化时物体本身的一些内在特征不会发生变化。

无论是用怎样的方法去认识几何图形的全等，本质上都是空间上两个几何图形之间点与点的对应关系，因此所有对应的边相等，所有对应的角也相等。

其实，所谓长度相等、角度相等，在本质上就是长度、角度的全等。

当我们采用各种工具来测量长度和角度是否相等时，都是简化判断全等的方法而已。

在数学教育中，第一个阶段，我们需要认真学习全等的概念和表现，更要认真领会全等所蕴含的逻辑推理思想和科学理论价值。

关于几何全等的命题说明了几何图形(例如三角形、平行四边形和圆)的基本特征以
及两个平面之间的相互关系。

数学中的概念和定理过于纷繁复杂，所以我们必须选择那些有重要意义的内容进行教学，就全等教学来说，我们最好限定在一些最为基本的重要命题之中。

第二个阶段的任务是学习相似性，这一过程可以集中至三到四个基础性命题上。

相似性概念是全等的延伸，同样是基于空间图形之间的点对点的关联。

要进行相似性方面的学习，就一定要研究相似的或者处于相似位置的直线图形，这就可以帮助我们掌握相似的概念。

第三个阶段是学习三角函数。

三角函数研究相似图形的关系问题和图形旋转中的周期性问题。

在这里，我们首次引入了少量以数量研究为基础的代数分析，用数量关系去研究几何图形。

而我们还可以用几何图形去证明函数的周期性，最简单的方法就是利用三角函数。

三角函数中有很多公式，有的公式虽然重要，但对学习来说却亳无用处，因此应该严格选用教材中出现的公式。

数学教育中三角函数的学习内容应该限定在一个角上，通过一个角的各种运算来完成学习过程，不能超过正弦、余弦、两角之和这样的内容。

通过画出函数的图形，就能够求出三角函数的解。

通过书本知识和举例说明，这门学科应当使学生掌握如下重要知识点:验证全等和相似中的一些定理;解决测量中的主要问题;掌握有关周期
性和波动现象所需要的基本函数。

如果想进一步深入学习三角函数的知识，就要传授更多的三角函数公式
但我们必须格外谨慎，排除那些相对复杂的公式，避免出现学生狂记大量公式的情况。

所谓“排除”，就是学生不需要花费时间和精力去熟悉公式推理的过程。

老师们
也许会觉得有必要在课堂上通过若干例子让学生明白推理的具体过程，但是对学生来说其实并没有这个必要。

同时需要指出的是，我们要从三角函数和几何学中排除内切圆1和外切圆2的所有公式，这些内容并非不重要，而是在基础的、非专业
的数学教育中于学生的学习而言意义不大。

因此，有关这个主题的教学内容应该被缩减到容易学习和掌握的范围内。

第五阶段：学习射影几何的相关内容了。

射影几何的核心概念是交比和射影。

射影是一种一般性的点对点的几何样式，和我们前面所讲的全等和相似性中的点对点关系类似。

在讲授过程中一定要分清主次，同样不要深陷到细枝末节之中。

在课堂上，我们可以对圆锥曲线的射影和二次(曲线)方程进行简单讲解，这些边缘内容可讲可不讲，所以只需要告诉学生相关的公式就好，没必要进行详细的论证。

实际上在每个学习阶段，课本上所展示的数学推理很少，所以我们要通过例题详细解释每个命题，以此说明它的重要性，不管这些例题由老师讲解演示，还是学生自己运算，只要能帮助学生理解例题背后所包含的数学观念就好。

只有这样，学生才懂得分析空间的主要特性以及掌握调查研究的主要方法。

怀着这种精神开展数学教育，学生们的逻辑思维能够得到很好的训练，也可以掌握一些对世界进行科学探究和哲学思考的精准而确切的思维方式。

我们能否进行更深人的课程，赋予该学科更宽阔的视野和更有哲理的精神呢?现代教育存在着很多弊端，面临的阻力也很大，但只要广大教师从内心深处认同教育的目标。

共同努力，聚沙成塔，积少成多，就能带来意想不到的改变。

数学教育不是一蹴而就的，要稳中求进，先从修订教材开始，然后逐步扭转数学考试中重知识轻技能的不良倾向，弱化这门学科的技术性，提升数学的思想性和思辨性。

其实我们大多数的教师已经做好的准备了:把数学教育从一种机械性的枯燥训练中拯救出来，让数学教育更富有培养学生解决现实问题的实践意义和探索时代思潮的逻辑思辨价值。