高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末小结与测评学案苏教版选修1-2(2021年整理)

2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末小结与测评学案苏教版选修1-2
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第3章数系的扩充与复数的引入
1．虚数单位i
(1)i2＝－1（即－1的平方根是±i)．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．
(3)i的幂具有周期性：i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N＊），则有i n＋i n＋1＋i n ＋2＋i n＋3＝0（n∈N*)．
2．复数的分类
错误!错误!
3．共轭复数的性质
设复数z的共轭复数为z，则
(1)z·z＝｜z｜2＝｜z｜2;
(2)z为实数⇔z＝z，z为纯虚数⇔z＝－z.
4．复数的几何意义
5．复数相等的条件
（1)代数形式：复数相等的充要条件为a＋b i＝c＋d i(a，b，c,d∈R)⇔a＝c,b＝d。

特别地，a＋b i＝0（a，b∈R）⇔a＝b＝0。

注意：两复数不是实数时,不能比较大小．
（2)几何形式：z1，z2∈C，z1＝z2⇔对应点Z1,Z2重合⇔OZ1―→与OZ2―→重合．
6．复数的运算
（1）加法和减法运算：（a＋b i）±(c＋d i）＝（a±c)＋（b±d)i(a，b,c,d∈R）．
（2）乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算,即(a＋b i)（c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc）i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．
（考试时间:120分钟试卷总分：160分）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分,共70分)
1．（新课标全国卷Ⅱ改编）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________．
解析：∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
则z2的对应点为(－2，1）,则z2＝－2＋i，
∴z1z2＝（2＋i）(－2＋i）＝i2－4＝－5.
答案：－5
2．（山东高考改编)若a－i与2＋b i互为共轭复数，则（a＋b i)2＝________．
解析:根据已知得a＝2，b＝1，所以（a＋b i）2＝（2＋i)2＝3＋4i.
答案：3＋4i
3．若复数z满足 (3－4i）z＝｜4＋3i｜，则z的虚部为________．
解析：∵(3－4i）z＝｜4＋3i｜,
∴z＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i，
∴z的虚部是错误!。

答案：错误!
4．已知错误!＝1－n i，其中m，n是实数，i是虚数单位,则m＋n i等于________．解析：错误!＝1－n i，所以m＝（1＋n）＋（1－n)i,因为m，n∈R,
所以错误!
所以错误!即m＋n i＝2＋i。

答案：2＋i
5．定义运算错误!＝ad－bc,则满足条件错误!＝4＋2i的复数z为________．
解析:错误!＝z i＋z，
设z＝x＋y i，
∴z i＋z＝x i－y＋x＋y i＝x－y＋（x＋y）i＝4＋2i，
∴｛x－y＝4
x＋y＝2，
∴错误!
∴z＝3－i.
答案：3－i
6．在复平面内,复数错误!对应的点位于第________象限．
解析：2－i
1＋i
＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i,
对应的点位于第四象限．答案：四
7.错误!＝________．
解析：5（4＋i）2
i(2＋i)
＝错误!＝错误!＝1－38i.
答案：1－38i
8．设a是实数,且错误!＋错误!是实数，则a等于________．
解析：∵错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!i是实数，
∴错误!＝0,即a＝1。

答案：1
9．复数z满足方程错误!＝4，那么复数z的对应点P组成图形为________．
解析：错误!＝|z＋(1－i)｜＝｜z－（－1＋i）｜＝4。

设－1＋i对应的点为C(－1，1)，则｜PC｜＝4,因此动点P的轨迹是以C（－1，1)为圆心，4为半径的圆．
答案：以(－1，1）为圆心,以4为半径的圆
10．已知集合M＝{1，2，z i｝，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝________．解析：由M∩N＝{4}，知4∈M,
故z i＝4，∴z＝错误!＝－4i。

答案：－4i
11．若复数z满足|z｜－z＝10
1－2i
，则z＝________．
解析：设z＝a＋b i(a,b∈R），
∴｜z｜－z＝错误!－(a－b i）＝错误!－a＋b i,
错误!＝错误!＝错误!＝2＋4i，
∴错误!解得错误!
∴z＝3＋4i.
答案：3＋4i
12．若OA＝3i＋4，OB＝－1－i，i是虚数单位，则AB＝________。

（用复数代数形式表示)
解析:由于OA＝3i＋4，OB＝－1－i，i是虚数单位，
所以AB＝OB－OA＝（－1－i)－（3i＋4）＝－5－4i.
答案：－5－4i
13．复数z满足｜z＋1|＋｜z－1|＝2，则｜z＋i＋1｜的最小值是________．
解析:由|z＋1｜＋｜z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1，0）和(1，0）的距离和为2，说明该点在线段y＝0（x∈[－1,1］）上，而|z＋i＋1｜为该点到点（－1，－1）的距离,其最小值为1.
答案：1
14．已知关于x的方程x2＋（1＋2i)x－(3m－1)＝0有实根,则纯虚数m的值是________．解析:方程有实根,不妨设其一根为x0，设m＝a i代入方程得x错误!＋(1＋2i）x0－（3a i －1）i＝0，
化简得，(2x0＋1）i＋x2，0＋x0＋3a＝0，
∴错误!解得a＝错误!，∴m＝错误!i.
答案：错误!i
二、解答题（本大题共6小题,共90分) 15．（本小题满分14分）计算：
（1）错误!；(2）错误!.
解：（1）错误!＝错误!＝错误!＝2。

（2)
4＋5i
（5－4i
（1－i）)＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!
＝－错误!＋错误!i.
16．(本小题满分14分)求实数k为何值时,复数（1＋i）k2－(3＋5i）k－2(2＋3i）分别是:
(1）实数；(2）虚数；（3)纯虚数；(4)零．
解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝（k2－3k－4）＋(k2－5k－6）i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，
∴k＝6或k＝－1。

(2)当k2－5k－6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠－1.
(3）当错误!时，z是纯虚数，
∴k＝4。

(4)当错误!时，z＝0，解得k＝－1。

综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R.
当k≠6且k≠－1时，z是虚数．
当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.
17．(本小题满分14分）已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求错误!的值．
解：设z＝a＋b i(a，b∈R),由|z｜＝1＋3i－z，
得错误!－1－3i＋a＋b i＝0,
则错误!所以错误!
所以z＝－4＋3i。

则错误!＝错误!＝错误!＝3＋4i.
18．（本小题满分16分)已知ω＝－错误!＋错误!i。

(1）求ω2及ω2＋ω＋1的值；
（2）若等比数列｛a n｝的首项为a1＝1，公比q＝ω,求数列{a n｝的前n项和S n。

解:（1）ω2＝错误!错误!＝错误!－错误!i－错误!＝－错误!－错误!i.
ω2＋ω＋1＝错误!＋错误!＋1＝0。

（2）由于ω2＋ω＋1＝0，
∴ωk＋2＋ωk＋1＋ωk＝ωk(ω2＋ω＋1）＝0，k∈Z。

∴S n＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn－1＝错误!
∴S n＝错误!
19．(本小题满分16分)已知z＝错误!（a∈R且a＞0）,复数ω＝z（z＋i)的虚部减去它
的实部所得的差等于3
2
，求复数ω的模．
解：把z＝a－i
1－i
（a＞0）代入ω中,
得ω＝错误!错误!＝错误!＋错误!i.
由错误!－错误!＝错误!，得a2＝4.
又a＞0，所以a＝2。

所以|ω｜＝｜错误!＋3i｜＝错误!错误!.
20．（本小题满分16分）已知复数z满足|z｜＝错误!，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
（2)设z,z2,z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解：（1)设z＝a＋b i（a,b∈R），
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2ab i,
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i。

（2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i）2＝2i，z－z2＝1－i，
所以点A(1,1）,B(0，2)，
C（1，－1），所以S
＝错误!|AC|×1＝错误!×2×1＝1；
△ABC
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i。

所以点A（－1，－1),B(0，2)，C（－1，－3)，
所以S△ABC＝错误!|AC｜×1＝错误!×2×1＝1。

即△ABC的面积为1。