材料力学第四版课件 第八章 组合变形

F F zF z F yF y A Iy Iz 2 2 I y A iy I z A iz
F zF z yF y (1 2 2 ) A iy iz
上式是一个平面方程.表明正应力在横截 面上按线性规律变化.应力平面与横截面的交 线（直线 = 0）就是中性轴.
2 2
第四强度理论, r 4 3
2
2
3.强度校核
r [ ]
对于圆形截面杆有
d 3 Wt 2W 16 弯扭组合变形时, 相当应力可表示为
r3
r4
M 2 T 2 2 2 4 ( ) 4( ) W Wt
M 2 T 2 2 2 3 ( ) 3( ) W Wt
例1：悬臂吊车如图, 横梁用20a工字钢制成. 其 抗弯刚度Wz = 237cm3, 横截面面积=35.5cm2, 总 荷载F= 34kN,横梁材料的许用应力为 []=125MPa.校核横梁AB的强度.
C FRAy Fy
FNAB
A 30 D ° F 1.2m 1.2m FRAx A B
F
30 D °x F
=
+
=
+
+
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
一、受力特点 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力, 又有横向力。 二、变形特点 杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形 示例1
F2 F1 F2
F1 产生弯曲变形
F2 产生拉伸变形
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
一、受力特点 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力, 又有横向力。 二、变形特点 杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形 示例2
F1 F2
F2 l/2 l/2

F2 M max A W

F2 拉伸正应力 A M max F1l 最大弯曲正应力 max
W 4W 杆危险截面下边缘各点处的拉应力为
t max
F2 F1l max A 4W
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形的概念 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的 基本变形,则构件的变形称为组合变形. 二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法 多种外力作用下的组合变形等于各种外力 作用下的基本变形的线性叠加. 叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、 变形等与外力之间成线性关系.
五、强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状 态,故其强度条件为:
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等 时, 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.
t max [ t ]
c max [ c ]
例1：悬臂吊车如图, 横梁用20a工字钢制成. 其 抗弯刚度Wz = 237cm3, 横截面面积=35.5cm2, 总 荷载F= 34kN,横梁材料的许用应力为 []=125MPa.校核横梁AB的强度.
M2 T2 W
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数，M、T分别为 危险截面的弯矩和扭矩.
例1：空心圆杆AB的外径 D=140mm,内外径之比 α= d/D=0.8,材料的许用应力[] =160MPa，试用 第三强度理论校核AB杆的强度。 10kN 解:（1）外力分析 0.8m 将外力向AB杆的B截 D B 面形心简化得 A
z D1(y1,z1)
y
D2(y2,z2) 中性轴
（4）中性轴将横截面上的应力区域分为 拉伸区和压缩区
横截面上最大拉应力和最大压应力分别 为D1 , D2 两切点
六、截面核心
i ay yF
2 z 2 iy az zF
z
(yF,zF)
（yF，zF）为外力作用 点的坐标； (ay, az)为中性轴在y 轴和z轴上的截距。
zF z yF y 2 1 2 iy iz
（2） 用 ay和 az 记中性轴在 y 、 z 轴的截距, 2 2 iy iz ay az yF zF
（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的 两侧 中性轴 z
O (yF ,zF )
ay
az
y
z
中性轴 O 外力作用点 y
50 50 150
F
n FN My
n
压
（3）叠加
t max
在截面内侧有最大拉应力 F 425 7.5F tmax [ t ] 15 5310 [F] 45.1 kN
拉 F
350
n n 150 z
z0
y
z1
F
50 50
F
150
压
n FN My
n
在截面外侧有最大压应力 F 425 12.5F c max cmax [ c ] A 5310 [F] 171 kN 所以取 [F] 45.1 kN
z0
y
z1
F F
350 150 z 50 50 150
解：（1）确定形心位置 A=1510-3 m2 z0 =7.5 cm 计算截面对中性轴 y 的惯性矩 Iy = 5310 cm4
z0
y
z1
F F
350 z n n 150 50 150 50
F
n FN My
n
（2） 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My FN F
Fy

Fx
F
Fx 产生拉伸变形
Fy 产生弯曲变形
三、内力分析 横截面上的内力
FS
1.拉(压) :轴力 FN
Mz
O
z x FN
2.弯曲
剪力F
弯矩 Mz
s
y
因为剪力引起的切应力较小,故一般不考虑.
四、应力分析
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应力计算公式为
( z,y)
Mz z x FN
FN 1.拉伸正应力 A
力偶矩M ：引起扭转
A l
M
AB 杆为弯曲与扭转 的组合变形
x A B
F
画内力图确定危险截面
M
A
A
F
Fl
M
故A截面为危险截面
二、应力分析 A截面上的最大弯曲正 应力 发生在C1 、C2 点； 最大扭转切应力发生 在截面周边上的各点处。 危险截面上的危险点为 C1 和 C2 点 当杆的许用拉应力和许 用压应力相等时, 可任取一 点(比如C1点)来研究.
F O1
y M
F
z
M z Fe cos FyF
x
F
z e y
F 使杆发生轴向压缩变形
My 使杆发生xOz平面内 的弯曲变形（y 为中性轴）
My O1 x F Mz y z
Mz 使杆发生 xOy 平面内 的弯曲变形（z 为中性轴）
二、任意横截面n-n上的内力分析
轴力 FN = -F
O
Mz y 弯曲正应力 Iz
总的正应力：
y
FN M z y A Iz
2.危险截面的确定
作内力图 轴力 FN F2
F2
l/2
F1
F2 l/2 F2 x
弯矩 M max
F1l 4
跨中截面是危险截面
FN图
F1l/4
x
M图
3.计算危险点的应力
三、工程实例
四、处理组合变形的基本方法 1.外力分析 将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变 形分解为基本变形, 使每个力（或力偶）对应 一种基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力 图,确定危险截面。分别计算在每一种基本变 形下构件的应力和变形。 3.应力分析 画出危险截面的应力分布图,利用叠加原 理将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点 的强度条件。
B
解：（1） 分析AB的受力情况 AB杆为平面弯曲与轴向压缩的组合变形
中间截面为危险截面，最大压应力发 生在该截面的上边缘。 （2） 压缩正应力 FRAy Fy FRAx 0.866F FNAB FRAx A B A A 30 D °x F （3） 最大弯曲正应力 F 1.2FR Ay 0.6F max Wz Wz （4）危险点的应力
§8-3 偏心压缩• 截面核心
一、偏心压缩
当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时, 将引起轴向压缩和平面弯曲两种基本变形.
F
O1 y z
（1）将外力向截面形心简化, 使每个力 （或力偶）只产生一种基本变形形式 轴向拉力 F
力偶矩 M = F e， 将 M向y轴和z轴分解 M y Fe sin Fz F
ay az
y
中性轴
当中性轴与图形相切或远离图形时, 整个图形上将只有拉应力或只有压应力。
z
z
(yF,zF)
y
(yF,zF)
y
az
z
中性轴
ay
(yF,zF) 中性轴
y
中性轴
当外力作用点位于包括截面形心的一个 区域内时,就可以保证中性轴不穿过横截面 （整个截面上只有拉应力或压应力）,这个区 域就称为截面核心 。
C FRAy Fy
FNAB
A 30 D ° F 1.2m 1.2m FRAx A B
F
30 D °x F
B
解：（1） 分析AB的受力情况
F AB , 2 M A 0 NFx sin030 Fy.401.2F 0

FNAB F FRAx 0.866F , FRAy 0.5F
My
FN
z
Mz (y,z) C y