离散数学本科试题及答案

离散数学本科试题及答案
一、单项选择题（每题2分，共20分）
1. 集合{1,2,3}的子集个数是（）。

A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
答案：D
2. 若A={x|x^2-3x+2=0}，则集合A的元素个数为（）。

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：C
3. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆否命题是（）。

A. 若x≤0，则x^2≤0
B. 若x^2≤0，则x≤0
C. 若x≤0，则x^2>0
D. 若x^2>0，则x>0
答案：B
4. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的值域是（）。

A. [-1,1]
B. [0,1]
C. [0,4]
D. [-1,4]
答案：B
5. 有限集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。

A. {1}
B. {2,3}
C. {3,4}
D. {4}
答案：B
6. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆命题是（）。

A. 若x>0，则x^2>0
B. 若x^2>0，则x>0
C. 若x≤0，则x^2≤0
D. 若x^2≤0，则x≤0
答案：B
7. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是（）。

A. 增函数
B. 减函数
C. 非单调函数
D. 常数函数
答案：C
8. 集合{1,2,3}的真子集个数是（）。

A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
答案：B
9. 命题“若x>0，则x^2>0”的否命题是（）。

A. 若x>0，则x^2>0
B. 若x^2>0，则x>0
C. 若x≤0，则x^2≤0
D. 若x^2≤0，则x≤0
答案：C
10. 有限集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=（）。

A. {1,2,3}
B. {2,3}
C. {1,2,3,4}
D. {4}
答案：C
二、填空题（每题2分，共20分）
1. 集合{1,2,3}的幂集是
{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。

2. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆命题是“若x^2>0，则x>0”。

3. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最小值是0。

4. 有限集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。

5. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆否命题是“若x^2≤0，则x≤0”。

6. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值是1。

7. 集合{1,2,3}的补集是{所有不属于{1,2,3}的元素}。

8. 命题“若x>0，则x^2>0”的否命题是“若x≤0，则x^2≤0”。

9. 有限集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。

10. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆命题是“若x^2>0，则x>0”。

三、解答题（每题10分，共60分）
1. 证明：若A⊆B，则A∩B=A。

证明：由A⊆B，可知A中的所有元素都属于B。

因此，A∩B
中的元素既属于A，又属于B，即A∩B中的元素都属于A。

所以，A∩B⊆A。

另一方面，由于A∩B中的元素都属于A，所以
A⊆A∩B。

综上所述，A∩B=A。

2. 证明：若A∩B=∅，则A∪B=A+B。

证明：由A∩B=∅，可知A和B没有共同元素。

因此，A∪B
中的元素要么属于A，要么属于B，即A∪B中的元素都属于
A+B。

所以，A∪B⊆A+B。

另一方面，由于A+B中的元素要么属
于A，要么属于B，所以A+B⊆A∪B。

综上所述，A∪B=A+B。

3. 证明：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。

证明：由A⊆B，可知A中的所有元素都属于B。

又由B⊆C，
可知B中的所有元素都属于C。

因此，A中的所有元素都属于C。

所以，A⊆C。

4. 证明：若A∩B=A且A∩B=B，则A=B。

证明：由A∩B=A，可知A中的所有元素都属于B。

又由
A∩B=B，可知B中的所有元素都属于A。

因此，A和B的元素完
全相同。

所以，A=B。

5. 证明：若A⊆B，则A∪B=B。

证明：由A⊆B，可知A中的所有元素都属于B。

因此，A∪B
中的元素都属于B。

所以，A∪B⊆B。

另一方面，由于B中的元
素都属于A∪B，所以B⊆A∪B。

综上所述，A∪B=B。

6. 证明：若A∩B=∅且A∩C=∅，则A∩(B∪C)=∅。

证明：由A∩B=∅，可知A和B没有共同元素。

又由A∩C=∅，可知A和C没有共同元素。

因此，A和B∪C也没有共同元素。

所以，A∩(B∪C)=∅。

以上就是的完整内容。

本试题涵盖了离散数学的基本概念和性质，包括集合论、命题逻辑、函数等知识点。

通过这些题目的练习，可以加深对离散数学基础知识的理解和掌握。